数学人教A版（2019）必修第一册3.2.2函数的奇偶性（共30张ppt）

(共30张PPT)
课前活动
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《中国传统手工艺--剪纸》.
3.2.2 奇偶性
学习目标
1.了解函数奇偶性的定义.（数学抽象）
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.（逻辑推理）
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.（直观想象）
第一部分
『巧设情境
引入新知』
剪纸是中国的传统民间艺术，图案漂亮，给人一种对称的美感
问题1:它们分别对应我们数学中的哪些对称关系？
问题2:哪些函数图象也具有类似的对称性？
轴对称和中心对称
怎么判断函数的对称性？
问题3:函数图象具有对称性吗
问题4:在研究函数单调性时我们有没有遇到类似的困难？
当时是如何解决的？
第二部分
『形成概念
理解辨析』
量化对称，初始“任意”
探究1
完成表格：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
… -1 0 1 2 1 0 -1 …
画出图象：
问题1:图象有何共同特征？
关于y轴对称
问题2:仔细观察表格中的数量特征，发现了什么规律？
f(-1)=f(1), f(-2)=f(2), f(-3)=f(3),…,
f(-x)=f(x)
问题3:上述结论是否具有一般性？可否证明？
自变量取相反数
对应函数值相等
探究2
问题1.图象是由什么元素构成的？
几何演示，理解“任意”
问题2.图象关于y轴对称的本质是什么？
问题3.点P在一个轴对称的函数图象上，那么点P关于 y 轴对称的点P′是否一定在函数图象上？
点
点关于y轴对称
在
探究2
问题4.图象上任取一点,则关于y轴的对称点的坐标是什么？
符号刻画，理解“任意”
问题5.点也在函数图象上，坐标还能怎样表示？
问题6.两种方式都表示点，可以得到什么结论？
问题7.反之，若，我们如何理解这个等式？
横坐标互为相反数时，对应函数值相等，
即纵坐标相等，此时这两个点关于y轴对称
问题8.我们将具有以上特征的函数称为偶函数，能用符号语言概括偶函数的定义吗？
任意x∈R，
探究3
问题1.图象关于y轴对称具有一般性，定义域一定为R吗？
抽象概括，揭示特征
不一定.
不妨设定义域为D，“任意x∈D，
问题2.如果在图象上去掉点(1,1)，图象还关于y轴对称吗？
如果定义域取[-3,2]呢？
都不是轴对称图形
问题3.那么我们对偶函数又有什么新的认识？
偶函数的定义域关于原点对称
探究3
问题4.能完善偶函数的抽象定义吗？
定义 一般地，记函数f(x)的定义域为D，如果任意x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function).
图象特征 偶函数的图象关于y轴对称
抽象概括，揭示特征
1.偶函数
【推理路径图】若函数y=f(x)的图象关于y轴对称
由图象得关系式
在函数图象上任取一点
记点P关于y轴的对称点为P’,则
因为点P’也落在函数的图象上，所以
从而可以得到
②由关系式反推图象关系
当得到点的对称关系（轴对称）进而推广到图象的对称关系.
探究4
学生活动：类比偶函数的定义，请同学们以小组为单位，以为例，合作探究奇函数的定义，最后推选一名小组代表在班级层面汇报展示小组的探究结果.
抽象概括，揭示特征
探究4
2.奇函数
定义 一般地，记函数f(x)的定义域为D，如果任意x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function).
图象特征 奇函数的图象关于原点对称.
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则称函数f(x)具有奇偶性.
抽象概括，揭示特征
第三部分
『应用举例
巩固新知』
例1.（1）判断函数奇偶性；
（3）判断函数奇偶性；
（4）判断函数奇偶性；
（2）判断函数的奇偶性.
归纳1.奇函数和偶函数的异同点
归纳2.如何说明一个函数不具有奇偶性
图象法和定义法。步骤：①看(定义域)②找(等量关系)③确定
偶函数 奇函数
定义域 关于数0对称 图象（形） 关于y轴对称 关于原点中心对称
定义（数） 任意x∈D，都有-x∈D，且f(x)=f(-x) 任意x∈D，都有-x∈D，且f(x)=-f(-x)
只需满足存在x∈D，-x D或存在x∈D ，有f(x)≠f(-x)或-f(x)≠f(-x)
用自然语言描述：定义域不关于原点对称或举特例说明，如f(1)≠f(-1)
问题3.判断奇偶性的方法和步骤是什么？
拓展2：根据函数奇偶性可以将函数分为哪几类？
有,比如y=0，x∈R
奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数
拓展1.是否存在一个函数既是奇函数又是偶函数？
拓展3 请判断对称性？
函数展示
猜想1：奇函数+奇函数是奇函数
猜想2：偶函数+偶函数是偶函数
猜想3：奇函数+偶函数是….
猜想5：奇函数×奇函数是….
猜想6：偶函数×偶函数是….
猜想3：奇函数-奇函数是奇函数
猜想7：奇函数×偶函数是….
猜想4：奇函数+偶函数是….
…….
第四部分
『课堂小结
随堂检测』
函数图象的对称性
从特殊到一般
从具体到抽象
几何直观
数形结合
类比推理
数学抽象
直观想象
逻辑推理
利用定义解决数学问题
发现函数的其他性质
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 是定义在 上的函数，若 ，则 一定是偶函数.( )
×
（2） 对于函数 ，若存在 ，使 ，则函数 一定是奇函数.( )
×
（3） 不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )
×
（4） 若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数.( )
×
2.下列函数是偶函数的是( @10@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] 选项A, 中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数．
3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( @12@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] 选项A中的图象关于原点、 轴均不对称，故排除；选项C, 中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于 轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B.
4.若 是定义在 上的奇函数， ，则 ______， ____．

0
[解析] 因为 是定义在 上的奇函数，所以 ， ．
5.定义在 上的奇函数 在 上的图象如图所示．
（1）画出 的图象；
（2）解不等式 ．
[解析] （1）先描出 ， 关于原点的对称点 ， ，连线可得 的图象如图．
（2） 即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知， 的解集是 ．
感谢聆听