四川省南充市嘉陵区2023-2024学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题（含答案）

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南充市嘉陵区2023-2024学年高二上学期第三次月考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．在四面体中，等于（ ）．
A． B． C． D．
2．若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（ ）．
A．2 B．1 C． D．
3．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量，，若，且，则xy的值为（ ）．
A．0 B．4 C．0或4 D．1或4
5．已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
6．若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面为正三角形，且侧面垂直底面，若．则该四棱锥外接球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（ ）．
A．16 B．14 C．12 D．10
二、多选题（每题5分，共20分，全对得5分，部分选对得2分，多选或错选得0分）
9．已知方程，下列叙述正确的是（ ）．
A．方程表示的是圆
B．当时，方程表示过原点的圆
C．方程表示的圆关于直线对称
D．方程表示的圆的圆心在x轴上
10．下列结论中正确的是（ ）．
A．若，分别为直线l，m的方向向量，则
B．若为直线l的方向向量，为平面的法向量，则或
C．若，分别为两个不同平面，的法向量，则
D．若向量是平面的法向量，向量，，，则
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则（ ）．
A．椭圆C的离心率的取值范围是
B．当椭圆C的离心率为时，的取值范围是
C．存在点Q使得
D．的最小值为1
12．在棱长为2的正方体中，动点P满足，其中，，则（ ）．
A．当时，有且仅有一个点P，使得
B．当时，有且仅有一个点P，使得平面
C．当时，三棱锥的体积为定值
D．有且仅有两个点P，使得
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，若，则此直线的斜率＝__________．
14．在三棱锥中，底面，D是PC的中点，已知，，，，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为__________．
15．若圆上恰有四个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是__________．
16．双曲线，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段AB的中点，则t的取值范围是__________．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．已知空间三点，，，设，．
（1）求；
（2）与互相垂直，求实数k的值．
18．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，D是棱AB的中点．
（1）判断四面体是否为鳖臑，并说明理由；
（2）若四面体是鳖臑，且，求直线AC与平面所成的角的大小．
19．已知点，，动点满足到A，B两点的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）已知直线l过点，且与曲线E交于M，N两点，若，求l的方程．
20．如图，已知正方体的棱长为1，E是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面和底面夹角的正弦值．
21．已知抛物线过点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求过点的直线与抛物线C交于M、N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM、AN的斜率分别为、，求证：为定值．
22．已知E，F分别是椭圆的左顶点与左焦点，P，Q是C上关于原点O对称的两点，，．
（1）求C的方程；
（2）已知过点的直线l交C于A，B两点，M，N是直线上关于x轴对称的两点，证明：直线MA，BN的交点在一条定直线上．
数学试题参考答案
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．C 2．D 3．A 4．C 5．A 6．D 7．B 8．A
二、多选题（每题5分，共20分，全对得5分，部分选对得2分，多选或错选得0分）
9．BCD 10．BD 11．BCD
12．BC
【详解】对于A，当时，由，得，
因为，所以点P在线段上，
设，则，
，，，
若，则，
则，则或，
当时，P与C重合；当时，P与重合，
故当时，有两个点P，使得，故A不正确；
对于B，当时，由，得，
又，则点P在线段上，
因为，，，，平面，
所以平面，
若平面，则平面与平面重合，
此时P必与重合，即当时，有且仅有一个点P，使得平面，故B正确；
对于C，当时，由以及，得点P在线段上，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点P到平面的距离等于到平面的距离，
所以为定值，故C正确；
对于D，由，以及，得点P在侧面内，
易知，，由，，得，
所以点P的轨迹是侧面内以B为圆心，为半径的弧，
即有无数个点P满足题意，故D不正确．
三、填空题（每题5分，共20分）
13． 14．或0.75 15．
16．
【详解】因为双曲线方程为，
设，，若点P为线段AB的中点，则，．
又，两式相减并化简可得．
又直线AB的斜率，即．
设直线l的方程为，联立，
化简可得，
因为直线与双曲线有两个不同的交点，
所以，
又，化简得，即或，
所以不存在直线l使得P是线段AB中点的t的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（1） （2）或
【详解】（1）由题设，，
所以．
（2）由，，
而，
所以，
可得或．
18．【详解】（1）证明：∵平面，平面，
∴．
∴，D是棱AB的中点，∴．
又，且平面，平面，∴平面．
∵平面，∴，
因此，，，，
故，，，为直角，所以四面体是鳖臑．
（2）∵四面体是鳖臑，，∴．
又，∴．
由（1）知平面，所以为直线AC与平面所成的角，
由于，D是中点，所以，
故．
19．（1）
（2）或
【详解】（1）由题可得，
化简得，即E的方程为．
（2）由题可知l的斜率存在，设，
即．
由（1）可知曲线E是以为圆心，2为半径的圆，
因为，所以圆心到直线l的距离为，
所以，解得或k．
所以l的方程为或．
20．【详解】（1）以点为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，，
故，，，
所以，，所以，．
又，，平面，因此平面．
（2）平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面和底面夹角为，
因为平面的一个法向量为，
所以，故，
所以平面和底面夹角的正弦值为．
21．【详解】（1）因为抛物线过点，
所以，，抛物线方程为．
（2）设，，直线MN的方程为，
联立，整理得，
，，，
则，
故为定值．
22．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，其右焦点为，
由椭圆的对称性可知，即．
又，所以，，
则椭圆方程为：．
（2）由已知可得直线l的斜率一定存在，
则设直线l的方程为，设，，
联立直线与椭圆，
得，
，即，
则，，
设，，，
则直线MA的方程为，
直线BN的方程为，
两式相减可得，
又
，
所以，即，解得，
所以直线MA与BN的交点在直线上．