第三章勾股定理单元测试卷(含解析)
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2023-2024学年 鲁教版（五四制）（2012）七年级上册 第三章 勾股定理 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．1 B．5 C． D．
2．如图，将长方形纸片的边沿折痕折叠，使点落在上的点处，若，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
3．满足下列条件的三角形中，不能判断直角三角形的是（ ）
A．三个内角之比为 B．三边长的平方之比为
C．三边长之比为 D．三个内角的比为
4．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．14 D．24
5．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．将一支长的铅笔，置于底面直径为，高为的圆柱形笔筒中，设铅笔露出在笔筒外面部分的长为，则h的取值范围是（ ）
A．0≤h≤8 B．8≤h≤9 C．7≤h≤8 D．12≤h≤20
7．如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为，，则的值为（ ）
A．169 B．26 C．17 D．13
10．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，较大两个正方形的面积分别为169和144，则最小正方形A的边长是（ ）
A．25 B．13 C．12 D．5
评卷人得分
二、填空题
11．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知的最小值为 ．
12．如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为 ．
13．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上．则点C到的距离为 ．
14．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高九尺，未折抵地，去本三尺， 问折者高几何？意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折几处高几尺？即：如图，尺，尺，则 ．
15．已知：如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为 ．
16．如图，在四边形中，，相交于点，且，若，，，则 ．
评卷人得分
三、应用题
评卷人得分
四、证明题
17．如图，中，D是边上的一点，若A．
(1)求证：；
(2)求的面积．
评卷人得分
五、问答题
18．已知：在四边形中，，．
(1)求的长．
(2)是直角三角形吗？如果是，请说明理由．
(3)求这块空地的面积．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查的是两点间距离公式，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是：
．
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，长方形的性质，先由长方形的性质得到，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，则，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由长方形的性质可得，
由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选B．
3．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、三内角之比为，最大内角是，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、三边长的平方之比为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设三边长分别为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三内角之比为，最大内角是，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理，以直角三角形三边为图形的面积，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．
由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
由图形可知，阴影部分面积
，
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确得出圆柱形笔筒里铅笔的取值范围即可解题．
【详解】解：∵将一支长的铅笔，置于底面直径为，高为的圆柱形笔筒中，
∴在笔筒中铅笔最短是等于笔筒的高，最长是等于以笔筒高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度，
∴当笔筒中铅笔最短是等于笔筒的高时长度为．
最长时等于以笔筒高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：，
∴h的取值范围是：，
即，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查两点间线段距离最短及勾股定理，解题的关键是先把图中展开，根据两点间线段距离最短，再根据勾股定理求出的长．
【详解】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为2，M是的中点，
∴，，，
由勾股定理得，
如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为2，M是的中点，
∴，，，
由勾股定理得，
如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为2，M是的中点，
∴，，，
由勾股定理得，
∵，
∴最短路程为：，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，掌握翻折前后两个图形对应边相等，对应角相等，利用勾股定理列出方程，是解答本题的关键．
根据题意，由翻折的性质得到，，，设，在中，利用勾股定理求出，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
将沿折叠，使点落在边上的点处，
，，，
设，
，，，
，，
在中，由勾股定理得：
,
即，
解得：，
，
故选：．
9．A
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的平方即为的值．
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
故选：A．
10．D
【分析】此题考查了勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积求解即可．
【详解】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积，
∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144，
∴另一条直角边的平方为
∴最小正方形A的面积是25，边长为5；
故选：D．
11．
【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短．连接，由两点之间线段最短知的最小值即的长，过点E作，交的延长线于点F，则四边形是矩形，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，由两点之间线段最短知的最小值即的长，过点E作，交的延长线于点F，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．2
【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案．本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：2．
13．
【分析】本题主要考查运用勾股定理求三角形面积，先运用勾股定理求出，再运用等积法即可求出点C到的距离．
【详解】解：由勾股定理得，
设点C到的距离为d，则有：
，
解得，
所以，点C到的距离为．
答案为：．
14．4尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设尺，则尺，
由题意得，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴尺，
故答案为：4尺．
15．
【分析】本题考查了翻折变换、三角形的面积、长方形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．根据翻折变换可得，，即可利用勾股定理求得的长，进而求出的面积．
【详解】解：长方形中，，，，
根据翻折可知：
，，，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列式计算出值，再根据勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
【详解】解：∵，
∴，
∴由勾股定理得：
，
，
，
∴得：，
解得：，负值舍去，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形，是解题的关键．
（1）利用勾股定理逆定理，得到是直角三角形，即可证明；
（2）在中，利用勾股定理求得，从而求得,最后利用三角形的面积公式，进行计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
．
18．(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型．
（1）利用勾股定理，求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）把四边形的面积转化为两个三角形的面积和求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴．
（2）解：结论：是直角三角形．
理由：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（3）
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2023-2024学年 鲁教版（五四制）（2012）七年级上册 第三章 勾股定理 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A．1 B．5 C． D．
2．如图，将长方形纸片的边沿折痕折叠，使点落在上的点处，若，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
3．满足下列条件的三角形中，不能判断直角三角形的是（ ）
A．三个内角之比为 B．三边长的平方之比为
C．三边长之比为 D．三个内角的比为
4．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．14 D．24
5．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．将一支长的铅笔，置于底面直径为，高为的圆柱形笔筒中，设铅笔露出在笔筒外面部分的长为，则h的取值范围是（ ）
A．0≤h≤8 B．8≤h≤9 C．7≤h≤8 D．12≤h≤20
7．如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形，记这两个正方形的面积分别为，，则的值为（ ）
A．169 B．26 C．17 D．13
10．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，较大两个正方形的面积分别为169和144，则最小正方形A的边长是（ ）
A．25 B．13 C．12 D．5
评卷人得分
二、填空题
11．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知的最小值为 ．
12．如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为 ．
13．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上．则点C到的距离为 ．
14．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高九尺，未折抵地，去本三尺， 问折者高几何？意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折几处高几尺？即：如图，尺，尺，则 ．
15．已知：如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为 ．
16．如图，在四边形中，，相交于点，且，若，，，则 ．
评卷人得分
三、应用题
评卷人得分
四、证明题
17．如图，中，D是边上的一点，若A．
(1)求证：；
(2)求的面积．
评卷人得分
五、问答题
18．已知：在四边形中，，．
(1)求的长．
(2)是直角三角形吗？如果是，请说明理由．
(3)求这块空地的面积．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查的是两点间距离公式，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是：
．
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，长方形的性质，先由长方形的性质得到，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，则，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由长方形的性质可得，
由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选B．
3．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、三内角之比为，最大内角是，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、三边长的平方之比为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设三边长分别为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三内角之比为，最大内角是，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理，以直角三角形三边为图形的面积，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．
由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
由图形可知，阴影部分面积
，
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确得出圆柱形笔筒里铅笔的取值范围即可解题．
【详解】解：∵将一支长的铅笔，置于底面直径为，高为的圆柱形笔筒中，
∴在笔筒中铅笔最短是等于笔筒的高，最长是等于以笔筒高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度，
∴当笔筒中铅笔最短是等于笔筒的高时长度为．
最长时等于以笔筒高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：，
∴h的取值范围是：，
即，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查两点间线段距离最短及勾股定理，解题的关键是先把图中展开，根据两点间线段距离最短，再根据勾股定理求出的长．
【详解】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为2，M是的中点，
∴，，，
由勾股定理得，
如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为2，M是的中点，
∴，，，
由勾股定理得，
如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为2，M是的中点，
∴，，，
由勾股定理得，
∵，
∴最短路程为：，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，掌握翻折前后两个图形对应边相等，对应角相等，利用勾股定理列出方程，是解答本题的关键．
根据题意，由翻折的性质得到，，，设，在中，利用勾股定理求出，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
将沿折叠，使点落在边上的点处，
，，，
设，
，，，
，，
在中，由勾股定理得：
,
即，
解得：，
，
故选：．
9．A
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的平方即为的值．
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
故选：A．
10．D
【分析】此题考查了勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积求解即可．
【详解】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积，
∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144，
∴另一条直角边的平方为
∴最小正方形A的面积是25，边长为5；
故选：D．
11．
【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短．连接，由两点之间线段最短知的最小值即的长，过点E作，交的延长线于点F，则四边形是矩形，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，由两点之间线段最短知的最小值即的长，过点E作，交的延长线于点F，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．2
【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案．本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：2．
13．
【分析】本题主要考查运用勾股定理求三角形面积，先运用勾股定理求出，再运用等积法即可求出点C到的距离．
【详解】解：由勾股定理得，
设点C到的距离为d，则有：
，
解得，
所以，点C到的距离为．
答案为：．
14．4尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设尺，则尺，
由题意得，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴尺，
故答案为：4尺．
15．
【分析】本题考查了翻折变换、三角形的面积、长方形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．根据翻折变换可得，，即可利用勾股定理求得的长，进而求出的面积．
【详解】解：长方形中，，，，
根据翻折可知：
，，，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列式计算出值，再根据勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
【详解】解：∵，
∴，
∴由勾股定理得：
，
，
，
∴得：，
解得：，负值舍去，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形，是解题的关键．
（1）利用勾股定理逆定理，得到是直角三角形，即可证明；
（2）在中，利用勾股定理求得，从而求得,最后利用三角形的面积公式，进行计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
．
18．(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型．
（1）利用勾股定理，求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）把四边形的面积转化为两个三角形的面积和求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴．
（2）解：结论：是直角三角形．
理由：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（3）
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