2023-2024学年九年级第一学期江苏省南京市建邺区期末数学试题（含解析）

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2023-2024学年九年级第一学期江苏省南京市建邺区期末数学试题
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1. 二次函数y＝3（x＋1）2－2的图像的顶点坐标是（ ）
A．（-1，-2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（1，2）
2. 已知一元二次方程x2－8x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）
A．10 B．6 C．8 D．－2
某校开展创建“书香校园”的活动，活动期间对某班位学生所阅读书籍数量的情况进行了统计，
并得到如下所示的统计表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
阅读书籍数量 本 本 本 本以上
人数（单位：人）
A．， B．， C．， D．，
4 . 抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，
所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2+2
5 .如图，A，B，C，D为上的点，且直线与夹角为．
若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
6 . 如图，抛物线与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线，
结合图像，下列结论：
①；
②；
③当时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．①④ B．③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7 . 如图，一个可以自由转动的圆形转盘被分成4个圆心角为60°和1个圆心角为120°的扇形区域，
并涂上了相应的颜色，随机转动转盘，转盘停止时，指针恰好落在黄色区域的概率是 ．
8. 若二次函数的图象和x轴有交点，则a的取值范围为 ．
如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，
则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为________m．
在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．
若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在左右，则n的值大约为_______
11 . 已知二次函数的部分图象如图所示，
则关于x的一元二次方程的解为 ．
12 .如图，A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠B＝118°，则∠D的度数为 °．
13 .某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．
设平均每次涨价的百分率为x，则x是 ．
14 . 如图，，，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，
当，时，则阴影部分的面积为 ．
如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y＝﹣x2+8（单位：米），
施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF＝3：2，
则脚手架高DE为_________米．
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E分别在BC、AC上
（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝45°，若△ADE是等腰三角形，则CE＝ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
(1)．
(2)．
18 .劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，
该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，
求平均每年的增产率．
为进一步巩固“青年大学习”网上主题团课学习成果，某校计划开展团课学习知识竞赛活动．
竞赛试题共有A、B、C三组，小云和小敏两位同学都将参加本次团课学习知识竞赛．
(1)小云抽中B组试题的概率是 ；
(2)利用画树状图或列表的方法，求小云和小敏抽到的是同一组试题的概率．
王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，
对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10
选手 平均数 中位数 众数 方差
甲 7 a 6
乙 b 7 c d
（1）以上成绩统计分析表中_______，________，______；
（2）d______（填“＞”、＜或“＝”）：
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
如图，在正方形网格中，点均在格点上，以为位似中心，
把按相似比缩小．（仅用无刻度的直尺，按要求画图，保留画图痕迹）
22 . 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)求AF长度的最小值．
23 .如图，CD是⊙O的弦，∠DBA＝60°．
(1)若AB是⊙O的直径，求∠C的度数；
(2)若∠C＝30°，求证AB是⊙O的直径．
24. 用一根长20 cm的铁丝围矩形．
(1)若围成的矩形的面积是16 cm2，求该矩形的长和宽；
(2)当长和宽分别为多少时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
25 .（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，
直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，
抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，
求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
若点在抛物线对称轴上，点为任意一点，是否存在点、，
使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？
若存在，请直接写出，两点的坐标，若不存在，请说明理由．
2023-2024学年九年级第一学期江苏省南京市建邺区期末数学试题 解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1.二次函数y＝3（x＋1）2－2的图像的顶点坐标是（ ）
A．（-1，-2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（1，2）
【答案】A
【分析】根据二次函数顶点式，顶点为：（h，k），可知题中函数的顶点为（-1，-2）
【详解】解：由题意得，二次函数y＝3（x＋1）2-2的图像的顶点坐标为（-1，-2）．
故选：A．
2. 已知一元二次方程x2－8x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）
A．10 B．6 C．8 D．－2
【答案】B
【分析】设方程的另一个根为t，利用两根之和为8得到2+t=8，然后解关于t的方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=8，
解得t=6，
即方程的另一个根为6．
故选：B．
3 .某校开展创建“书香校园”的活动，活动期间对某班位学生所阅读书籍数量的情况进行了统计，
并得到如下所示的统计表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
阅读书籍数量 本 本 本 本以上
人数（单位：人）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可．
【详解】解：一共个数据，这组数据按照从小到大的顺序排列处在第，位的都是，
则中位数为：，
出现的次数最多，则众数为：．
故选：C．
4 .抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，
所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2+2
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
【详解】抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得y＝（x+1）2+2．
故选：D．
如图，A，B，C，D为上的点，且直线与夹角为．
若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长，与直线交于E，连接，设弧长为所对的圆周角为，
根据题意得出，，利用三角形内角和定理求得，
即可求得弧长为所对的圆心角为，代入弧长公式即可求得的半径．
【详解】解：延长，与直线交于E，连接，
，，的长分别为，和，
的长为，的长为，
设弧长为所对的圆周角为，则，，
，，
，
，
弧长为所对的圆心角为，
，
，
故选：A．
6 .如图，抛物线与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线，
结合图像，下列结论：
①；
②；
③当时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．①④ B．③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据函数图象开口方向和与y轴交点位置判断a和c的正负，
令，得的值，根据开口方向和对称轴判断函数图象的增减性，
根据函数图象与x轴交点的个数判断一元二次方程解的情况．
【详解】解：∵函数图象开口向上，
∴，
∵函数图象与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵对称轴是直线，且与x轴交于点（4，0），
∴与x轴的另一个交点坐标是，
∴当时，，故②错误，
∵对称轴是直线，且开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，故③正确，
∵函数图象与x轴有两个交点坐标，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7 .如图，一个可以自由转动的圆形转盘被分成4个圆心角为60°和1个圆心角为120°的扇形区域，
并涂上了相应的颜色，随机转动转盘，转盘停止时，指针恰好落在黄色区域的概率是 ．
【答案】
【分析】根据黄色所占的面积与圆的面积的比，计算概率即可；
【详解】解：∵黄色所占的总圆心角为120°+60°=180°，
∴黄色所占的面积为半圆的面积，
∴指针恰好落在黄色区域的概率是，
故答案为：；
8. 若二次函数的图象和x轴有交点，则a的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】利用根的判别式进行计算，“图象和轴有交点”说明．
【详解】解：二次函数的图象和轴有交点，
且，
且．
故答案为：且．
9 .如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，
则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为________m．
【答案】
【解析】
【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，
根据其相似比即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
（米，
故答案为：1.6．
10.在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．
若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在左右，则n的值大约为_______
【答案】20
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，
可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，，
解得：，
经检验是原方程的根，
11 . 已知二次函数的部分图象如图所示，
则关于x的一元二次方程的解为 ．
【答案】
【分析】根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），对称轴为，
根据抛物性的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，
抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根．
【详解】解：根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），
对称轴为，
由抛物线的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为：
抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根，
即：；
故答案为：．
12.如图，A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠B＝118°，则∠D的度数为 °．
【答案】124
【分析】连接 AD ，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到∠ADC = ∠ADE ，
根据圆内接四边形的性质求出∠ADC ，进而得到答案．
【详解】解：连接 AD ，
∵ ，
∴∠ADC = ∠ADE ，
∵四边形 ABCD 为 O 内接四边形， ∠B =118°，
∴∠ADC =180°- ∠B =180°-118°=62°，
∴∠CDE =2×62°=124°，
故答案为：124
13 .某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．
设平均每次涨价的百分率为x，则x是 ．
【答案】10%
【分析】设平均每次涨价的百分率为x，根据题意列一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】设平均每次涨价的百分率为x，根据题意得，
解得（舍）
平均每次涨价的百分率为
故答案为：
14 . 如图，，，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，
当，时，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理和三角形的面积、圆的面积．根据勾股定理求出，
分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案．
能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解题的关键．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
15 .如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y＝﹣x2+8（单位：米），
施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF＝3：2，
则脚手架高DE为_________米．
【答案】6
【解析】
【分析】根据DE：EF＝3：2，可以先设DE＝3a，EF＝2a，
然后即可表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线y＝﹣x2+8上，
即可求得a的值，从而可以得到DE的值．
【详解】解：设DE＝3a，EF＝2a，
则点D的坐标为（﹣a，3a），
∵点D在抛物线y＝﹣x2+8上，
∴3a＝﹣a2+8，
解得：a1＝2，a2＝﹣8（舍去），
∴DE＝3a＝6（米），
故答案为：6．
16 .如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E分别在BC、AC上
（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝45°，若△ADE是等腰三角形，则CE＝ ．
【答案】2﹣或．
【分析】当△ABD∽△DCE时，可能是DA＝DE，也可能是ED＝EA，
所以要分两种情况求出CE长．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠ADE＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠ADE．
∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB＝∠DEC．
∵∠ADC+∠B+∠BAD＝180，∠DEC+∠C+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B+∠BAD＝∠DEC+∠C+∠CDE，
∴∠EDC＝∠BAD，
∴△ABD∽△DCE
∵∠DAE＜∠BAC＝90°，∠ADE＝45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD＝DE．
∴△ABD≌△DCE．
∴CD＝AB＝．
∴BD＝2﹣= CE，
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED＝EA．
∵∠ADE＝45°，
∴此时有∠DEA＝90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE＝DE＝AC＝．
∴CE=AC＝
当AD＝EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，
因此CE的长为2﹣或．
故答案为2﹣或．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先移项，再配方，然后开方得出答案；
（2）先移项，再因式分解，可得答案．
【详解】（1）解：，
，
配方，得，
即．
∴，．
（2）解：
移项，得，
因式分解，得，
即，
∴，．
18 .劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，
该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，
求平均每年的增产率．
【答案】平均每年的增产率为10%
【解析】
【分析】根据年均增长率的计算公式，列式计算即可．
【详解】解：设平均每年的增产率为x．
根据题意得：
解得 （不合题意，舍去）
答：平均每年的增产率为10%
19 .为进一步巩固“青年大学习”网上主题团课学习成果，某校计划开展团课学习知识竞赛活动．
竞赛试题共有A、B、C三组，小云和小敏两位同学都将参加本次团课学习知识竞赛．
(1)小云抽中B组试题的概率是 ；
(2)利用画树状图或列表的方法，求小云和小敏抽到的是同一组试题的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）先画树状图求解所有的等可能的结果数有9种，同时可得小云和小敏抽到的是同一组试题的机会有3种，再利用概率公式可得答案.
【详解】（1）解：小云抽中B组试题的概率是
故答案为：
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，符合条件的有3种，
所以小云和小敏抽到的是同一组试题的概率为
20 .王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，
对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10
选手 平均数 中位数 众数 方差
甲 7 a 6
乙 b 7 c d
（1）以上成绩统计分析表中_______，________，______；
（2）d______（填“＞”、＜或“＝”）：
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】（1）6，7，7
（2）
（3）乙同学，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果；
（2）根据平均数和方差的计算结果求出答案；
（3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可．
【小问1详解】
解：甲数据从小到大排列，第5、6位都6，故中位数为；
乙的平均数，
乙的数据中7最多有4个，所以众数，
故答案为：6，7，7；
【小问2详解】
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
选择乙同学，理由：
乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定．
21 .如图，在正方形网格中，点均在格点上，以为位似中心，
把按相似比缩小．（仅用无刻度的直尺，按要求画图，保留画图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】分别连接、、，再结合网格找出、、的中点，顺次连接即可求解．
【详解】解：如图所示，即为所求；
22 . 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)求AF长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】(1)先利用等角的余角相等，证得∠BAE＝∠CEF，再结合∠B＝∠C＝90°，即可证得△ABE∽△ECF．
(2) 由勾股定理得，在Rt△ADF中，∠D＝90°，．
要求AF长度的最小值，即求DF长度的最小值，也就是求CF长度的最大值即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE＋∠BEA＝90°．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA＋∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF．
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF．
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴＝，
即CF＝．
设CE＝x，则BE＝4－x．
∴CF＝＝－（x－2）2＋1，
当x＝2时，CF取最大值1；
此时，DF取最小值3．
当DF＝3时，AF取最小值，．
∴AF长度的最小值为5．
23.如图，CD是⊙O的弦，∠DBA＝60°．
(1)若AB是⊙O的直径，求∠C的度数；
(2)若∠C＝30°，求证AB是⊙O的直径．
【答案】(1)30°；
(2)证明见详解.
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADB=90°，根据三角形的内角和定理求出∠DAB=30°，
根据圆周角定理得出∠C=∠DAB即可；
（2）根据圆周角定理得出∠A=∠C＝30°，再根据∠A＋∠DBA＝90°，得出结论．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠A＋∠DBA＝90°．
∵∠DBA＝60°，
∴∠A＝30°．
∴∠C＝∠A＝30°．
（2）∵∠C＝30°，
∴∠A＝∠C＝30°．
∵∠DBA＝60°，
∴∠A＋∠DBA＝90°．
∴∠ADB＝90°．
∴AB是⊙O的直径．
24. 用一根长20 cm的铁丝围矩形．
(1)若围成的矩形的面积是16 cm2，求该矩形的长和宽；
(2)当长和宽分别为多少时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)长为8 cm，宽为2 cm
(2)当长和宽都是5 cm时，该矩形的面积最大，最大面积是25 cm2
【分析】（1）首先表示矩形的另一边长，进而利用矩形面积求法得出答案；
（2）利用二次函数最值求法得出答案．
【详解】（1）解：设该矩形的一组邻边的长为x cm和cm．
根据题意，得
x＝16．
解这个方程，得x1＝2，x2＝8．
当x＝2时，－x＝8；
当x＝8时，－x＝2．
答：该矩形的长为8 cm，宽为2 cm．
（2）解：设该矩形的一组邻边的长为x cm和cm，面积为y cm．
根据题意，得
y＝x，
即y＝－x2＋10x，
配方，得y＝－(x－5)2＋25，
因为－1＜0，
所以当x＝5时，y有最大值25．
则－x＝10-5=5．
答：当长和宽都是5 cm时，该矩形的面积最大，最大面积是25 cm2
25 .（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，
直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．
【答案】（1）①；②；（2）；；
（3）；
【分析】（1）①根据证明，即可得出；
②根据全等三角形的性质得出，设交于点O，根据，
结合三角形内角和定理，得出即可得出结果；
（2）证明，可得，，根据三角形的外角得出，，即可得结论；
（3）根据勾股定理求出，根据三角函数求出，
求出，证明，
求出，得出．
【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点O，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
（2）结论：， ．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
26 .如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，
抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，
求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
若点在抛物线对称轴上，点为任意一点，是否存在点、，
使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？
若存在，请直接写出，两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为，
(3)存在；，
【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，
进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，，
，
，
对称轴为直线，
，
设抛物线的表达式：，
，
，
抛物线的表达式为：；
（2）解：如图1，
作于，交于，
，，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
；
（3）解：设，
以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，
即：，
，
，
，
，，
，，
．
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