江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷02（含解析）

江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷02
选择题（本大题共28题，每小题3分，共计84分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．某人在5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为，，10， 11，9．已知这组数据的平均数为10，则的值为
A．10 B．16 C．15 D．20
5． 已知，，，则，，的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
6．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．若某人的血压满足函数式p(t)=102+24sin(160t)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则下列说法正确的是 ( )
A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值
D．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值
7．已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A． B．5 C． D．1
8．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，某圆锥的高为，底面半径为1，为底面圆心，，为底面半径，且，是母线的中点．则在此圆锥侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．函数y＝2sin(x∈[0，π])的单调递增区间是 (　　)
A． B． C． D．
13．若则（ ）
A． B． C． D．
14．已知，则（ ）
A． B． C． D．
15． 已知不重合的两条直线m，n和两个不重合的平面，，则下列选项正确的是（ ）
A． 若，且，则
B． 若，且，则
C． 若，且，则
D． 若，且，则
16．若，，则= （ ）
A． B． C． D．
17．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断形状
18．在锐角中，角A，B所对的边长分别为，若，则角A= （ ）
A．45° B．60° C．45°或135° D．60°或120°
19．函数的定义域是 (　　)
A． B． C． D．
20．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为 (　　)
A． B． C． D．
21．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于 (　　)
A． B．1 C． D．2
22．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 (　　)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D． cm
23． （ ）
A． B． C． D．
24．在中，若，则= （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．已知向量，，与平行，则实数x的值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．在底面直径和高均为的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为（ ）
A． B． C． D．
27．已知，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的上为增函数
C．的最小值为 D．图象的一条对称轴方程为
二 解答题：本大题共2小题，共计16分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
29．（本小题满分8分）
如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
30．（本小题满分8分）
已知函数的定义域为，其图象关于原点成中心对称，且对任意的，当时，都有成立．
（1）试讨论与的大小；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的最小值．
选择题（本大题共28题，每小题3分，共计84分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
1．【答案】C
【解析】因为，，所以．故选C．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．【答案】D
【解析】A选项，当时，，故A错误；B选项，当，，，时，，，故B错误；C选项，当，，，时，，故C错误；D选项，若，，则，即，故D正确．故选D．
3．若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．【答案】D
【解析】∵，∴，∴在复平面内复数z对应的点位于第四象限．故选D．
4．某人在5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为，，10， 11，9．已知这组数据的平均数为10，则的值为
A．10 B．16 C．15 D．20
4．【答案】D
【解析】根据平均数的计算方法即可求解．【解析】由题意可得，
解得．故选D．
5． 已知，，，则，，的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
5．【答案】B
【解析】，，，，
，．故选B．
6．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．若某人的血压满足函数式p(t)=102+24sin(160t)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则下列说法正确的是 ( )
A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值
D．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值
6．【答案】C
【解析】收缩压= p(t)max =102+24=126；舒张压= p(t)min =102-24= 78．故选C．
7．已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A． B．5 C． D．1
7．【答案】B
【解析】由解得，．故选B．
8．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．【答案】C
【解析】令，则，则．故选C．
9．已知，，均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．【答案】C
【解析】由题意，，则，，得．故选C．
10．如图，某圆锥的高为，底面半径为1，为底面圆心，，为底面半径，且，是母线的中点．则在此圆锥侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．【答案】D
【解析】的长度，母线长为2，将圆锥位于之间的部分展开，其圆心角，所以最短的路径．故选A．
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．【答案】A
【解析】，，，由函数在上单调递增，则，由函数在上单调递减，则，故．故选A．
12．函数y＝2sin(x∈[0，π])的单调递增区间是 (　　)
A． B． C． D．
12．【答案】C
【解析】y＝2sin＝－2sin，当2x－∈，k∈Z，即x∈，k∈Z时，函数单调递增．因为x∈，所以x∈．故选C．
13．若则（ ）
A． B． C． D．
13．【答案】D
【解析】．故选D．
14．已知，则（ ）
A． B． C． D．
14．【答案】A
【解析】
．故选A．
15． 已知不重合的两条直线m，n和两个不重合的平面，，则下列选项正确的是（ ）
A． 若，且，则
B． 若，且，则
C． 若，且，则
D． 若，且，则
15．【答案】B
【解析】对于A：当，且，则n可能在内，A错误；对于B：由条件可知B正确；对于C：当，且时，可能相交，也可能平行，C错误；对于D：当，且时，可能平行或异面或相交，D错误．故选B．
16．若，，则= （ ）
A． B． C． D．
16．【答案】C
【解析】根据对数的换底公式得，．故选C．
17．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断形状
17．【答案】A
【解析】由题意，，则均为锐角，，
故为锐角，综上，是锐角三角形．故选A．
18．在锐角中，角A，B所对的边长分别为，若，则角A= （ ）
A．45° B．60° C．45°或135° D．60°或120°
18．【答案】B
【解析】由正弦定理及已知得，因为B为的内角，所以，所以．因为A为三角形的内角，所以A=．在锐角三角形为，,所以A=．故选B．
19．函数的定义域是 (　　)
A． B． C． D．
19．【答案】B
【解析】由题意得，．定义域为．故选B．
20．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为 (　　)
A． B． C． D．
20．【答案】A
【解析】是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，
，等价于，即，即不等式的解集为．故选A．
21．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于 (　　)
A． B．1 C． D．2
21．【答案】C
【解析】由幂函数的定义，知，∴k＝1，α＝．∴k＋α＝．故选C．
22．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 (　　)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D． cm
22．【答案】B
【解析】S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2．故选B．
23． （ ）
A． B． C． D．
23．【答案】B
【解析】因为．故选B．
24．在中，若，则= （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．【答案】A
【解析】由余弦定理将各值代入得,解得或(舍去)．故选A．
25．已知向量，，与平行，则实数x的值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．【答案】D
【解析】由已知，又，，解得．故选D．
26．在底面直径和高均为的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为（ ）
A． B． C． D．
26．【答案】B
【解析】如图，作出圆锥的轴截面，设内接圆柱的高为，底面半径为，则根据三角形相似，可得，解得，所以内接圆柱的侧面积为，当且仅当时，侧面积有最大值．故选B．
27．已知，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．【答案】B
【解析】①若，则，，则，即①错误；
若，则，即，因为，所以，，
即，即，所以②正确；若，则，因为，即，所以，即③正确；④取，，满足，但，所以④错误；所以真命题有②③．故选B．
28．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的上为增函数
C．的最小值为
D．图象的一条对称轴方程为
28．【答案】D
【解析】，对A，的最小正周期为，故A错误．对B，由，得，则在上先增后减，故B错误．对C，的最小值为，故C错误．对D，，图象的一条对称轴方程为，故D正确．故选D．
二 解答题：本大题共2小题，共计16分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
29．（本小题满分8分）
如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
29．【解析】（1）为中点，，
，又，，
，
，，（2分）
又平面平面，
平面平面，平面，
平面，
又平面，
．（4分）
（2）由三棱柱结构特征可知：平面平面，
点到平面的距离即为点到平面的距离，（6分）
又，
．（8分）
30．（本小题满分8分）
已知函数的定义域为，其图象关于原点成中心对称，且对任意的，当时，都有成立．
（1）试讨论与的大小；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的最小值．
30．【解析】（1）显然当时，，
当时，因为函数的定义域为，且图象关于原点成中心对称，
则为奇函数，即，，
先考虑当任意的，由题可得，
由函数单调性的定义可知在上单调递减，
又是定义在上的奇函数，所以在定义域上单调递减，（2分）
所以，当时，；
当时，；
当时，．（4分）
（2）由（1）知函数为上的减函数且为奇函数，
则，即，
即在上恒成立，
因为，则，（6分）
当且仅当，即时等号成立，
所以，解得，所以实数的最小值为．（8分）