广东省湛江第一中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题

湛江一中2014---2015学年度第二学期期中考试
高一级数学科试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：（每小题5分，每题只有一个正确选项，共50分）
1．sin的值是（ ）
A．- B． C． D．－
2．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是 （ ）
A．12,24,15,9 B.9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,6
3．已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4．在区间上随机取一个数，的值介于到1之间的概率是（ ）
A. B. C. D.
5．已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率为 （ ）
A. B. C. D.
7．如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，中间的数字表示得分的十位数，据图可知 （ ）
A．甲运动员的最低得分为0分
B．乙运动员得分的中位数是29
C．甲运动员得分的众数为44
D．乙运动员得分的平均值在区间(11,19)内
8.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）
A. B. C. D.
9．某程序框图如右图所示，若输出的，则判断框内为(　　)
A． B．
C． D．
10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D
二、填空题：（每小题5分，共20分）
11．化简：= 。
12．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生人数是________。
13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值是________。
14．抛掷两颗骰子出现的点数分别为,则方程有实根的概率为 。
三、解答题：（共80分）
15．（本题12分）某小组共有五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在
中的概率．
16．（本题12分）一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：
人数 10 15 20 25 30 35 40
件数 4 7 12 15 20 23 27
其中＝1,2,3,4,5, 6,7．
(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；
(2)求回归直线方程；(结果四舍五入后保留到小数点后两位)
(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)
（参考公式：）
参考数据：
，
17．（本题14分）已知
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若，求的值。
18．（本题14分）某工厂有工人名，其中名工人参加过短期培训(称为类工人)，
另外名工人参加过长期培训(称为类工人)，现用分层抽样方法(按类、类分二
层)从该工厂的工人中共抽查名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工
的零件数)．从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如表1和表2.
表1
生产能力分组 人数
[100,110) 4
[110,120) 8
[120,130)
[130,140) 5
[140,150) 3
表2
生产能力分组 人数
[110,120) 6
[120,130)
[130,140) 36
[140,150) 18
（1）先确定，再完成下列频率分布直方图．
（2）估计类工人生产能力的平均数。(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
19．（本题14分）在如图所示的多面体ABCDE中，BA⊥平面ACD，ED⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有 直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求多面体ABCDE的体积；
（3）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．
20．（本题14分）已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，函数。
（1）求的值；
（2）求的表达式；
（3）若关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得的所有解的和记为，求的所有可能取值及相应的的取值范围。
湛江一中2014---2015学年度第二学期期中考试
高一级数学科试卷答案
一、选择题：（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D A C B C A A B
二、填空题：（每小题5分，共20分）
11、-1 12、600 13、5 14、
三、解答题：（共80分）
15．（本题12分）
解：(1)从身高低于的同学中任选人，其一切可能的结果组成的基本事件有： ,共6个．………2分
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的人身高都在以下的事件有，共3个．………4分
因此选到的人身高都在以下的概率为。 …………6分
(2)从该小组同学中任选人，其一切可能的结果组成的基本事件有
,
共10个． ………8分
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有
,共3个． ………10分
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为
……………12分
16．（本题12分）
解：(1)散点图如图．
……………3分
……………7分
……………9分
∴回归直线方程是……………10分
(3)进店人数为人时，商品销售的件数．…………12分
17．（本题14分）
解：(1)
…………3分
令 ………6分
故的单调递减区间是 …………7分
(2)由(1)得.
…………9分
…………12分
…………14分
18．（本题14分）
解：（1）由题意知，类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名． …………1分
故4＋8＋＋5＋3＝25，得＝5,
，得. ……………3分
频率分布直方图如图：……………11分
（2）A＝105＋115＋125＋135＋145＝123，………11分
类工人生产能力平均数的估计值为123。
………14分
19．（本题14分）
解：如图，（1）由已知BA⊥平面ACD，ED⊥平面ACD，∴AB//ED，
设F为线段CE的中点，……………1分
H是线段CD的中点，连接FH，则，
∴， ……………2分
∴四边形ABFH是平行四边形，∴，
由平面ACD内，平面ACD，
平面ACD；…………4分
（2）取AD中点G，连接CG.. ……………5分
AB平面ACD, ∴CGAB
又CGAD ∴CG平面ABED, 即CG为四棱锥的高， ………6分CG= ……………7分
∴=2=. ……………8分
(3)连接EG，由（2）有CG平面ABED，
∴即为直线CE与平面ABED所成的角， ………10分
设为，则在中，
有． ……………13分
故直线EC与平面ABED所成角的正弦值为。 ……………14分
20．（本题14分）
（1），
。 ………2分
（2）设 ………3分
………5分
………6分
（3）作函数的图像，………7分
显然，若有解，则。 ………9分
①若，有两解，； ………10分
②若，有三解，； ………11分
③若，有四解， ………12分
④若，有两解，。 ………13分
综上所述，当时，有两解，；
当时，有三解，；
当时，有四解，。 ………14分
F
G
C
D
A
B
0 8
0 1 2 4 7
3 2 2 1 9 9
5 4 2 1 3 3 6
4 4 4
1 5 2
乙
甲
E
H
O
x
y