数学人教A版（2019）必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（共40张ppt）

(共40张PPT)
5.5.1 两角和与差的正弦、
余弦和正切公式
探究：如何用α，β的正弦、余弦来表示cos(α－β)
x
y
O
α终边
A(1,0)
P1
P
A1
β终边
α-β终边
如图，在直角坐标平面xOy内作单位圆O，并作出角α、β和α–β.
由圆的旋转对称性知：AP =A1P1
（α≠2kπ+β.k∈Z）
A1 (cos β, sin β)
P (cos(α-β), sin(α-β))
A (1, 0)
P1 (cosα, sinα)
各点坐标：
在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),
x
y
O
.
.
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
M1(x1, 0)
M2(x2, 0)
N1(0, y1)
N2(0, y2)
Q
P1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，
由勾股定理，可得
P1P22=P1Q2+QP22
=(x1–x2)2+(y1–y2)2,
=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2
∟
∟
∟
∟
∟
由此得到平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2)
两点间距离公式：
P1P2=
两点间距离公式
P (cos(α-β), sin(α-β))
A (1, 0)
P1 (cosα, sinα)
A1 (cos β, sin β)
AP =A1P1
（α≠2kπ+β.k∈Z）
思考：如果两个任意角终边重合 ，上述结论成立吗？
（α＝2kπ+β.k∈Z）
当α，β终边重合时，cos α＝cos β，sin α＝sin β ．
左侧＝cos2kπ＝1，右侧＝sin2α＋cos2α＝1，
上述结论仍然成立．
两角差的余弦公式
简记作
(1)公式的结构特征:
左边两角差的余弦，右边是同名三角函数乘积的和，可用口诀“余余正正，符号相反”记忆公式．
(2)公式中的角α，β :
可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”
判断正误:
(1)存在角α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β.(　　)
(2)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β.(　　)
(3)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　)
思考：你会求的值吗
利用差角余弦公式求的值
解法1:
cos15 =
cos(45 -30 )
= cos45 cos30 +sin45 sin30
cos15 =
cos(60 -45 )
= cos60 cos45 +sin60 sin45
解法2:
例1、利用公式C（α－β）证明、求值：
证明：
证明：
例2. 已知sina = a ( p), cosb = b 是第三象限角, 求cos(a -b )的值.
解:
已知
则cosa =
又 b是第三象限角,
则sinb =
∴cos(a -b ) = cosa cosb +sina sinb
1、证明：
∴左边＝右边，得证
证明：
课本p217练习
思考：由公式C(α－β) 出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
cos(α＋β)=
sin(α＋β)=
sin(α－β)=
tan(α＋β)=
tan(α－β)=
注意到α＋β=α－(－β)
cos( – )=cos cos +sin sin
则由公式C(α－β)，有
思考：你能依据α＋β与α－β之间的联系，利用公式C(α－β) ，推导出两角和的余弦公式cos(α＋β)吗？
cos(a+b)=cos[a-(-b)]
= cosacos(-b) + sinasin(-b)
= cosacosb - sinasinb
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb.
于是我们得到两角和的余弦公式, 简记作 C(a+b).
两角和与差的余弦公式
cos( – )=cos cos +sin sin
cos( + )=cos cos – sin sin
使用条件：α，β都是任意角.
记忆口诀：“余余正正，符号相反”.
也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和.
探究　以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和与差的正弦公式？
公式五
公式六
简记作Ｓ(α+β)．
“正余余正，符号相同”
新知探究
现在我们可以如何得到两角差的正弦公式？
方法：
在公式S(α＋β)中用－β代替β，
sin(α－β)＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)
＝sin αcos β－cos αsin β.
简记作Ｓ(α-β)．
可以得到
两角和与差的正弦公式
简记作Ｓ(α+β)．
简记作Ｓ(α-β)．
利用和（差）公式求75°，15°的正弦、余弦的值.
解：
sin75°=sin(45°+30°)
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
cos75°=cos(45°+30°)
=cos45°cos30°–sin45°sin30°
sin15°=
cos15°=
探究　你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从S(α±β) ， C(α±β) 出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α＋β)， tan(α－β)的公式吗？
简记为T(α＋β)．
用－β替换上式中的β可得:
简记为T(α－β)．
∵
∴
简记为T(α＋β)．
问题：如何从tan(α+β)出发，推导出tan(α-β)？
两角和与差的正切公式
符号上同 ，
下不同
正切公式变形
( C( - ) )
( C( + ) )
cos( - )= cos cos +sin sin
cos( + )= cos cos -sin sin
( S( + ) )
( S( - ) )
sin( + )= sin cos +cos sin
sin( - )= sin cos -cos sin
( T( + ) )
( T( - ) )
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
余余正正
符号相反
正余余正
符号相同
符号上同
下不同
例3　已知 ，α是第四象限角，求 ， ，
的值．
解：由 ，α是第四象限角，
得
所以
于是有
问1：如果去掉“ 是第四象限角”这个条件，答案如何？
问2：在本题条件下有 那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
例4　利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；
（2） cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；
(3)
解:
(1)
sin72 cos42 -cos72 sin42 =
sin(72 - 42 )
= sin30
(2)
cos20 cos70 -sin20 sin70 =
cos(20 +70 )
= cos90
= 0.
(3)
= tan60
2（2）已知 的值
解：
课本p220练习
解：
2（2）
5． 已知sin（α－β）cos α－cos（β－α）sin α＝ ，β是第三象限角，求 的值．
利用两角和或差的正弦公式化简下列各式：
（1）
（2）
解：
解：原式
）
思考：通过上面两道题我们发现 。
对于y＝asin x＋bcos x，可以转化为
得
步骤如下：
第一步：提常数：
第二步：定角度：
确定一个角度,
第三步：逆用公式化简得：
asin x＋bcos x
其中
提出
有时化为。
完成课本p220练习4
练习1：求
解：原式
=
最大值为，最小值为-
单调递增、减区间
1.两角和、差的余弦公式
2.两角和、差角的正弦公式
3.两角和、差的正切公式
探究：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，当时，公式会变成什么样？
sin2a =
sin(a+a)
= sina cosa+cosa sina
= 2sina cosa.
cos2a =
cos(a+a)
= cosa cosa-sina sina
= cos2a-sin2a
tan2a =
tan(a+a)
（S2a）
（C2a）
（T2a）
2倍角的正弦.
2倍角的余弦.
2倍角的正切.
在两角和的正弦、余弦、正切公式中，当时，得出
sin2a =
2sina cosa.
cos2a =
cos2a-sin2a
tan2a
①从左向右：升幂缩角;从右向左：降幂扩角.
思考：细心观察二倍角公式，有何结构特征？
②正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.
例：已知求的值
解：因为所以
从而得出
例5 已知 求sin4a, cos4a, tan4a 的值.
解:
则sin4a =
2sin2a cos2a
cos4a =
1-2sin22a
tan4a =
由 得
例6在△ABC中, cos A = tan B = 2, 求tan(2A+2B)的值.
解法1:
则
则 tan 2A =
∴tan(2A+2B) =
在△ABC中，
解法2:
则
则 tan (A+B) =
∴tan(2A+2B) = tan2(A+B)
在△ABC中，
例6在△ABC中, cos A = tan B = 2, 求tan(2A+2B)的值.
探究：由二倍角公式我们还可以想到哪些式子之间的关系？
完成课本p223练习