2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（含解析）

2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷03
(考试时间：90分钟，总分：150分)
一、选择题（本大题共12题，每小题6分，共计72分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知i是虚数单位，若复数，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3．若，，，的夹角为135°，则（ ）
A． B． C． D．12
4．过点且与已知直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若，则
6．已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）．
A．只有2次出现反面 B．至少2次出现正面
C．有2次或3次出现正面 D．有2次或3次出现反面
11．已知偶函数，当时，，则（ ）
A．3 B． C． D．5
12．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）
13．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ．
14．若正数满足，则的最小值是 ．
15．在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于 ．
16．已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位:年）与维护费用单位:千元）之间有如表数据:
使用年限年
维护费用千元
与之间具有线性相关关系,且关于的线性回归方程为（为常数）.据此估计,使用年限为年时,维护费用约为 千元.
17．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为 .
18．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上 下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是 .
三、解答题（本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写文字说明，证明过程和演算步骤.）
19．在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B的值；
（2）若，求的值．
20．手机支付也称为移动支付(Mobile Payment)，是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15岁至65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图．
组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
分组 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65]
频数 x 35 y 12 3
(1)求x，y，a的值；
(2)若从第1，3组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数．
21．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．
(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．
22．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
一、选择题（本大题共12题，每小题6分，共计72分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】跟据补集的定义做题即可.
【详解】解：因为全集，集合,
所以或.
故选：D
2．已知i是虚数单位，若复数，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】化简复数即得解.
【详解】解：由题得，所以2.
故选：A
3．若，，，的夹角为135°，则（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的定义求解.
【详解】因为，，且，的夹角为135°，
所以，
故选：B
4．过点且与已知直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由垂直关系得到直线斜率，由点斜式写出方程即可.
【详解】∵直线的斜率，∴所求直线斜率，
故直线方程为，即.
故选：B．
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据线面垂直以及面面垂直的性质判断A，B；根据线面平行的性质判断C；根据线面垂直的性质判断D.
【详解】对于A，若，，则或者或者相交，故A错误，
对于B，若，则或者或者相交，故B错误，
对于C，若且，则m与n可能平行、相交或异面，故C错误.
对于D，若，则，又，所以，故D正确，
故选：D.
6．已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据圆的标准方程直接求解即可.
【详解】由标准方程可得：圆的圆心为，半径为，
故选：B.
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由分母中根式内部的代数式大于0，解一元二次不等式得答案.
【详解】由，得或，所以函数的定义域为.
故选：C
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法及一元二次不等式的解法，属于基础题.
8．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的相位变换可得.
【详解】由三角函数图象的相位变换可知，将函数的图象向右平移个单位长度所得图象的解析式为.
故选：D
9．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：根据时的函数值即可得解.
法二：根据函数的图象是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，即可得解.
【详解】法一：当时，，只有B选项符合.
法二：，
则函数的图象是由函数先向右平移个单位长度，
再向上平移一个单位长度得到的，只有B选项符合.
故选：B.
10．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）．
A．只有2次出现反面 B．至少2次出现正面
C．有2次或3次出现正面 D．有2次或3次出现反面
【答案】D
【分析】根据对立事件定义判断．
【详解】连续抛掷一枚硬币3次，正面出现的次数有，因此事件“至少2次出现正面”的对立事件是“正面出现0次或1次”即“有2次或3次出现反面”，
故选：D．
11．已知偶函数，当时，，则（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【分析】利用偶函数定义，结合已知解析式求解可得.
【详解】因为为偶函数，
所以，
又当时，，
所以，
所以.
故选：B
12．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数关系求得，然后利用正弦的二倍角公式计算.
【详解】因为 ,且，所以，
所以.
故选:C.
二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）
13．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ．
【答案】
【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式.
【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，.
因此，所求函数解析式为.
故答案为：.
14．若正数满足，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式直接求解即可.
【详解】，，，（当且仅当时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
15．在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于 ．
【答案】4
【分析】利用等差数列前项和公式和等差中项求解即可.
【详解】因为等差数列前5项的和，
所以，
所以
故答案为：4
16．已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位:年）与维护费用单位:千元）之间有如表数据:
使用年限年
维护费用千元
与之间具有线性相关关系,且关于的线性回归方程为（为常数）.据此估计,使用年限为年时,维护费用约为 千元.
【答案】/
【分析】先根据条件写出,代入关于的线性回归方程为,求出,确定关于的线性回归方程,令即可得到结果.
【详解】由已知得:
,
因为关于的线性回归方程为,
所以,
解得,
所以关于的线性回归方程为,
则当时,千元.
故答案为:.
17．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为 .
【答案】(－∞，－1)
【分析】求导，令＜0，结合函数定义域即得解
【详解】函数的定义域为：，解得 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
又
令＜0得，又 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
故
故递减区间为(－∞，－1)
故答案为：(－∞，－1)
18．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上 下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是 .

【答案】
【分析】根据题意，求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，从而求得该陀螺的表面积，得到答案.
【详解】因为陀螺的底面圆的半径为，
由，则，即圆柱的母线长为，
所以圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，圆柱的底面积为，
所以该陀螺的表面积为.
故答案为：.
三、解答题（本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写文字说明，证明过程和演算步骤.）
19．在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件可求出角B的值；
（2）由已知求出的值，再利用诱导公式和两角和的正弦公式可求得结果
【详解】（1）在中，由余弦定理可知，因为，所以，又，得，
（2）因为，所以，
在中，，
则
【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查诱导公式和两角和的正弦公式，属于基础题
20．手机支付也称为移动支付(Mobile Payment)，是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15岁至65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图．
组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
分组 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65]
频数 x 35 y 12 3
(1)求x，y，a的值；
(2)若从第1，3组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数．
【答案】(1)，，
(2)2人，3人
【分析】（1）根据频数之和即为样本总数.
（2）根据封层抽样解决
【详解】（1）由题意可知，，
所以，
从而．
（2）第1，3组共有50人，所以抽取的比例，
则从第1组抽取的人数为，
从第3组抽取的人数为．
21．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）根据线面垂直的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，然后根据线面垂直的判定定理和定义证明即可；
（2）将点到平面的距离转化为点到平面的距离，然后求体积即可.
【详解】（1）在三棱柱中，平面，则平面，
由平面，则，
因为，则，又为的中点，则，
又，平面，则平面，
由平面，因此，.
（2）设点到平面的距离为，则等于点到平面的距离，
.
22．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)15米；
(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.
【分析】（1）设篱笆的一面的长为 x 米，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；
（2）根据题意，可得，根据二次函数最值的求法求解即可．
【详解】（1）设篱笆的一面AB的长为 x 米，则，
由题意得，，
解得，
，
，
，
所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）由题意得，
时， S 取得最大值，此时，，
所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．