第二章 直角三角形的边角关系单元测试(含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年 鲁教版（五四制）（2012）九年级上册 第二章 直角三角形的边角关系 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，M是直角边上一点，于点N，，，求的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了10米，此时滑块上升的高度是（ ）（单位：米）
A． B． C． D．10
4．在直角三角形中，，，，则的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．24
5．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sin θ=（ ）
A． B． C．4 D．
6．王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（ ）．
A． B． C． D．
7．在中，，，，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四边形是某护坡大坝的横截面，，坝顶宽为5米，斜坡的坡度为，斜坡的坡角为，坡长米，则坝底宽约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．在中，，，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则（ ）

A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当直线时， ．
12．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为，测得底部C的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 米．（结果保留根号）
13．如图，在东西方向的海岸边上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行 海里．
14．在中，，则是 三角形．
15．如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点，则的值 ．
16．如图，在的正方形网格中，点、、都在格点上，则 ．
评卷人得分
三、计算题
17．计算
(1)；
(2)．
评卷人得分
四、问答题
18．如图，在菱形中，于点E， ，．
(1)求的长．
(2)则的值．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，求一个角的余弦值，先根据勾股定理求出，再结合，即可作答．
【详解】解：∵，，，
∴
∴
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：，，
，
设
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：设坡角为，由题意得：，则可设所在直角三角形的两条直角边分别为，所以斜边长为，
∴，
∵该滑块沿斜坡向上移动了10米，
∴滑块上升的高度为米；
故选A．
4．D
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦．
【详解】解：∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
故选D．
5．A
【详解】设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，
由题意，得c2=25，b-a==1，a2+b2=c2，解得a=3，b=4，c=5，
∴sin θ=．
6．C
【详解】如图，过点作，交于点．在中，，，，．
【易错点分析】不会画图，“地沿北偏西方向”应该在地建立方向坐标，“地向正南方向”应该在地建立方向坐标，要根据需要建立方向坐标．
7．A
【分析】根据余弦等于邻边比斜边，进行求解即可．掌握余弦的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选A．
8．A
【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点A、D作的垂线，垂足分别为E、F，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，解直角三角形即可求解．
【详解】解：过点A、D作的垂线，垂足分别为E、F，
∵，
∴四边形是矩形，
∵斜坡的坡角为，
∴是等腰直角三角形，
∵米，
∴，
∴，
∵斜坡的坡度为，
∴，
∴(米)．
故选：A．
9．A
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形的性质，先根据，求出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值即可得出的值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵中，，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．C
【分析】本题考查求角的正切值，线段垂直平分线的性质，根据中垂线的性质，得到，根据，设，则，勾股定理求出的长，再利用，进行求解即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴；
故选C
11．或/或
【分析】分两种情况：①延长交于，由，，，得，，，根据将沿翻折，使得点落在点处，有，，在中，可得，，即知，再用勾股定理即得；②与交于，同①方法可求出．
【详解】解：分两种情况：
①延长交于，如图：
，
，
，，，
，
，，
是边的中点，
，
将沿翻折，使得点落在点处，
，，
在中，，
，
，
在中，
；
②与交于，如图：
由题意知：，
将沿翻折，使得点落在点处，
，，
在中，，
，
，
在中，
；
综上所述，的长度为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角函数及解直角三角形的有关知识，解题的关键是明确翻折前后的对应角和边相等，在计算中利用等角的三角函数值相等解决问题．
12．/
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，，
∴；
故答案为．
13．
【分析】如图，过点作于，根据平行线的性质得出，，根据甲船速度可求出的长，利用的余弦函数可求出的长，利用的余弦函数求出即可得答案；本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
【详解】如图，过点作于，
∴，
∴，，
∵甲货以4海里/小时的速度，行驶2小时，
∴，
∴，
∴，
∴乙货船每小时航行（海里），
故答案为：
14．钝角
【分析】本题考查非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据算术平方根和绝对值的非负性求出和，进而求出和，再求出，即可求解．
【详解】解：，
，，
，，
，，
，
是钝角三角形．
故答案为：钝角．
15．
【分析】过点作垂足为, 延长交半于点 连接 ，根据折叠的性质可得： ，从而可得，再根据黄金分割的定义可得 ，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而证明字模型相似三角形，进而利用相似三角形的性质可得，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得： ，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】过点作垂足为, 延长交半于点 连接
由折叠得： ，
，
∵点为的黄金分割点，
，
∵为半圆的直径，
，
，
，
，
，
∵四边形是半的内接四边形，
，
，
，
，
在中,
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换 (折叠问题) ，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
16．/
【分析】本题考查了正弦函数的定义以及勾股定理．先求得，利用勾股定理求得和的长，再利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：∵，都是正方形的对角线，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数运算，特殊角的三角函数值；
（1）把三角函数值代入，再根据实数运算法则进行计算；
（2）把三角函数值代入，再根据二次根式混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：，，，，
原式
．
（2）解：，，，，
原式
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）设，则，根据菱形的性质得到等式，即可得到答案；
（2）由菱形的性质得到，然后证明便可计算答案．
【详解】（1）解：，，
，
设，则，
菱形，
，
，
解得，
；
（2）解：，
由（1）可得，
在，由勾股定理可得，
菱形，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角函数值，勾股定理的应用，菱形的性质以及平行线的性质，熟练掌握三角函数值和勾股定理的应用是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)