普集高中 2023—2024学年度第一学期高 二 年级第 3 次月考
（数学）试题（卷）
第一卷 选择题（共 48分） 总 分 值： 150分
试题范围： 选择性必修第一册三章全部内容和等差数列 考试时间： 120分钟
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列 6, 10, 14,3 2, 22, ，则5 2是这个数列的( )
A．第 11项 B．第 12项 C．第 13项 D．第 14项
2．直线 l过圆C : x 3 2 y2 4的圆心，并且与直线 x y 2 0垂直，则直线 l的方程为( )
A． x y 2 0 B． x y 2 0 C． x y 3 0 D． x y 3 0
3．已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点在抛物线 y 2 12 x的准线上，且双曲线C的离心率等
于 3，则双曲线C的标准方程为( )
A y
2 x2 x2 y2 y2 x2 y2 x2
． 1 B． 1 C． 1 D． 1
6 3 3 6 6 9 9 6
4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰
春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至 大寒 雨水的
日影子长的和是 40.5尺，芒种的日影子长为 4.5尺，则冬至的日影子长为( )
A． 6.5尺 B．13.5尺 C．14.5尺 D．15.5尺
1 a
5 n．若数列 an 满足， a1 2， an 1 ，则 a2023 1 a ( )n
1 1
A． B．－2 C．3 D．
2 3
Sn 3n 5 a6 8．设等差数列 an ， bn 的前 n项和分别为 Sn，Tn，若 ，则 T 4n 2 b ( )n 8
25 35 25 55
A． B． C． D．
28 39 29 58
7．在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，D为棱 A1B1的中点， AC 2，CC1 BC 1， AC BC，则异面
直线 CD与 BC1所成角的余弦值为( )
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班级： 考场： 考号： 姓名： 座位：
A 2 B 3 2 2． ． C． D．
6 3 4 3
x2 y2
8．已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C的两条渐a b
近线分别交于 A，B两点，若 A为线段 BF1的中点，且BF1 BF2，则 C的离心率为( )
A． 3 B．2 C． 3 1 D．3
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．已知空间向量m ( 1, 2, 4),n (2, 4, x)，则下列选项中正确的是( )
A．当m n 时， x 3 B．当m // n 时， x 8
C ．当 |m n | 5时， x 4 D．当 x 1 3 5时， sin m, n
7
10 x
2 y2
．椭圆 C的方程为 1，焦点为F1，F ，则下列说法正确的是( )25 16 2
A．椭圆 C的焦距为 3 B．椭圆 C的长轴长为 10
3
C．椭圆 C的离心率为 D．椭圆 C上存在点 P，使得 F1PF2为直角5
11 2．已知数列 an 的前 n项和为 Sn n 10n，则下列结论正确的有( )
A．a6 0 B． an 是递减数列
C． S11 0 D．当 Sn最小时， n 5
12．已知抛物线C : y2 2 px( p 0)的焦点 F 在直线 l : y kx k上，直线 l与抛物线交于点 A,B（O
为坐标原点），则下列说法中正确的是( )
A． p 4 B．准线方程为 x 2
C．以线段 AB为直径的圆与C的准线相切 D．直线OA OB的斜率之积为定值
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13．已知等差数列 an 的前三项为 a 1， a 1， 2a 3，则 a的值为 ．
14．圆 ( x 1) 2 ( y 2) 2 4关于直线 y x对称的圆的方程为 ．
15．等差数列 an 的前 n项和记为 Sn，且 S5 10， S10 50，则 S15 = ．
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{#{QQABZYCAgggoAAJAABhCAQG4CAMQkAGACAoGBBAMMAABgRNABAA=}#}
16 C : x
2 y2
．已知椭圆 1(a b 0) 1，C的上顶点为 A，两个焦点为 F1， F2，离心率为a2 b2 2
．
过F1且垂直于 AF2的直线与 C交于 D，E两点， |DE | 6，则 ADE的周长是 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．第 17题 10分，其他每题 12分，解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
平面直角坐标系中，已知 ABC三个顶点的坐标分别为 A( 1,2)， B( 3, 4)，C(0,6)．
（1） 求 BC边所在的直线方程；（2） 求 ABC的面积．
18．(本小题满分 12分)
已知 Sn是等差数列 an 的前 n项和， a1 5， a3 a4 0.
（1）求数列 an 的通项公式；（2）若 Sn 40，求 n的值．
19．(本小题满分 12分)
已知圆 C的圆心为原点，且与直线3x 4 y 10 0相切，直线 l过点M 1，2 ．
（1）求圆 C的标准方程；
（2）若直线 l被圆 C所截得的弦长为 2 3 ，求直线 l的方程．
第 3 页 共 4 页
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20．(本小题满分 12分)
1 an
已知数列{an}满足： a a1 ， n 1 a 1．2 n
（1）计算数列的前 4项；
1
（2）求证： a
是等差数列；
n
（3）求{an}的通项公式．
21．(本小题满分 12分)
如图，在四棱锥 P ABCD中，四边形 ABCD是菱形， BAD 60 ，E是 PB的中点，且DE 2 ，
BE 2．
（1）证明： BD 平面 ACE；
（2）若 PD AB，PD AC，求二面角 A DE C的正弦值．
22．(本小题满分 12分)
x2 y2
椭圆 2 2 1(a b 0)的右焦点为 F 、右顶点为 A
| BF | 3
，上顶点为 B，且满足 ．
a b | AB | 2
（1）求椭圆的离心率 e；
（2）直线 l与椭圆有唯一公共点M ，与 y轴相交于 N (N 异于M )．记O为坐标原点，若 |OM | |ON |，
且 OMN 的面积为 3，求椭圆的标准方程．
第 4 页 共 4 页
{#{QQABZYCAgggoAAJAABhCAQG4CAMQkAGACAoGBBAMMAABgRNABAA=}#}普集镇高级中学2023-2024学年高二上学期12月第三次月考（数学）参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．BCD 10．BC 11．ACD 12．CD
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13． ；14． ； 15． ； 16． ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
【解析】（1）直线的斜率，故直线的方程为，
即；
（2）点A到直线的距离，又，
则的面积．
18．(本小题满分12分)
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以.解得.所以；
（2）.因为，所以，解得或.
因为，所以．
19．(本小题满分12分)
【解析】（1）圆心到直线的距离，
所以圆的半径为，所以；
（2）当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
由，解得：，故的方程是，即，综上所述，直线的方程为或．
20．(本小题满分12分)
【解析】（1）,可得;，可得;,可得．
故数列的前4项为、、、．
（2）证明：将等号两端取倒数得，
则，即数列是以为首项，公差为1的等差数列．
（3）由（2）知,即．故的通项公式为．
(本小题满分12分)
【解析】（1）证明：设，连接．
因为四边形是菱形，所以O是的中点．
因为，所以．
因为四边形是菱形，所以．
因为平面，平面，
且，所以平面．
（2）因为，所以，所以.
因为，又平面.所以平面.
因为O，E分别是，的中点，所以，所以平面.
故以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，故，，，设平面的法向量，则，
令，得．
设平面的法向量，则，
令，得.设二面角为，
则，所以．
22．(本小题满分12分)
【解析】（1），，，
，，；
由（1）可知椭圆为，即，
设直线，联立，消去可得：
，又直线与椭圆只有一个公共点，
△，，
又，，又，
，解得，，
又的面积为，
，，又，，，，
椭圆的标准方程为．(
班级：
考场：
考号
：
姓名：
座位：
)普集镇高中2023—2024学年度第一学期高 二 年级第 3 次月考
（数学）试题（卷）
第一卷 选择题（共48分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列，则是这个数列的( )
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
2．直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为( )
A． B． C． D．
3．已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点在抛物线的准线上，且双曲线的离心率等于，则双曲线的标准方程为( )
A． B． C． D．
4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至 大寒 雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为( )
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
5．若数列满足，，，则( )
A． B．－2 C．3 D．
6．设等差数列，的前项和分别为，，若，则( )
A． B． C． D．
7．在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为( )
A． B．2 C． D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知空间向量，则下列选项中正确的是( )
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．椭圆C的方程为，焦点为，，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C焦距为3 B．椭圆C的长轴长为10
C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C上存在点P，使得为直角
11．已知数列的前项和为，则下列结论正确的有( )
A． B．是递减数列
C． D．当最小时，
12．已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是( )
A． B．准线方程为
C．以线段为直径的圆与的准线相切 D．直线的斜率之积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知等差数列的前三项为，，，则的值为 ．
14．圆关于直线对称的圆的方程为 ．
15．等差数列的前n项和记为，且，，则= ．
16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．
过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1） 求边所在的直线方程；（2） 求的面积．
(本小题满分12分)
已知是等差数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值．
19．(本小题满分12分)
已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．
20．(本小题满分12分)
已知数列满足：，．
计算数列的前4项；
求证：是等差数列；
（3）求的通项公式．
21．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，E是的中点，且，．
（1）证明：平面；
（2）若，，求二面角的正弦值．
22．(本小题满分12分)
椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于．记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．普集高中 2023—2024学年度第一学期高二年级第 3 次月考（数学）参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．B
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．BCD 10．BC 11．ACD 12．CD
三、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.把答案填在题中的横线上)
13． 0 ；14 (x 2)
2
． (y 1)2 4 ； 15． 120 ； 16． 13 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．第 17题 10分，其他每题 12分，解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
6 4 2 2
【解析】（1）直线 BC的斜率 kBC 0 3 3，故直线 BC的方程为 y x 6，3
即 2x 3y 18 0；
2 1 3 2 18
BC d 10 13（2）点 A到直线 的距离 ，又 BC (0 3)2 (6 4)2 13，
32 22 13
则 ABC 1的面积 S BC 1 10 13 d 13 5 ．
2 2 13
18．(本小题满分 12分)
【解析】（1）设等差数列 an 的公差为 d ，因为 a1 5，
所以 a3 a4 a1 2d a1 3d 2a1 5d 10 5d 0 .解得 d 2 .所以 an a1 n 1 d 2n 7；
5 2n 72 n（ ） S n2 6n .因为 Sn 40n ，所以 n2 6n 40，解得 n 10或 n 4 .2
因为 n N*，所以 n 10．
19．(本小题满分 12分)
10
【解析】（1）圆心 0，0 到直线3x 4 y 10 0的距离 d 2 ，
3 2 4 2
所以圆C 的半径为2，所以 x 2 y 2 4；
（2）当直线斜率不存在时， x 1，直线 l被圆C 所截得的弦长为 2 3 ，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线 l： y 2 k x 1 ，
2
k 2
由 2 3
2 3 3
4，解得： k ，故 l的方程是 y 2 x 1 ，即3x 4y 5 0，综上所述，直
k 1 4 4
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线 l的方程为3x 4y 5 0或 x 1．
20．(本小题满分 12分)
a 1 a 1 a 1
【解析】（1） n 1 ,可得 a2 1 a 2 a 3 a1 1 3
; n 2，可得 3 a 1 4 ; n 3 ,可得 42 a3 1 5
．
1 1 1 1
故数列{an}的前 4项为 、 、 、 ．2 3 4 5
a 1 1
（2 n）证明：将 an 1 a 1等号两端取倒数得，
1
n an 1 an
1 1 1 1则 - = ，即数列{ }
1
a 是以
2为首项，公差为 1的等差数列．
n+1 an an a1
1 1 1
（3）由（2）知 2 n 1 n 1,即 an ．故{aa n
}的通项公式为 an ．
n n 1 n 1
21．(本小题满分 12分)
【解析】（1）证明：设 AC BD O ，连接OE．
因为四边形 ABCD是菱形，所以 O是 BD的中点．
因为 BE DE ，所以OE BD．
因为四边形 ABCD是菱形，所以 AC BD．
因为 AC 平面 ACE，OE 平面 ACE，
且 AC OE O，所以 BD 平面 ACE．
（2）因为DE BE PE，所以 PDE BDE 90 ，所以 PD BD .
因为 PD AC，又 AC I BD=O, AC,BD 平面 ABCD .所以 PD 平面 ABCD .
因为 O，E分别是 BD， PB的中点，所以OE∥PD，所以OE 平面 ABCD .
故以 O为坐标原点，分别以OB，OC，OE的方向为 x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系O xyz，设 AB 4，则 A(0, 2 3,0)，B(2,0,0)，C(0,2 3,0)，D( 2,0,0)，E(0,0, 2)，故 AD ( 2,2 3,0) ，
m·AD 2x1 2 3y1 0
DE (2,0, 2)，CD ( 2, 2 3,0)，设平面 ADE的法向量m x , y , z ，则 ，1 1 1 m·DE 2x1 2z1 0
令 x1 3，得m ( 3,1, 3)．
n·CD 2xCDE 2
2 3y 2 0
设平面 的法向量 n x ，则 ，2 , y2 , z2
n
·DE 2x2 2z 2 0
令 x2 3
，得 n ( 3, 1, 3) .设二面角 A DE C为 ，
| cos | | cos m ,n | |m n | 3 1 3 5 sin 2 6则 ，所以 ．
|m || n | 3 1 3 3 1 3 7 7
第 2 页 共 3 页
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22．(本小题满分 12分)
| BF | a 3 a
2 3
【解析】（1） ， ，
| AB | 2 2 2 2 2 a
2 3b2，
a b a b 4
2
a2 3(a2 c2 )， 2a2 3c2 e c 2 6， 2 ；a 3 3
x2 y2
2 1（2）由（1）可知椭圆为 a a2 ，即 x2 3y2 a2 ，
3
设直线 l : y kx m，联立 x2 3y2 a2 ，消去 y可得：
(3k 2 1)x2 6kmx (3m2 a2 ) 0，又直线 l与椭圆只有一个公共点，
△ 36k 2m2 4(3k 2 1)(3m2 a) 0， 3m2 a2 (3k 2 1)，
x 3km
2
又 M 2 ， y kx m
3k m
M M m
m
，又 |OM | |ON |
3k 1 3k 2
，
1 3k 2 1
( 3km )2 m ( )2 m2 ，解得 k 2
1
， k 3 ，
3k 2 1 3k 2 1 3 3
1 |ON | | x | 1 |m | | 3km又 OMN 的面积为 M 2 | 3，2 2 3k 1
1 3m
2
3， m2 4，又 k
3
， 3m2 a2 (3k 2 1)， a2 6， b2 2，
2 2 3
x2 2 y椭圆的标准方程为 1．
6 2
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