数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.1变化率问题（共21张ppt）

(共21张PPT)
第五章
一元函数的导数及应用
十七、十八世纪的数学家常把自己的数学活动跟各种不同领域，如物理、化学、力学、技术等的研究活动联系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰．其中，牛顿和莱布尼茨在前人探索的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑．
牛
顿
莱
布
尼
茨
莱布尼茨（1646年7月1日－1716年11月14日），德国哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。
牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日），爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家、数学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。
情景引入
微积分的创立与处理四类科学问题直接相关:
一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；
二是求曲线的切线；
三是求函数的最大值与最小值；
四是求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具．
在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想．通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义．
“已知物体运动的路程关于时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等”和“求曲线的切线”问题是导数产生过程中比较经典的两个问题，今天这节课就让我们追随这些伟大数学家的脚步，也从物体的速度开始研究.
我们之前学习过函数的单调性，知道不同类型函数的增或减的快慢也不同．能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？我们以高台跳水运动员的速度为例来研究.
§5.1　导数的概念及其意义5.1.1　变化率问题
探究新知
问题1 高台跳水运动员的速度
全红婵，2007年3月28日出生于广东湛江，中国国家跳水队女运动员.
2022年6月，全红婵在2022年布达佩斯世界游泳锦标赛中勇夺跳水3米板/10米台混合全能金牌、女子单人十米跳台银牌、女子双人十米跳台金牌 [70]，实现了奥运会、世锦赛和世界杯的金牌大满贯。
在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
问题1 高台跳水运动员的速度
　　直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快．
思考1：运动的快慢程度用哪个物理量来描述？
我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.
速度
追问1：怎么求平均速度呢？
平均速度=位移的变化÷通过这段位移所用的时间，
思考2：你能计算以下时间段的平均速度，并描述运动员的运动状况吗？
0≤t≤0.5；1≤t≤2.
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
在0≤t≤0.5时间段运动员是上升阶段，在1≤t≤2时间段运动员是下降阶段．
追问2：通过以上计算，你能求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度吗？
h
t
o
思考3 ：计算运动员在 这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
我们发现，运动员在 这段时间里的平均速度为0．
显然，除了在最高点的一瞬间外，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity）．
探究 瞬时速度与平均速度有什么关系 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是 ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么 将越来越趋近于运动员在时刻t0的瞬时速度．
为了求运动员在t=1时的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+ Δt ， Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.
用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想．
当Δt>0时，1+ Δt在1之后，当Δt<0时，1+ Δt在1之前．当Δt>0时，把运动员在[1, 1+ Δt]时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1, 1+ Δt]内的平均速度 ，用平均速度 近似表示运动员在时的瞬时速度．当Δt<0时，在时间段[1+ Δt, 1]内可作类似处理．为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.
当 t <0时，在时间段[1十 t, 1]内 当 t >0时， 在时间段[1, 1十 t]内 t t
-0.01 0.01
-0.001 0.001
-0.0001 0.0001
-0.00001 0.00001
-0.000001 0.000001
-4.951
-4.9951
-4.99951
-4.999951
-4.9999951
-5.049
-5.0049
-5.00049
-5.000049
-5.0000049
观察：给出更多的 t值，利用计算工具计算对应的平均速度 的值．当 t无限趋近于0时，平均速度 有什么变化趋势？
我们发现，当 t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5.
事实上，由 可以发现，当 t在无限趋近于0时， －4.9 t也无限趋近于0 , 所以 无限趋近于－5. 这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把－5叫做“当△t无限趋近于0时， 的极限”，
记为
从物理的角度看，当时间间隔| t |无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于t= 1时的瞬时速度，因此，运动员在t=1s 时的瞬时速度v(1)=－5 m/s.
平均速度的极限为瞬时速度
思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度；
(2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
解：
因此运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度为
思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度；
(2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11
方法归纳
求运动物体瞬时速度的步骤:
设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：
①写出时间改变量Δt，位移改变量Δs,Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0);
②求平均速度： ；
③求瞬时速度v：当Δt→0时， →v是常数.
1. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2．求：
(1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；
(2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度.
（教材P61.2)
巩固练习
2.某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s(t)＝t2＋t＋1，
（1）求物体在t＝1 s时的瞬时速度；
（2）求物体在t＝0 s时的瞬时速度（即初速度）；
（3）求物体在什么时刻的瞬时速度为9 m/s；
解:
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
巩固练习
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.
2.某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s(t)＝t2＋t＋1，
（1）求物体在t＝1 s时的瞬时速度；
（2）求物体在t＝0 s时的瞬时速度（即初速度）；
（3）求物体在什么时刻的瞬时速度为9 m/s；
解:
2.某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s(t)＝t2＋t＋1，
（1）求物体在t＝1 s时的瞬时速度；
（2）求物体在t＝0 s时的瞬时速度（即初速度）；
（3）求物体在什么时刻的瞬时速度为9 m/s；
(3)设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
则2 t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
解:
课堂小结
1.从知识角度，我们主要研究了高台跳水运动员起跳后的运动状态的问题. 我们先研究了运动员起跳后某一时间段内的平均速度，再不断的将时间间隔缩小，随着时间间隔不断趋近于0，我们分别用计算和极限的方法，求得了瞬时速度，并由此得到任意时刻t0瞬时速度的表达式. 通过这个过程，我们认识到瞬时速度是时间间隔趋近于零时，平均速度的极限.
2.从研究方法上看，我们用无限逼近的方法，通过平均速度求得了瞬时速度，这其中蕴含着极限思想.无限逼近的极限思想，正是导数研究中的重要思想方法和基础. 此外，我们通过一些具体时刻的瞬时速度，推广得到了任意时刻t0的瞬时速度表达式，这种从特殊到一般的研究方式，是数学研究中的常用方法.
h
t
o
课后探究
观察在情景中的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11图象，
平均速度 的几何意义是什么？
瞬时速度v(1)呢？