7.5三角形内角和定理第2课时 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
北师大版 数学 八年级上册
第2课时
第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理
学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义．（重点）
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算．（难点）
符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则∠A +∠B +∠C = .
A
B
C
复习回顾
三角形内角和定理：三角形内角和等于 .
180°
180°
练一练：在△ABC中,若∠A +∠B=∠C，∠B-∠A =30°，则∠A = ，∠B = ，∠C= .
30°
60°
90°
一、创设情境，引入新知
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．
A
B
C
D
E
二、自主合作，探究新知
探究一：三角形的外角
外角的定义：△ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角。
如图，∠ACD是△ABC 的一个外角.
问题1： 画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？
有6个，分别是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
问题2： △ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系）
∠1和∠4是对顶角，相等；
∠2和 ∠5是对顶角，相等；
∠3和∠6是对顶角，相等.
D
A
B
C
如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
C
B
A
D
二、自主合作，探究新知
★三角形的外角的特征：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
每一个三角形都有6个外角．
知识要点
F
A
B
C
D
E
例1：如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
二、自主合作，探究新知
典型例题
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC和△BEF的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
议一议：（1）如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
D
A
B
C
二、自主合作，探究新知
探究二：三角形外角的性质
（2）如图,△ABC 的外角∠ ACD与其与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？
∠ACD与∠ACB互补.
∠A+∠B=∠ACD
相邻的内角
不相邻的内角
（3）你能证明上述结论吗？
D
A
B
C
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
二、自主合作，探究新知
想一想：还有没有其他证明方法？
证明：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
（三角形内角和定理）
∴∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质）
∵∠ACB+∠ACD=180°（平角的定义）
∴∠ACD=180°-∠ACB（等式的性质）
∴∠A+∠B=∠ACD（等量代换）
D
A
B
C
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
二、自主合作，探究新知
证明：过C作CE∥AB，
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
1
2
E
定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
D
A
B
C
想一想：△ABC的外角∠ACD与它不相邻的两个内角（∠A、∠B）的大小关系如何呢？
二、自主合作，探究新知
解：∵∠ACD=∠A+∠B,
∴∠ACD＞A,∠ACD＞∠B.
在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推理可以当作定理使用.
定理：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
二、自主合作，探究新知
知识要点
A
B
C
D
(
(
(
▼应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和定理的推论1：
三角形内角和定理的推论2：
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
▼应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴∠ACD＞A,∠ACD＞∠B.
例2：如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
A
C
D
B
E
二、自主合作，探究新知
典型例题
∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知),
∴∠C=∠EAC(等式的性质).
∵AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
想一想：还有其它证明方法吗？
还可以利用“同位角相等”或“同旁内角互补”来证明.
例3：已知: 如图,P 是△ABC内一点,链接PB，PC .
求证: ∠ BPC ＞ ∠A.
A
B
C
D
P
二、自主合作，探究新知
典型例题
证明：如图，延长BP，交AC于点D
∵ ∠ BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）
∴ ∠ BPC ＞ ∠ PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵ ∠ PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）
∴ ∠ PDC ＞ ∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴ ∠ BPC ＞ ∠ A
你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流.
三、即学即练，应用知识
1.如图所示，直线BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠B＝30°，∠A＝45°，则∠E的大小为（ ）A.60° B.75° C.90° D.105°
B
2.点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A 的大小关系是（ ）
A.∠A＞∠1＞∠2 B.∠A＞∠2＞∠1
C.∠2＞∠1＞∠A D.∠1＞∠2＞∠A
D
5.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是 .
D
E
4.在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 .
3.如图，在△ABC 中,∠B＝40°,∠ACD＝120°,
则∠A的度数是 .
三、即学即练，应用知识
80°
85°
∠A < ∠1 < ∠2
三、即学即练，应用知识
6.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°， ∠ BAC=70°.求：(1)∠B的度数；(2) ∠C的度数.
解：(1)∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又∵∠B=∠BAD，
∴∠B=40 .
(2)∵在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴∠C=180 -40 -70 =70°.
7.已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．
求证：∠1>∠2．
三、即学即练，应用知识
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知），∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.
∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知），
∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），
∴∠1>∠2（不等式的性质）.
四、课堂小结
三角形的外角
定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的内角和定理2
定理：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
三角形的内角和定理的推论
特征:角的顶点是三角形的顶点；角一边必须是三角形的一边；另一边必须是三角形另一边的延长线.
定义:△ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角。
2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115°
C.110° D.105°
F
E
D
C
B
A
五、当堂达标检测
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
C
B
3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ）
A.26° B.63° C.37° D.60°
F
A
B
E
C
D
五、当堂达标检测
4.根据图中已知角的度数，求∠α的度数.图a中的∠α=_______，图b中的∠α=_______，图c中的∠α=_______.
图a 图b 图c
A
60°
70°
35°
5.（1）如图，∠BDC是________的外角,也是 的外角；
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
B
C
D
E
五、当堂达标检测
△ADE
△ADC
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
=45 °+20 °+36 °=101 °.
F
A
C
D
E
B
6.如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
五、当堂达标检测
解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°,
∴ ∠BFC=88°.
五、当堂达标检测
7.如图，D为AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE.
求证：∠ADB＞∠CDE.
证明：∵∠BCD是△CDE的一个外角，
∴∠BCD＞∠CDE（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
又∵∠ADB是△BDC的一个外角，
∴∠ADB＞∠BCD（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠ADB＞∠CDE.
教材习题7.7.　　　　
六、布置作业