河南省濮阳市部分学校2023-2024学年高二上学期12月阶段测试（二）数学试题（含答案）

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濮阳市部分学校2023-2024学年高二上学期12月阶段测试（二）数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.数列的通项公式可能是（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.不确定
3.已知等差数列，若，则（ ）
A.-2 B.0 C.2 D.4
4.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
5.有12个砝码，总质量为，它们的质量从小到大依次构成等差数列，且最重的3个砝码质量之和是最轻的3个砝码质量之和的4倍.用这些砝码称一个质量为的物体，则需要的砝码个数至少为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
6.设圆的直径为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.设分别是双曲线的左 右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
8.在长方体中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为（ ）
A.2 B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，则（ ）
A. B.
C. D.点到平面的距离为1
11.已知点，动点满足表示斜率，，动点的轨迹加上两点构成曲线，则下列说法正确的是（ ）
A.若点在曲线上，则曲线的方程为
B.若，则
C.若，则曲线的离心率随着的增大而增大
D.若的面积有最大值，且最大值为4，则
12.已知数列满足为数列的前项和，则（ ）
A. B.数列是等比数列
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列为递减数列，则的取值范围是__________.
14.若点和点关于直线对称，则__________.
15.已知数列和都是等差数列，且满足，则数列的公差为__________.
16.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点上一点在上的射影为，在轴上的射影为，直线与交于点，若，则的面积为__________.
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
设等比数列的前项和为，已知.
（1）求实数的值；
（2）设，求数列的前项和.
18.（12分）
已知双曲线的左 右焦点分别为，一条渐近线为，过点作的垂线，垂足为，且.
（1）求双曲线的方程；
（2）若线段与交于点，求.
19.（12分）
已知圆，点在圆内部.
（1）求的取值范围；
（2）若，过点作直线的垂线与圆交于两点，求的外接圆方程.
20.（12分）
如图，在四棱锥中，平面平面分别为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
21.（12分）
已知等差数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的的最小值.
22.（12分）
过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交于两点.
（1）求；
（2）若为上的动点，设（为坐标原点），求的最大值.
数学 答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.D 2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 7.B 8.C
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.BC 10.AC 11.ABD 12.AC
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15.1 16.
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.解析（1）因为，所以，解得，
当时，，所以，所以，
因为是等比数列，所以，即，解得.
（2）由（1）可知.
所以
则.
18.解析（1）因为双曲线的一条浙近线方程为，所以，
所以的半焦距，
因为，所以点到直线的距离为1，
即，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）因为，且，所以直线的方程为，
联立方程得解得即，
又，所以.
19.解析（1）因为点在圆内部，
所以，
解得，
即的取值范围是.
（2）当时，，
因为，所以，
因为，所以，
所以直线的方程为，化简得.
的外接圆经过直线与圆的交点，
故设其方程为，
代入点的坐标，可得，解得.
故的外接圆方程为，
即.（标准方程为
20.解析（1）如图，取棱的中点，连接，
因为为的中点，所以，且，
因为分别是的中点，所以，且，
所以，所以四边形为平行四边形，则，
因为平面平面，所以平面.
（2）连接，由已知可得，所以四边形是平行四边形，所以，
又，所以.
因为为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，
所以平面，即两两相互垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则，所以.
故.
设平面的法向量为，
则取，可得，
因为.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21.解析（1）设等差数列的公差为，
由，得
解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以
所以
因为，所以，整理得，
函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当
时，，当时，，所以满足的的最小值为8.
22.解析（1）由题可知点，设，
直线，
联立方程得消去并整理得，
，
.
（2）设，由，得，
在上，，
.
.
由（1）知，
.
.
，当且仅当时取等号，
，即的最大值为.