2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（解析版）

2024年1月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷03
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若复数，则在复平面上的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2． ，，则（ ）
A． B． C． D．
3．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．将化为弧度制，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，且，则（ ）
A．9 B．3 C．6 D．5
7．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
8．函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．某中学高三年级共有学生人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生人，则该校高三年级共有男生（ ）人
A． B． C． D．
10． （ ）
A． B． C． D．
11．某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都在区间（单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的百分位数是（ ）
A．29分钟 B．27分钟 C．29.5分钟 D．30.5分钟
12．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
13． 的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
14．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥但不对立的事件是（ ）
A．至少一个黑球与至少一个红球 B．至少一个黑球与都是黑球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少一个黑球与都是红球
15．如图，在长方体中，.则直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
17．已知向量，若，则实数m的值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
18．下列计算正确的有（ ）
A． B．
C． D．已知，则
19．已知函数（，）的部分图象所示，点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．的最小正周期为
D．在区间上单调递增
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
21．已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为 .
22．若（，且）是奇函数，则 .
23．在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．（9分）如图，在四棱锥中，底面四边长为2的菱形，∠ABC=60°， 底面， ，M为的中点，N为BC的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求点B到平面OCD的距离．
25．（9分）已知函数且，且的图象过点.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
26．（9分）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，.
(1)若，求，的值；(2)求面积的最大值.
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若复数，则在复平面上的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】复数在复平面上的对应的点为，
所以在复平面上的点在第四象限.
故选：D.
2． ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
3．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】第10次抛硬币结果不受前9次结果的影响，由于硬币正面向上或正面向下可能性相同，
则第10次出现正面向上的概率为，
故选：A．
4．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】因为为幂函数，所以，解得，或，
又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，
所以.
故选:A.
5．将化为弧度制，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
6．已知向量，，且，则（ ）
A．9 B．3 C．6 D．5
【答案】C
【详解】因为，，且，
所以，解得.
故选：C
7．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
【答案】B
【详解】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
故选：B.
8．函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】令，解得，
所以函数的零点个数是个.
故选：C.
9．某中学高三年级共有学生人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生人，则该校高三年级共有男生（ ）人
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设高三男生人数为人，则高三女生人数为人，
由分层抽样可得，解得.
故选：B.
10． （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，故选：D
11．某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都在区间（单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的百分位数是（ ）
A．29分钟 B．27分钟 C．29.5分钟 D．30.5分钟
【答案】B
【详解】健身运动时间在30分钟以下的比例为，
在25分钟以下的比例为，因此百分位数一定位于内，
由，可以估计健身运动时间的样本数据的百分位数是27分钟．
故选：B
12．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，，所以.故选：A
13． 的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】因为，
则由正弦定理可得：，
又，且，所以或．故选：．
14．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥但不对立的事件是（ ）
A．至少一个黑球与至少一个红球 B．至少一个黑球与都是黑球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少一个黑球与都是红球
【答案】C
【详解】从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球．
对于A，至少一个黑球与至少一个红球，能同时发生的情况有“恰有一个黑球”，故不是互斥事件，不符合要求；
对于B，至少一个黑球与都是黑球，能同时发生的情况有“都是黑球”，故不是互斥事件，不符合要求；
对于C，恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件，符合要求；
对于D，至少一个黑球与都是红球，不能同时发生且“至少一个黑球”与“都是黑球”必有一个发生，是对立事件，不符合要求；
故选：C．
15．如图，在长方体中，.则直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接直线，显然，在长方体中，平面，故即为直线与平面所成角，
在中，，，，
，
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【详解】若，则，所以，即，A正确；
若，，则，B错误；
取，满足，但，C错误；
若，则，所以，即，D正确.
故选：AD
17．已知向量，若，则实数m的值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】ABC
【详解】因为，所以，
解得或0或．
故选：ABC
18．下列计算正确的有（ ）
A． B．
C． D．已知，则
【答案】CD
【详解】A：，错误；
B：，错误；
C：，正确；
D：，正确.
故选：CD
19．已知函数（，）的部分图象所示，点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．的最小正周期为
D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【详解】由得，∴.
又，∴，∴.
根据“五点法”可得，解得，故.
令，得，为最大值，故直线是图象的一条对称轴，故A正确；
把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故B不正确；
的最小正周期为，故C正确；
当时，，故此时单调递增，故D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】命题“，”是假命题，故，
解得或.
故答案为：.
21．已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为 .
【答案】/0.25
【详解】由题意，
在中，，，
∵复数为纯虚数
∴，
∴复数是纯虚数的概率为：，
故答案为：.
22．若（，且）是奇函数，则 .
【答案】/
【详解】由，可得，
因为是奇函数，所以，
所以，解得.
故答案为：.
23．在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 .
【答案】
【详解】以A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，
，
设直线BC方程为，则，
解得，所以BC方程为，设，
所以，
得.
故答案为：.
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．（9分）如图，在四棱锥中，底面四边长为2的菱形，∠ABC=60°， 底面， ，M为的中点，N为BC的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求点B到平面OCD的距离．
【详解】（1）如图，
(1)证明: 取OB中点,连接ME,NE，
，
平面OCD，平面OCD，所以ME平面OCD
同理，平面OCD，平面OCD，所以NE平面OCD
,平面MNE,
平面MNE平面OCD，而平面，
平面；
（2）由题意得，；
，
CD边上的高等于,，
，
.
故点B到平面OCD的距离为
25．（9分）已知函数且，且的图象过点.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【详解】（1）的图象过点，
，
又
（2）在R上单调递增
.
26．（9分）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，.
(1)若，求，的值；
(2)求面积的最大值.
【详解】（1）由题设，又，
所以，故.
故，.
（2）由.
而，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为.