石河子市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学学科试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列中，若，则（ ）
A．12 B．18 C．6 D．9
2. 若直线，平行，则实数的值为（ ）
A. B. 3 C. 1或 D. 或3
3．在各项均为正数的等比数列中，，则（ ）
A．16 B． C．24 D．
4. 已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 空间中有三点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（ ）
A. B. C. D.
7．设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（ ）
A． B．12 C． D．
8. 数列满足，，则数列的前80项和为（ ）
A. 1640 B. 1680 C. 2100 D. 2120
多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列
B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项
C．在数列中第8个数是
D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为
10. 已知正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则（ ）
A. 直线与直线为异面直线 B. 平面
C. 二面角的正弦值为 D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
11．已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A．是递减数列 B．是等差数列 C． D．
12. 已知椭圆： 的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A. 离心率的取值范围为 B. 当时，的最大值为
C. 存点，使得 D. 的最小值为1
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡中的横线上.）
13.若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ．
14.已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式 ．
15.已知数列满足．则的通项公式为 ．
16. 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线的离心率的取值范围是______．
解答题（本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本题满分10分）在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4
(1)写出点轨迹的方程；
(2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.
18．(本题满分12分）
(1)已知等差数列的前项和为，且满足，．求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，求通项公式．
19．(本题满分12分）
已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
20．(本题满分12分）
已知数列中，．
（1）证明数列是等差数列，并求通项公式；
（2）若对任意，都有成立，求的取值范围．
21．(本题满分12分）已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
22. (本题满分12分）已知双曲线经过点，且离心率为2.
（1）求的方程；
（2）过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点.设点为双曲线上的两个动点，直线的斜率分别为，若，求.石河子市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学学科试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列中，若，则（ ）
A．12 B．18 C．6 D．9
【分析】根据等差数列的性质转化运算即可.
【详解】因为等差数列中，
所以，所以.
故选：D.
2. 若直线，平行，则实数的值为（ ）
A. B. 3 C. 1或 D. 或3
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行列方程，由此求得.
【详解】由于两直线平行，所以，
解得或，
当时，，两直线平行.
当时，，两直线平行.
综上所述，的值为或.
故选：D
3．在各项均为正数的等比数列中，，则（ ）
A．16 B． C．24 D．
解、在各项均为正数的等比数列中，，所以解得或（舍去）或（舍去），此时，所以．故选C。
4. 已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】由，圆心坐标为，
由，所以直线的斜率为，
因此直线的垂直垂直平分线的斜率为，
所以直线的垂直垂直平分线方程为：，
故选：A
5. 空间中有三点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出，即可得，，再根据点到直线的距离为即可得解.
【详解】解：，
则，，
则，
所以点到直线的距离为.
故选：A.
6.已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（ C ）
A. B. C. D.
7．设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（ ）
A． B．12 C． D．
7．C
【分析】根据题意，得到所以，结合抛物线的几何性质，得到轴，利用勾股定理，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，所以焦点，
因为，根据抛物线的定义，可得，
又因为，所以，
因为，即抛物线的通径长为，所以轴，
所以.
故选：C.
8. 数列满足，，则数列的前80项和为（ ）
A. 1640 B. 1680 C. 2100 D. 2120
【答案】A
【解析】
【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.
【详解】设，因为的周期为，
所以的周期为.
又，，所以当n为奇数时，，
所以当n为偶数时，.
又，所以，，
，于是得到，同理可求出
，…，
设，则数列是以6为首项，8为
公差的等差数列，所以数列的前80项和为数列的前20项和
.故B，C，D错误.
故选：A.
多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列
B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项
C．在数列中第8个数是
D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为
9．BCD 对于A，数列中的项与顺序有关，故数列与数列是两个不同的数列，故A错误；对于B，当时，，故110是该数列的第10项，故B正确；对于C，数列，的一个通项公式是，故第8个数是，故C正确；对于D，数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为，故D正确．故选BCD．
10. 已知正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则（ ）
A. 直线与直线为异面直线
B. 平面
C. 二面角的正弦值为
D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】连接、交于点，连接，即可证明，从而得到平面，即可判断A、B，建立空间中直角坐标系，利用空间向量法判断C，求出外接圆的半径，即可求出正三棱柱外接球的半径，即可判断D.
【详解】连接、交于点，连接，则为的中点，
又为的中点，所以，平面，平面，
所以平面，故B正确；
又，平面，所以与不平行且无公共点，
所以直线与直线为异面直线，故A正确；
取的中点，连接，则，又平面，则平面，又，
如图建立空间直角坐标系，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，取，
又平面的法向量可以为，
设二面角为，显然为锐二面角，
则，所以，
即二面角的正弦值为，故C错误；
外接圆的半径，
所以正三棱柱外接球的半径，
所以该球的表面积，故D正确.
故选：ABD
11．已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A．是递减数列 B．是等差数列
C． D．
11．ACD
【分析】根据题中的递推公式，分别可求出，，，从而可对各项进行求解.
【详解】因为，所以.因为，所以.
当时，因为，所以，
所以，所以是首项为1，公差为的等差数列，故D正确；
因为，所以，故B错误；
因为（也满足），
所以，
所以是递减数列，故A正确；
因为，即，所以C正确.
故选：ACD
12. 已知椭圆： 的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A. 离心率的取值范围为
B. 当时，的最大值为
C. 存点，使得
D. 的最小值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】A项中需先解出的范围，然后利用离心率的定义进行判断；
B项中根据椭圆定义转化为求的最大值，从而进而判断；
C项中先求出点的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；
D项中根据椭圆定义得，并结合基本不等式判断.
【详解】对于A项：因为点在椭圆内部，所以，得，
所以得：，故A项正确；
对于B项：由椭圆定义知，
当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值，
由，得，，所以得，
所以最大值，故B项正确；
对于C项：设，若，即：，
则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，
又由A项知：，得，
又因为，得，
所以得：，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；
对于D项：由椭圆定义得，
所以
，
当且仅当时取等号，故D项正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡中的横线上.）
13.若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ．
14.已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式 ．
15.已知数列满足．则的通项公式为 ．
【解析】时，时，
两式相减可得，
16. 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，则，设点，则，分析可得，可得范围，进而可得离心率范围.
【详解】连接，则，
由切线长定理可得，又，，
所以
所以，
则
设点，则，且，
所以
所以，
故.
故答案为：.
解答题（本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本题满分10分）在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4
(1)写出点轨迹的方程；
(2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.
【详解】（1）由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，
故，，，其方程为.
（2）联立得，
因为有两个交点，所以，
解得，所以的取值范围为.
18．(本题满分12分）
(1)已知等差数列的前项和为，且满足，．求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，求通项公式．
解解：（1）依题意，设数列的公差为，
因为，所以，解得：...............................3分
所以．.....................................................................6分
（2），
...............................8分
．....................................................................12分
19．(本题满分12分）
已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
解（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点，
设圆心坐标为，则，解得，，.........................................3分
圆心，半径，....................................................5分
故圆的方程为...........................................................................................6分
（2）即，所以...................................................8分
当的斜率不存在时，的方程为，不满足条件...............................................9分
当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即
故，解得，..................................................................11分
所以直线方程为..............................................................................12分
20．(本题满分12分）
已知数列中，．
（1）证明数列是等差数列，并求通项公式；
（2）若对任意，都有成立，求的取值范围．
20．（1）证明：由已知可得，
又，所以，所以数列是以1为首项、1为公差的等差数列．
所以，所以，所以．
（2）由（1）知，，所以，
所以，
则由，可得对任意，都成立．
令，假设数列中第项最大，
当时则，有，即整理可得解得．
因为，所以．又，所以数列中第2项最大，
即对任意，都成立，所以由对任意，都成立，可得．
21．(本题满分12分）已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）∵平面，平面，
∴，
过点作，由为等腰梯形，，
故，
所以，即，即，
平面，
∴平面，平面，
故.
（2）方法一:，
∵,
，
∴.
如图，建立空间直角坐标系，
，，，，
,
设平面法向量为，
则，，
取，得
同理，设面法向量为，则
，，
取，得，
由题意，.
设平面与平面的夹角为，则，
方法二：，
∵,
，
∴.
∵平面，平面，∴平面平面，
过作，则平面垂足为，平面，则,
过作的垂线，垂足为，连，
由于平面,
所以平面,平面，故，
则为所求二面角夹角的平面角.
，所以,
,，，
.
22. (本题满分12分）已知双曲线经过点，且离心率为2.
（1）求的方程；
（2）过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点.设点为双曲线上的两个动点，直线的斜率分别为，若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出即可得解；
（2）设，方法一：分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线方程为，联立方程，利用韦达定理求得，再根据求出的关系，从而可得直线过定点，进而可得出答案.
方法二：可设直线方程为，由可得，再根据求出，从而可得直线过定点，进而可得出答案.
【小问1详解】
由题意得，解得，
所以的方程为；
【小问2详解】
由题意，点坐标为，点坐标为，设，
方法一：
①若直线斜率存在，设直线方程为，
，消去可得，
且，
且，
，
整理可得，
，
化简得，
即，
因为直线不过点，所以，
所以，即，
所以直线的方程为，恒过定点，
②若直线斜率不存在，则，
，
解得，所以直线的方程为，过定点，
综上，直线恒过定点，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
.
方法二：
因为直线不过点，所以可设直线方程为，
由可得，
即，
，
得，
等式左右两边同时除以，
得，
，
，解得，
所以直线方程为，
即，恒过定点，
下同法一.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
