关山中学23-24学年度上学期（高一数学）第三次质量检测
一、单选题（每题5分，共40分）
1．若集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数为幂函数，则（ ）
A．或2 B．2 C． D．1
3．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（ ）
A．1.1倍 B．1.25倍 C．1.1025倍 D．1.0025倍
6．代数式化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．函数 零点的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）
参考数据：，，.
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
二、多选题（每题全选对5分，共20分）
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．是幂函数 B．不是指数函数
C．不是幂函数 D．是指数函数
10．下列各等式中成立的是（ ）.
A． B． C． D．
11．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且对应值如下表.
2 3 4 5 6 7 8
112.11 56.88 -12.96 10.98 -35.32 -57.24 -99.15
则在下列区间内一定有零点的是（ ）
B． C． D．
12．下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．当时， 的最小值为2 B．当时，的最大值是
C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值是
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知函数，则的值为 .
14．已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为 .
15．已知函数，则的值是 .
16．已知函数，若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．求下列函数的定义域
(1)
(2).
18．设集合，集合.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
19．计算下列各式的值：
(1)；
(2)
20．设，函数（）．
(1)若函数是奇函数，求a的值；
(2)请判断函数的单调性，并用定义证明．
21．定义在上的偶函数，当时，.
(1)求函数在上的表达式，并在图中的直角坐标系中画出函数的大致图象；
(2)若有四个零点，求实数m的取值范围.
22．已知函数
(1)若关于x的不等式的解集为，求a，的值；
(2)已知，当时，恒成立，求实数a的取值范围；关山中学23-24上高一数学第三次质量检测答案
1．C
【分析】首先解对数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，所以，解得，
所以，又，
所以.
故选：C
2．A
【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出的值.
【详解】由题意得，解得或.
故选：A
3．B
【分析】利用复合函数单调性、结合对数函数单调性求解即得.
【详解】显然函数在上是增函数，而函数在上是减函数，
因此对数函数在上单调递减，则，
所以实数的取值范围是.
故选：B
4．A
【分析】分别计算出、、的范围，比较大小即可得.
【详解】，，，即，
则有.
故选：A.
5．C
【分析】根据指数函数求解即可.
【详解】解：设某湖泊的蓝藻量为1，
由题意可知，每天的蓝藻量是以1.05为底的指数函数，
即，
所以经过2天后，湖泊的蓝藻量，
所以该湖泊的蓝澡变为原来的倍.
故选：C.
6．A
【分析】由指数函数的运算性质化简即可.
【详解】，
故选：A
7．B
【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递减，
，
，所以零点所在的区间是.
故选：B
8．D
【分析】根据指数函数模型列不等式求解．
【详解】设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
由得，
两边同取常用对数，得，所以，
所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
故选：D．
9．ACD
【分析】利用幂函数与指数函数的概念一一判定选项即可.
【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，不是幂函数，即A、C正确；
因为，
所以由指数函数的定义可知：都是指数函数，即B错误，D正确．
故选：ACD
10．BD
【分析】根据指数幂与根式的互化即可得到答案.
【详解】，，，，则AC错误，BD正确；
故选：BD.
11．BCD
【分析】根据条件，由零点存在性原理即可求出结果.
【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线，
且，
所以根据零点存在性定理可得在区间内一定存在零点，
故选：BCD.
12．BCD
【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当时，，当且仅当时，等号成立，但，
故等号不成立，所以，所以A错误；
对于B中，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
对于C中，当时，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
对于D中，当时，可得，则
，
当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.
故选：BCD.
14．
【分析】考虑，可以解决这个问题.
【详解】令，得，则，所以点的坐标为.
故答案为：
13．36
【分析】直接计算得到答案.
【详解】，故.
故答案为：.
15．/
【分析】由分段函数解析式，将自变量代入求值即可.
【详解】由解析式有，
所以．
故答案为：
16．
【分析】结合题意可转化为，在上恒成立，然后分和两种情况求解.
【详解】因为函数的定义域为，所以，在上恒成立，
当时，即，此时，不满足定义域为；
当时，，解得：,
综上：实数的取值范围是.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得到，即可求解；
（2）根据函数的解析式有意义，得到，结合对数的运算，即可求解.
【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得，
即函数的定义域为.
（2）解：由函数有意义，则满足，
即，解得，即函数的定义域为.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）利用集合的交集和并集运算求解；
（2）由，得到求解.
【详解】（1）当时，，且.
，
；
（2），
，
，
解得：，
实数的取值范围.
19．(1)
(2)3
【分析】（1）根据分数指数幂运算法则计算；
（2）由对数运算法则计算.
【详解】（1）
20．(1),解集为.
(2)
【分析】（1）根据指数函数的性质解不等式求得，再根据对数函数的性质解不等式；
（2）利用对数函数的单调性与最值的关系求参数的值.
【详解】（1）由且满足不等式可得，
，解得，
由可得，
，解得，
所以原不等式的解集为.
（2）因为,所以函数在定义域单调递减,
所以函数在区间有最小值为,
解得.
21．(1)
(2)函数在上为增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据奇函数的性质，，即可求解；
（2）首先根据解析式的形式，判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义，即可证明.
【详解】（1）若函数为奇函数，则，
，则，
解得，由，得；
（2）函数为单调递增函数，证明如下：
设，
因为，所以，即，且，，
所以，即，
所以函数在上为增函数.
21．(1)，图象见解析
(2)
【分析】（1）令，则，代入已知函数解析式，结合函数的奇偶性即可得解，再根据二次函数的图象作出图象即可；
（2）即函数两个函数的图象有四个交点，根据函数图象即可得解.
【详解】（1）因为定义在上的偶函数，当时，，
则，
令，则，
则，
所以，
作出函数图象，如图所示：
（2）令，则，
若有四个零点，
则函数两个函数的图象有四个交点，
由图可知.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的两根为，结合韦达定理求出答案；
（2）令，转化为，根据单调性求出的最小值为，得到答案.
【详解】（1）∵不等式的解集为，则方程的根为，
且，
∴，解得
故；
（2），
故，
令，故，
则，
∵的开口向上，对称轴为，
则在单调递减，在单调递增，
故在处取得最小值，最小值为，
∴，
又，解得，
故实数a的取值范围为.
