第三章二次函数单元测试卷(含解析)
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2023-2024学年 鲁教版（五四制）（2012）九年级上册 第三章 二次函数 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口方向向上 B．函数的最小值为
C．图象可由抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D．当时，随的增大而减小
2．二次函数的图象与x轴在的范围内有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
3．二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
4．如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①;②;③;④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．设是拋物线上的三点，则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的图象与x轴交于点A、点B，顶点为C，则的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．
7．如图，已知开口向下，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（ ）
①；②；
③方程的两个根为，；
④（t为实数）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点，已知二次函数（实数为常数）的图象与轴交点有整点，则这样的整数a有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．已知二次函数的图像过点、，关于此函数图像与性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上 B．图像开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点
评卷人得分
二、填空题
11．如下图抛物线的图象交轴于和点，交轴负半轴于点，且．下列结论：①；②；③；④其中正确的序号有 ．
12．如图，已知直线（为常数）分别与轴，轴交于点，，抛物线与轴交于点．
（1）直线的解析式为 ．
（2）若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，的最小值是 ．
13．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
14．已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为直线 ．
15．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则函数关系式是 ．
16．如图，已知二次函数、、为常数，且的图像顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的是
评卷人得分
三、问答题
17．如图，中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿AC运动；同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿CB运动，当Q到达点B时，点P同时停止运动．
(1)求运动几秒时的面积为？
(2)的面积能否等于？若能，求出运动时间；若不能；
(3)是否存在某个时刻t，使四边形的面积最小？若存在，求出运动时间，若不能，说明理由．
18．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标；
(3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标；
参考答案：
1．C
【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数，
∴，函数的图象开口向上，
故选项A正确，不符合题意；
函数的最小值为，
故选项B正确，不符合题意；
图象可由抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
故选项C不正确，符合题意；
当时，y随x的增大而减小，
故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查二次函数的综合问题，解题关键是将问题转化为方程在上只有一个解，根据二次函数的性质即可求出答案．二次函数与x轴只有一个交点，则方程只有一个实数根，由此求解即可．
【详解】解：由题意可知：方程在上只有一个解，
当时，即，
解得：，
当时，此时，不满足题意，舍去，
故此时，
当时，
令，，
令，，
，
解得：，
当时，此时或3，满足题意；
当时，此时或，不满足题意；
综上所述，或，
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的轴对称性，是解题的关键．根据抛物线的开口向下，对称轴是：直线，则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴是：直线，
∴在的范围内，当时，y取最小值，
即：，
解得：，
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据图象与x轴的交点个数，即可判断①；根据抛物线的对称性可得与x轴的另一交点在点和之间，即可判断②；根据函数的对称轴，即可判断③；将点代入即可判断④．
【详解】解：由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，
∴有两个不同的根，
∴，故①错误；
∵抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，
∴与x轴的另一交点在点和之间，
∴时，，故②错误；
∵抛物线的顶点为，
∴，即，故③正确；
当时，，
故④正确；
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可．
【详解】解：∵，，是抛物线上的三点，
∴，，，
∵，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，锐角三角函数．先求出A，B，C的坐标，作于点，利用面积法求得和的长，利用三角形函数的知识即可求解．
【详解】解：当时，，
解得，，
∴A，B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴C到的距离为9，
∴．
如图，作于点，则，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．B
【分析】此题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向及对称轴的位置，确定a，b，c的符号判断①；由抛物线的对称性得到抛物线与x轴另一交点坐标为，当时，，得到，由此判断②；求出方程的两根，利用根与系数的关系判断③；利用对称轴得到函数最值判断④．
【详解】解∵图象开口向下，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．
∴，，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵
∴抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴当时，，
∴，故②正确；
∵抛物线与x轴交于点，，
∴的两个根分别为或，
∴，
∴，
若方程的两个根为，，
则，故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线．
∴
∴（t为实数），故④错误；
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质；根据抛物线开口方向向上可知、对称轴确定b的正负，即可判定①；根据抛物线可知，再结合①a、b的正负即可判定②；令，由抛物线可知当时，函数值小于0，即可判定③；根据抛物线与x轴有两个交点可对④进行判断；灵活运用二次函数图像的性质成为解题的关键．
【详解】解：∵根据抛物线开口方向向上，对称轴为
∴，，即，故①错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴，即，故②错误；
由函数图像可知：当时，函数值小于0，即，故③正确；
根据抛物线与x轴有两个交点，可知；
综上，正确的有③④；共2个．
故选B．
9．C
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，在中，令，得，解得：或，当当是的因数时，是整数，即可得出的值，从而得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：函数是二次函数，
，
，
在中，令，得，
解得：或，
，是整数，
当是的因数时，是整数，
或或或或或或或，
解得：或或或或或或或，
是整数，
或或或，共4个，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．根据可判断B，由图像过点、，得到对称轴为，从而判断C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再把代入求出函数值，即可判断A，利用根的判别式可判断D．
【详解】解：二次函数中，，
抛物线开口向下，故B错误；
图像过点、，
对称轴为直线，故C错误；
二次函数的图像过点、，
，
二次函数的解析式为，
当时，，
点不在函数图像上，故A错误；
令，整理得，
，
抛物线与直线有两个交点，故选项D正确．
故选：D．
11．①②③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的联系，求出抛物线与y轴的交点C坐标，即可求出B坐标，从而得出和为一元二次方程的两根，由根与系数的关系建立等式可判断②③；由，代入抛物线的解析式即可判断①；由，即可判断④．
【详解】解：观察图象可知，
∴，故④正确；
令，得，
∵，则点B坐标为，
故和为一元二次方程的两根，
由根与系数的关系可得，
解第二个等式可得：，故②正确；
把代入第一个等式得：,
移项得：，故①正确；
把B坐标代入函数中得：，
∴，即，
故③正确；
正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
12．
【分析】首先利用待定系数法求出直线的表达式，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，则可知当、、三点一线且与垂直时最小，由点坐标可确定出，点的坐标，即可求得的最小值．
【详解】解：（1）如图，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，
，
当、、三点一线且与垂直时最小，
由题意可得，解得，
直线解析式为；
，
，
直线的解析式为，
（2）由，解得，
，
即的最小值为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、轴对称最短问题，勾股定理，等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
13．
【分析】本题主要考查二次函数与不等式的关系，解题的关键是理解函数图象；因此此题可根据函数图象直接进行求解．
【详解】解：根据不等式可知：一次函数的图象需在二次函数的图象上方，
∴由图象可知：当时，满足；
故答案为．
14．/
【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称轴．根据二次函数图象的对称轴的公式，直接代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，
∴所得图象的函数表达式为，
故答案为：．
16．①④⑤
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定、、的正负即可解答；③将点的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．二次函数图像与系数的关系；二次函数图像上点的坐标特征
【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则，
故①正确；
抛物线的顶点为，
，，
，
，
抛物线与轴的交点在正半轴，
，
，
故②错误；
抛物线经过点，
，即，
故③错误；
抛物线的顶点为，且开口方向向下，
时，随的增大而减小，
故④正确；
，，
，
故⑤正确
故填：①④⑤．
17．(1)经过5秒后，的面积等于
(2)的面积不能等于
(3)当t＝3秒时，四边形的面积有最小值为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，二次函数的性质等知识．
（1）设运动t秒后的面积等于，分别表示出线段和线段的长，再利用三角形的面积公式列出方程求解即可；
（2）先由题意可得出关于t的一元二次方程，再由根的判别式可得出答案；
（3）先由面积公式可得出，再由二次函数的性质可得出答案．
【详解】（1）设运动t秒后的面积等于，
根据题意得：，则，
则的面积，
解得：（舍去），
∴经过1秒后，的面积等于．
（2）的面积不能等于，理由如下：
若的面积等于，
则，
化简得，，
∵，
∴方程无实数根，
∴的面积不能等于；
（3）存在某个时刻t，使四边形的面积最小
由题意可得：，
∵，
∴四边形的面积有最小值，
∵，
∴当秒时，四边形的面积有最小值为．
18．(1)
(2)
(3)面积的最大值为，此时
【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可；
（2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解；
（3）设，，过点G作轴，交于点F，设直线BC的解析式为，利用待定系数法得出，确定，，结合图形得出三角形面积的二次函数，由函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2），
∴抛物线的对称轴为，
当时，，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵、两点关于对称，
∴抛物线的对称轴为直线
当时，，
∴
∵，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，
∴
（3）如图2所示：设，
过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时，，面积的最大值为，此时．
【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．
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2023-2024学年 鲁教版（五四制）（2012）九年级上册 第三章 二次函数 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口方向向上 B．函数的最小值为
C．图象可由抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D．当时，随的增大而减小
2．二次函数的图象与x轴在的范围内有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
3．二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
4．如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①;②;③;④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．设是拋物线上的三点，则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的图象与x轴交于点A、点B，顶点为C，则的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．
7．如图，已知开口向下，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（ ）
①；②；
③方程的两个根为，；
④（t为实数）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点，已知二次函数（实数为常数）的图象与轴交点有整点，则这样的整数a有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．已知二次函数的图像过点、，关于此函数图像与性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上 B．图像开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点
评卷人得分
二、填空题
11．如下图抛物线的图象交轴于和点，交轴负半轴于点，且．下列结论：①；②；③；④其中正确的序号有 ．
12．如图，已知直线（为常数）分别与轴，轴交于点，，抛物线与轴交于点．
（1）直线的解析式为 ．
（2）若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，的最小值是 ．
13．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
14．已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为直线 ．
15．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则函数关系式是 ．
16．如图，已知二次函数、、为常数，且的图像顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的是
评卷人得分
三、问答题
17．如图，中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿AC运动；同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿CB运动，当Q到达点B时，点P同时停止运动．
(1)求运动几秒时的面积为？
(2)的面积能否等于？若能，求出运动时间；若不能；
(3)是否存在某个时刻t，使四边形的面积最小？若存在，求出运动时间，若不能，说明理由．
18．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标；
(3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标；
参考答案：
1．C
【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数，
∴，函数的图象开口向上，
故选项A正确，不符合题意；
函数的最小值为，
故选项B正确，不符合题意；
图象可由抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
故选项C不正确，符合题意；
当时，y随x的增大而减小，
故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查二次函数的综合问题，解题关键是将问题转化为方程在上只有一个解，根据二次函数的性质即可求出答案．二次函数与x轴只有一个交点，则方程只有一个实数根，由此求解即可．
【详解】解：由题意可知：方程在上只有一个解，
当时，即，
解得：，
当时，此时，不满足题意，舍去，
故此时，
当时，
令，，
令，，
，
解得：，
当时，此时或3，满足题意；
当时，此时或，不满足题意；
综上所述，或，
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的轴对称性，是解题的关键．根据抛物线的开口向下，对称轴是：直线，则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴是：直线，
∴在的范围内，当时，y取最小值，
即：，
解得：，
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据图象与x轴的交点个数，即可判断①；根据抛物线的对称性可得与x轴的另一交点在点和之间，即可判断②；根据函数的对称轴，即可判断③；将点代入即可判断④．
【详解】解：由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，
∴有两个不同的根，
∴，故①错误；
∵抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，
∴与x轴的另一交点在点和之间，
∴时，，故②错误；
∵抛物线的顶点为，
∴，即，故③正确；
当时，，
故④正确；
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可．
【详解】解：∵，，是抛物线上的三点，
∴，，，
∵，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，锐角三角函数．先求出A，B，C的坐标，作于点，利用面积法求得和的长，利用三角形函数的知识即可求解．
【详解】解：当时，，
解得，，
∴A，B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴C到的距离为9，
∴．
如图，作于点，则，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．B
【分析】此题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向及对称轴的位置，确定a，b，c的符号判断①；由抛物线的对称性得到抛物线与x轴另一交点坐标为，当时，，得到，由此判断②；求出方程的两根，利用根与系数的关系判断③；利用对称轴得到函数最值判断④．
【详解】解∵图象开口向下，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．
∴，，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵
∴抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴当时，，
∴，故②正确；
∵抛物线与x轴交于点，，
∴的两个根分别为或，
∴，
∴，
若方程的两个根为，，
则，故③错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线．
∴
∴（t为实数），故④错误；
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质；根据抛物线开口方向向上可知、对称轴确定b的正负，即可判定①；根据抛物线可知，再结合①a、b的正负即可判定②；令，由抛物线可知当时，函数值小于0，即可判定③；根据抛物线与x轴有两个交点可对④进行判断；灵活运用二次函数图像的性质成为解题的关键．
【详解】解：∵根据抛物线开口方向向上，对称轴为
∴，，即，故①错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴，即，故②错误；
由函数图像可知：当时，函数值小于0，即，故③正确；
根据抛物线与x轴有两个交点，可知；
综上，正确的有③④；共2个．
故选B．
9．C
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，在中，令，得，解得：或，当当是的因数时，是整数，即可得出的值，从而得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：函数是二次函数，
，
，
在中，令，得，
解得：或，
，是整数，
当是的因数时，是整数，
或或或或或或或，
解得：或或或或或或或，
是整数，
或或或，共4个，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．根据可判断B，由图像过点、，得到对称轴为，从而判断C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再把代入求出函数值，即可判断A，利用根的判别式可判断D．
【详解】解：二次函数中，，
抛物线开口向下，故B错误；
图像过点、，
对称轴为直线，故C错误；
二次函数的图像过点、，
，
二次函数的解析式为，
当时，，
点不在函数图像上，故A错误；
令，整理得，
，
抛物线与直线有两个交点，故选项D正确．
故选：D．
11．①②③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的联系，求出抛物线与y轴的交点C坐标，即可求出B坐标，从而得出和为一元二次方程的两根，由根与系数的关系建立等式可判断②③；由，代入抛物线的解析式即可判断①；由，即可判断④．
【详解】解：观察图象可知，
∴，故④正确；
令，得，
∵，则点B坐标为，
故和为一元二次方程的两根，
由根与系数的关系可得，
解第二个等式可得：，故②正确；
把代入第一个等式得：,
移项得：，故①正确；
把B坐标代入函数中得：，
∴，即，
故③正确；
正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
12．
【分析】首先利用待定系数法求出直线的表达式，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，则可知当、、三点一线且与垂直时最小，由点坐标可确定出，点的坐标，即可求得的最小值．
【详解】解：（1）如图，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，
，
当、、三点一线且与垂直时最小，
由题意可得，解得，
直线解析式为；
，
，
直线的解析式为，
（2）由，解得，
，
即的最小值为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、轴对称最短问题，勾股定理，等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
13．
【分析】本题主要考查二次函数与不等式的关系，解题的关键是理解函数图象；因此此题可根据函数图象直接进行求解．
【详解】解：根据不等式可知：一次函数的图象需在二次函数的图象上方，
∴由图象可知：当时，满足；
故答案为．
14．/
【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称轴．根据二次函数图象的对称轴的公式，直接代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，
∴所得图象的函数表达式为，
故答案为：．
16．①④⑤
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定、、的正负即可解答；③将点的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．二次函数图像与系数的关系；二次函数图像上点的坐标特征
【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则，
故①正确；
抛物线的顶点为，
，，
，
，
抛物线与轴的交点在正半轴，
，
，
故②错误；
抛物线经过点，
，即，
故③错误；
抛物线的顶点为，且开口方向向下，
时，随的增大而减小，
故④正确；
，，
，
故⑤正确
故填：①④⑤．
17．(1)经过5秒后，的面积等于
(2)的面积不能等于
(3)当t＝3秒时，四边形的面积有最小值为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，二次函数的性质等知识．
（1）设运动t秒后的面积等于，分别表示出线段和线段的长，再利用三角形的面积公式列出方程求解即可；
（2）先由题意可得出关于t的一元二次方程，再由根的判别式可得出答案；
（3）先由面积公式可得出，再由二次函数的性质可得出答案．
【详解】（1）设运动t秒后的面积等于，
根据题意得：，则，
则的面积，
解得：（舍去），
∴经过1秒后，的面积等于．
（2）的面积不能等于，理由如下：
若的面积等于，
则，
化简得，，
∵，
∴方程无实数根，
∴的面积不能等于；
（3）存在某个时刻t，使四边形的面积最小
由题意可得：，
∵，
∴四边形的面积有最小值，
∵，
∴当秒时，四边形的面积有最小值为．
18．(1)
(2)
(3)面积的最大值为，此时
【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可；
（2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解；
（3）设，，过点G作轴，交于点F，设直线BC的解析式为，利用待定系数法得出，确定，，结合图形得出三角形面积的二次函数，由函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2），
∴抛物线的对称轴为，
当时，，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵、两点关于对称，
∴抛物线的对称轴为直线
当时，，
∴
∵，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，
∴
（3）如图2所示：设，
过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时，，面积的最大值为，此时．
【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．
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