贵州省部分学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）

贵州省部分学校2023-2024学年高一上学期12月月考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第二册第四章。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.“，”的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3.“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，，则的最小值为（ ）
A.8 B.13 C.12 D.9
6.已知函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.0
7.若函数（且）在上的值域为，则（ ）
A.3或 B.或
C.或 D.或
8.今年10月份，自然资源部联合国家林业和草原局向社会公布贡嘎山等9座山峰高程数据，其中狮子王高程数据为，夏诺多吉高程数据为.已知大气压强（单位：）随高度（单位：）的变化满足关系式，是海平面大气压强，，则狮子王山峰峰顶的大气压强是夏诺多吉山峰峰顶的大气压强的（ ）
A.倍 B.倍 C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
10.现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
A.，，，
B.，，，
C.，，，
D.，，，
11.已知欧拉函数，其中的值等于所有不超过且与互质的正整数的个数，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数若关于的方程只有一个实数根，则的取值可能为（ ）
A.2 B.1 C.0 D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.某高一（5）班共有55名学生，在数学课上全班同学一起做两道数学试题，其中一道是关于指数函数的试题，另一道是关于对数函数的试题.已知关于指数函数的试题做对的有36人，关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题，则这两道题都做对的有________人.
14.已知函数则________.
15.函数的单调递减区间为________.
16.已知函数，若不等式对恒成立，则的取值范围是________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
计算：（1）；
（2）.
18.（12分）
已知函数，其中且.
（1）若的图象恒过点，写出点的坐标；
（2）设函数，试判断的奇偶性，并证明.
19.（12分）
已知函数.
（1）利用函数的单调性定义证明在上单调递增；
（2）若，试比较，的大小.
20.（12分）
定义在上的奇函数满足：当时，.
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
21.（12分）
投资理财是指投资者通过合理安排资金，运用合法的投资理财工具对资产进行管理和分配，达到保值增值的目的，从而加速资产的增长.小薛有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报20元.
方案二：第一天回报5元，以后每天比前一天多回报5元.
方案三：第一天回报0.8元，以后每天的回报比前一天翻一番.
设第天所得回报是元.
（1）若小薛采用方案三进行投资，试写出关于的函数关系式.
（2）若小薛计划用该笔资金投资8天，试问哪种方案所得的总回报最多？最多为多少元？
22.（12分）
已知函数的图象经过点，函数.
（1）求的值；
（2）求的定义域；
（3）若，在区间上的值域为，求的取值范围.
贵州省部分学校2023-2024学年高一上学期12月月考
数学参考答案
1.D 存在量词命题的否定是全称量词命题.
2.A 依题意得，则，.
3.B 由，得，解得或.
4.C 因为在上单调递增，且，，所以的零点所在的区间为.
5.D ，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为9.
6.B 根据题意可得，解得.因为为偶函数，所以，得，故.
7.C 当时，在上单调递减，则，解得，则.当时，在上单调递增，则，解得或（舍去），则.
8.A 设夏诺多吉山峰峰顶的大气压强为，狮子王山峰峰顶的大气压强为，则两式相减得，即.
9.BCD 因为，，，所以.
10.AB 由图可知，，，则选项A，B符合.
11.ABD 因为不超过4且与4互质的正整数有1，3，所以，A正确.因为不超过10且与10互质的正整数有1，3，7，9，所以，又因为不超过5且与5互质的正整数有1，2，3，4，所以，B正确.因为在，，中，与互质的正整数只有，，所以，C错误，D正确.
12.BD 画出的大致图象，如图所示.关于的方程只有一个实数根，结合图象可得的取值范围为.
13.13 设这两道题都做对的有人，则，解得.
14.5 因为，所以.
15. 令，得或.因为函数在上单调递减，在上单调递增，且函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得的单调递减区间为.
16. 因为，所以图象的对称轴为直线，则的最小值为.不等式对恒成立等价于，.因为在上单调递增，所以，则，解得，故的取值范围是.
17.解：（1）原式
.
（2）原式
18.解：（1）由题意得，
令，
得，，
则点的坐标为.
（2）为偶函数，证明如下：
由得，即的定义域为，关于原点对称.
因为，所以为偶函数.
19.（1）证明：，任取，
，
由，，，，即，
故在上单调递增.
（2）解：因为，所以.
又因为，
所以.
因为在上单调递增，所以.
20.解：（1）当时，，.
因为是定义在上的奇函数，所以.
（2）当时，，，即，
即，解得.
当时，，，即，
即，解得.
故不等式的解集是.
21.解：（1）若小薛采用方案三进行投资，则，.
（2）若小薛采用方案一进行投资8天，则所得的总回报元；
若小薛采用方案二进行投资8天，则所得的总回报元；
若小薛采用方案三进行投资8天，则所得的总回报元.
因为，所以第三种方案所得的总回报最多，最多为204元.
22.解：（1）因为的图象经过点，所以，解得.
（2）.
解不等式，因为，所以，解得.
故的定义域为.
（3），.
因为函数在上单调递减，函数在定义域上单调递增，
所以在上单调递减.
因为在区间上的值域为，
所以则即
令，则关于的方程在上有两个不等实数根，
原方程化简可得.
令函数，
则解得.
故的取值范围是.
注：用以下解法不扣分.
关于的方程在上有两个不等实数根，
原方程等价于.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以.