西乡一中高二第一学期第二次月考考试
数学试题
【注意事项】
1、试卷共150分，考试时间120分钟，共4页。
2、答第I卷前考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
3、第Ⅱ卷答在答卷纸的相应位置上，否则视为无效。答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A. B.1 C.或1 D.
4. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5. 已知双曲线左，右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于两点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
6. 已知直三棱柱中，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 二项式的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得得0分.
9. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若政治必须选，选法总数为 D．若物理和历史不能同时选，选法总数为
10. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11. 已知点在抛物线的准线上，过抛物线C的焦点F作直线交于、两点，则（ ）
A．抛物线C的方程是 B．
C．当时， D．
12. 已知圆，直线.则（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆有两个交点
C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
D．若，则圆与圆恰有三条公切线
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数______．
14. 已知，则___________.
15. 已知为坐标原点，抛物线的方程为，直线与交于两点，若，则面积的最小值为________.
16. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有___________种
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知直线 与直线交于点.
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)求过点且垂直于直线的直线的方程；
(3)求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程.
18．（本小题满分12分）
电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景。现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，点E在线段上，且.
(1)求证：平面PBD；
(2)求点A到平面的距离.
20．（本小题满分12分）
平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为．
(1)求圆的标准方程；
(2)若与圆相切，求m的值；
(3)若直线被圆截得的弦长，求的值.
21.（本小题满分12分）
如图，等腰梯形中，，，，E为中点，以 为折痕把折起，使点到达点的位置（平面ABCD）．
(1)求证：；
(2)若把折起到当时，求二面角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
双曲线焦点是椭圆：顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设动点在椭圆C上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.西乡一中高二第一学期第二次月考考试
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A A B A D A A AD ACD BCD BD
13 14 15 16
17．解：（1）由 得 交点
（1）直线方程是
（2）直线的方程为，即.
（3）直线 的方程为:或.
18．解：（1）共有种排法；
（2）共有种排法
（3）共有种排法
19．解：因为平面，平面，平面，
所以，，又因为是矩形，，
由两两垂直，故以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示。
则，，，，，
（1）设直线的方向向量为
设面PBD的法向量为
则，即，令，则，，于是，
由题知：，故
故平面PBD
（2）设平面的一个法向量为，
所以，.
则，即，
令，则，，于是，而
所以点A到平面的距离为.
20．解：（1）由题意知，，
所以圆的方程为．
（2）若与圆相切，
则圆心到直线的距离，
解得或
（3）设圆心到直线的距离为，则有
因为，所以，
由点到直线的距离公式得，解得或．
21.解：（1）连接，设的中点为，
∵，， ······2分
∴四边形为平行四边形，∴，
∴，为等边三角形，
∴，，折叠后，
， 又，
∴平面，又平面，
∴ ·······6分
（2）若，即平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，则，
即 ，令得， ······8分
又平面，∴为平面的一个法向量，·······10分
设平面与平面夹角为，则，
由图观察知，二面角是钝角，
二面角的余弦值为． ··········12分
22. 解：（1）双曲线的焦点坐标为，离心率为.
因为双曲线的焦点是椭圆：的顶点，
且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.
故椭圆的方程为. ………………4分
（2）因为，所以直线的斜率存在.
因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.
代入椭圆方程得.
因为，
所以.设，，
根据根与系数的关系得，. ……………7分
则.
因为，即. ……………9分
整理得.令，则.
所以.等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.
故的最大值为 ……………12分
