北师大版数学七年级下册4.1 认识三角形（第3课时）同步课件

4.1 认识三角形
第3课时
学习目标
1）通过画图与观察的实践过程，认识三角形的中线、角平分线、高。
2）画三角形中线、角平分线、高。
3）理解三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在直线交于一点。
重点
画三角形中线、角平分线、高。
难点
解决与三角形中线、角平分线、高有关的计算。
三角形中边的关系
三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形
三角形的三边关系
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边
腰和底边不相等的等腰三角形
等边三角形
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节课我们一起来解决这个问题吧！
定义
图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片吗？
课前游戏
你知道怎么确定这个点的位置吗？
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median). AE是BC边上的中线.
三角形的“中线”
B
A
C
A
BE=EC
E
几何语言：
∵AE为△ABC的中线，
∴BE=CE=
（或BC=2BE=2CE）
BC
1
2
三角形的中线有什么特点？
A
B
C
E
(1)AE是△ABC中BC边上的中线．
(2)点E是BC边的中点．
(3)BE＝EC或BD＝ BC或EC＝ BC
或BE＝EC＝ BC.
拓展：如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？
B
C
D
E
A
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
发现：三角形的中线能将三角形的面积平分.
议一议：
（1）在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流．
（2）钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流．
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
归纳：三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心.
三条中线交于三角形内部
生活中，有时你会发现可以你用一个手指能顶起一支笔或一本书，那这是为什么呢？
“重心”
例1.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
7cm
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
2
1
D
C
B
A
几何表示：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2= ∠BAC ．
B
A
C
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
A
B
C
A
D
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?
(2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系 ?
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
A
C
B
F
E
D
O
∵BE是△ABC的角平分线
∴______=______ =????????______
?
∴∠ACB=2______ =2______
∠ABE
∠CBE
∠ABC
∠ACF
∵CF是△ABC的角平分线
∠BCF
三角形的三条角平分线线交于一点
1.通过上面三类三角形的角平分线的位置关系，可以发现：
一个三角形有三条角平分线，这三条角平分线交于一点．
2.三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线.
三条中线的交点叫做三角形的重心
三条角平分线的交点叫做三角形的内心
例2.关于三角形的角平分线，下列说法正确的是(　　)
A．是线段　　　　　 B．是射线
C．是直线 D．可以是射线或线段
A
解：因为AD是△ABC的角平分线，
∠BAC＝68°，
所以∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，
∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
例3.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
1.下列说法中正确的是(　　)
A．三角形的角平分线和中线都是线段
B．三角形的角平分线和中线都是射线
C．三角形的角平分线是射线，而中线是线段
D．三角形的角平分线是线段，而中线是射线
A
2.填空：
（1）线段AD是△ABC 的角平分线，那么∠BAD =______= ____;
（2）线段 AE 是 △ABC 的中线，那么BE = _____ = ____BC.
3.如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
B
4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是(　　)
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3＝ ∠ACB
D．CE是△ABC的角平分线

5．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
D
6.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
D
B
C
7.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分线，求∠ABD的度数.
解：在△ABC中，因为∠A＝50°，∠C＝72°，
所以∠CBA＝180°－∠A－∠C＝58°.
因为BD平分∠CBA，
所以∠ABD＝ ∠CBA＝29°.
8.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12 cm和15 cm的两部分，求三角形的各边长．
因为中线BD将△ABC的周长分成两部分：
(BC＋CD)和(AD＋AB)，谁为12 cm，谁为15 cm，
不确定，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，
因此可建立方程模型，利用设未知数来求解．
分析：
设AB＝x cm，则AD＝CD＝ x cm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，
则x＋ x＝12，解得x＝8，
即AB＝AC＝8 cm，CD＝4 cm.
故BC＝15－4＝11(cm)．
此时AB＋AC＞BC，
所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.
解：
(2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，
则x＋ x＝15，
解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，
则CD＝5 cm，
故BC＝12－5＝7(cm)．
显然此时三角形存在，
所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.
综上所述，此三角形的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm
或10 cm，10 cm，7 cm.
三角形中几条重要线段
角平分线：平分内角且与三角形对边相交的线段.
中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段.
平分线段
平分面积
平分内角
习题4.3
第1、2、3题