2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02（解析版）

2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷02
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．小于2的自然数集用列举法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（ ）
A． B． C． D．
4．假设有一组数据为6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是（ ）
A．5，6 B．6，4 C．6，5 D．6，6
5．若事件E与事件F相互独立，且，则=（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
9．把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（ ）的图象
A． B． C． D．
10．复数的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
11．设是两两不共线的向量，且向量，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
15．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．某校组织了名学生参与测试，随机抽取了名学生的考试成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中的值为
B．估计这名学生考试成绩的众数为
C．估计这名学生考试成绩的中位数为
D．估计这名学生考试成绩的上四分位数约为
17．下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
第Ⅱ卷（非选择题43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．已知复数是纯虚数，则实数__________.
21．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为__________.
22．命题“”为真命题，则取值范围为__________.
23．方程解的个数为__________.
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．（9分）已知向量，.
(1)求与；
(2)当为何值时，向量与垂直？
25．（9分）一汽车厂生产三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：
轿车 轿车 轿车
舒适型
标准型
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆．
(1)求抽取的轿车中，类轿车的数量；
(2)求的值；
(3)用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为的样本．将该样本看成一个总体，从中任取辆，求至少有辆舒适型轿车的概率．
26．（9分）给定函数，，．用表示，中的较大者，即.
(1)请用图象法表示函数，注：画出上的图象即可；
(2)写出函数的值域；
(3)若，则求a的值．
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．小于2的自然数集用列举法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设，小于2的自然数有，所以，列举法表示集合为.故选：C
2．如图，已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】由题设母线长为，则，可得.
故选：D.
3．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分针是顺时针走的，形成的角度是负角，
又分针走过了10分钟，
走过的角度大小为，
综上，分针走过的角度是．
故选：D．
4．假设有一组数据为6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是 （ ）
A．5，6 B．6，4 C．6，5 D．6，6
【答案】D
【详解】依题意，原数据组由小到大排列为：3，4，5，6，6， 6，8，
所以这组数据的众数与中位数分别是6，6.故选：D
5．若事件E与事件F相互独立，且，则=（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意.
故选：B
6．已知，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由，得，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由解得，，
因为“”是“”的必要不充分的条件，
所以“”是“”的必要不充分的条件，
故选:B.
8．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在上单调递增，在上单调递减，
故当处取得最大值，最大值为，
又时，，当时，，
故值域为.
故选：B
9．把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（ ）的图象
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以把图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象
故选：D.
10．复数的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，复数的虚部为.
故选：C
11．设是两两不共线的向量，且向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，
所以.
故选：C
12．已知，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】因为，
所以，
故选：D
13．若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为二次函数的对称轴为，
又函数在区间上为不单调函数，所以，
故选：C.
14．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为， ，
又因为在上单调递增，，
所以，即.故选：D.
15．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【详解】根据余弦定理知，
，
所以，则,
故三角形为直角三角形，
故选：
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．某校组织了名学生参与测试，随机抽取了名学生的考试成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．图中的值为
B．估计这名学生考试成绩的众数为
C．估计这名学生考试成绩的中位数为
D．估计这名学生考试成绩的上四分位数约为
【答案】ABD
【详解】根据频率和等于得：，
，故A正确；
由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为，则估计众数也为，
故B正确；
，，
可知中位数落在内，即中位数的估计值不是，故C错误；
上图各组对应的频率分别为：，，，，，
上四分位数在内，设第百分位数约为，则：，
得，故D正确．
故选：ABD
17．下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】A选项，，故不是偶函数，A错误；
B选项，定义域为R，且，故为偶函数，且在单调递增，满足要求，B正确；
C选项，定义域为R，且，故为奇函数，不合要求，C错误；
D选项，定义域为R，且，故为偶函数，且当时，单调递增，满足要求，D正确.
故选：BD
18．已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】若，则函数的图象单调递减且过点，
函数的图象单调递减且过点；
若，则函数的图象单调递增且过点，
而函数的图象单调递增且过点，
只有A,C的图象符合．
故选：AC
19．已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
【答案】BD
【详解】因为，
令，则，
所以的对称轴方程为：，
令，则D正确，A错误；
令，则，
所以的对称轴中心为：，
令，则的一个对称中心为，则B正确，C错误.
故选：BD.
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．已知复数是纯虚数，则实数 .
【答案】1
【详解】由复数是纯虚数，得，解得，
所以实数.
故答案为：1
21．（2023秋·广东·高二校联考阶段练习）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为 ．

【答案】
【详解】该树枝的树梢有处，有处能找到食物，所以获得食物的概率为.
故答案为：.
22．命题“”为真命题，则取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为命题“”为真命题，
所以，
所以，即取值范围为.
故答案为：.
23．方程解的个数为 .
【答案】1
【详解】解法一：令，则；
在同一平面直角坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示.
由图可知函数与的图象只有一个交点，
即函数只有一个零点.
故原方程只有1个解.
解法二：因为，，
所以，说明函数在区间内有零点.
又在区间上是增函数，所以原方程只有一个解.
故答案为：1
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．（9分）已知向量，.
(1)求与；
(2)当为何值时，向量与垂直？
【详解】（1）因为，，故，
故.
（2），，
因为向量与垂直，故，故.
25．（9分）一汽车厂生产三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：
轿车 轿车 轿车
舒适型
标准型
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆．
(1)求抽取的轿车中，类轿车的数量；
(2)求的值；
(3)用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为的样本．将该样本看成一个总体，从中任取辆，求至少有辆舒适型轿车的概率．
【详解】（1）根据分层抽样原则知：类轿车的数量为.
（2）由（1）得：抽取的类轿车的数量为，
根据分层抽样原则知：，解得：.
（3）根据分层抽样原则可知：抽取的个样本中，舒适型有辆，记为；标准型有辆，记为；
从个样本中任意抽取个，则有，，，，，，，，，，共个基本事件；
其中至少有个舒适型的基本事件有：，，，，，，，共个基本事件；
所求概率.
26．（9分）给定函数，，．用表示，中的较大者，即.
(1)请用图象法表示函数，注：画出上的图象即可；
(2)写出函数的值域；
(3)若，则求a的值．
【详解】（1）由，得，或，
得到；
得到或，
故，故的图像如图：
（2）由图象可知当时，取最小值，故值域为．
（3）当时，，∴．
当或时，或（舍）
故或