广东省广州市名校2023-2024学年高一上学期12月数学阶段训练（二）（含解析）

广州市玉岩中学2023学年第一学期阶段训练（二）
高 一 数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为钝角，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是偶函数，任意，且，满足，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，弦长为米的弧田，则按上述经验公式计算所得弧田的面积约是（ ）平方米（注：）
A．6 B．9 C．10 D．12
用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度至少需要计算的次数是(　 　)
A.5 B.6
C.7 D.8
6．一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（ ）（参考数据：）
A．5小时后 B．7小时后 C．9小时后 D．11小时后
7．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8.若θ∈，则y＝＋的取值范围为(　　)
A. [6，＋∞) B. [10，＋∞)
C. [12，＋∞) D. [16，＋∞)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9．下面命题正确的是（ ）
A．设，则“且”是“”的必要不充分条件
B．设，则“”是“”的必要不充分条件
C．命题“”的否定是“”；
D．“”是假命题，则
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．关于函数的性质描述，正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．的图象关于点对称 D．在定义域上是减函数
12．定义在上的函数，对于任意的都有；且；当时，；则下列结论正确的是（ ）
A． B．是奇函数
C．在上单调递增 D．的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则 ．
14．已知（且）在上单调递减，则实数a的取值范围为 ．
15．定义在上的奇函数，当时，，则的值为 ．
16．已知正实数满足方程，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）计算：
（2）已知，求的值.
18．已知；
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求的值．
19．已知函数是定义在上的增函数，满足，且对任意的都有．
(1)求的值；
(2)求不等式的解集。
20．已知某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本．当年产量不足50千件时，（万元）；年产量不小于50千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
21．已知函数．
(1)当时，解不等式；
(2)若函数的图象过点，求函数的值域．
22．我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)求函数的对称中心；
(2)函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】化简集合然后利用交集运算即可求解
【详解】由可得，解得，故，
因为所以，
所以，
故选：D
2．C
【分析】利用同角的三角函数关系可求出，再借助诱导公式计算即可.
【详解】因为，且，所以，
因为为钝角，所以，
所以.
故选：C.
3．A
【解析】先判断出的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，再分类讨论，将原不等式转化为不等式组求解即可.
【详解】因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，
又因为的图象可由的图象向右平移1个单位得到，
所以的图象关于对称，
因为任意，且，满是，
所以任取，
则在上单调递减，
由对称性可知在上单调递增，
由根据对称性可得，
因为，所以或
解得或.
即的解集是，
故选：A.
【点睛】方法点睛：解答抽象不等式问题 时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则．
4．B
【解析】先求出半径和圆心到弦的距离，然后根据公式计算即可
【详解】
如图，由题意知：，
所以在中，，
所以，
所以矢为
所以弧田面积（弦×矢矢×矢）
平方米
故选：B
【点睛】本题考查的是扇形有关的计算，较简单.
5答案　C
解析　设至少需要计算n次，则<0.001，
所以2n>100，因为26＝64，27＝128，
所以要达到精确度至少要计算n＝7次.
6．B
【分析】设小时后减少到，依题意可得，两边同时取对数，再根据对数的运算法则计算可得.
【详解】设小时后减少到，则，则，即，
则，则，则注射时间需小于小时.
故选：B．
7．C
【分析】根据对数运算和对数函数的单调性得到，，，得到答案.
【详解】；
；
；
故.
故选：C.
8．答案　D
解析　因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以y＝＋＝×(sin2θ＋cos2θ)
＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当sin2θ＝，cos2θ＝时，等号成立.
9．BD
【分析】“且”是“”的充分不必要条件，A错误，根据定义判断B正确，根据全称命题的否定得到C错误，变换得到，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】对选项A：若且，则；
若，取满足，不满足且；
故“且”是“”的充分不必要条件，错误；
对选项B：若，，则；若，则且；
故“”是“”的必要不充分条件，正确；
对选项C：命题“”的否定是“”，错误；
对选项D：“”是假命题，即，
即，，当且仅当时等号成立，故，正确；
故选：BD
10．AC
【分析】使用诱导公式化简，用同角三角函数关系求值.
【详解】，则，
，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：AC.
11．ABC
【分析】首先对原式分离常数，再根据函数性质即可求解.
【详解】由题可知，，分母不能为，则，A正确；，，即值域为，B正确；关于原点对称，可以由的图像先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则对称中心平移为，C正确；在上不符合函数单调性的定义，D错误.
故选：ABC
12．ACD
【分析】对于A：利用赋值法求出；
对于B：借助于赋值法，利用奇偶性的定义直接证明；
对于C：利用单调性的定义进行证明；
对于D：利用赋值法求出，把化为，即可解得.
【详解】对于A：对于任意的都有，令，则有，所以.故A正确；
对于B：对于任意的都有，令，则有，所以；令，则有，所以，故是偶函数.故B错误；
对于C：任取，不妨令，则有，因为当时，，所以，即，所以在上单调递增.故C正确；
对于D：由B的判断过程，可知是偶函数；由C的推导过程，在上单调递增.
对于任意的都有，且，令可得：，令可得：.
所以可化为：，即解得：，即的解集为.故D正确.
故选：ACD
【点睛】（1）定义法证明函数单调性的步骤：
①取值；②作差；③定号；④下结论．
（2）解抽象函数型不等式利用函数的单调性.
13．
【分析】根据条件，得到，再利用“齐次式”即可求出结果.
【详解】因为终边落在直线上，即，且，
则，所以，
故答案为：
14．
【分析】根据对数函数的单调性及定义域结合已知即可得解.
【详解】令，
因为，所以函数在定义域内为减函数，
因为函数（且）在上单调递减，
所以函数在定义域内为增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
15．/
【分析】根据题意，得到，代入结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】由题意，定义在上的奇函数，当时，，
则.
故答案为：.
16．/
【分析】通过构造函数，通过判断其单调性得到，再利用基本不等式求最值.
【详解】令，明显其在上单调递增，
又由得，
即，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
17．（1）；（2）65
【分析】（1）根据指数、对数的运算性质进行求解即可；（2）根据可得和的值，再进一步计算即可.
【详解】原式
.
（2）因为，所以，所以，
所以=10.
18．（I）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（I）根据三角函数的诱导公式化简，即可求出；（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式求出的值，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得到的值 .
试题解析：
（I）
（Ⅱ），所以，
又由是第三象限角，所以，故
考点：三角函数的诱导公式；同角三角函数的基本关系.
19．(1)2
(2)
【分析】（1）令可直接求解；
（2）易得，结合定义域与增函数性质去“”建立不等式即可求解.
【详解】（1）令，则，即；
（2）因为，所以等价于，因为是定义在上的增函数，
所以，解得，
故不等式的解集为.
20．(1)
(2)60千件，最大利润为280万元．
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额成本公式，分类讨论，即可得出答案；
（2）由（1）得，结合二次函数的性质及基本不等式的公式，即可得出答案．
【详解】（1）每千件商品售价为50万元，
千件产品销售额为，
当时，，
当时，．
；
（2）由（1）得，
当时，，
则万元，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
又，
则当年产量为60千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是280万元．
21．(1)
(2)
【分析】（1）当时，利用对数函数和指数函数的单调性可得出不等式的解集；
（2）由可求出的值，再化简函数的解析式，利用指数函数和对数函数的基本性质可得出函数的值域.
【详解】（1）解：当时，．
由，得，得，得，解得．
故不等式的解集是．
（2）解：因为函数的图象过点，所以，
即，解得．所以．
所以，
则．
因为，则，，所以的值域为．
22．(1)
(2)
【分析】（1）构造函数，由列方程组，从而求得对称中心.
（2）先求得在区间上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】（1）假设的图象存在对称中心，
则的图象关于原点中心对称，
因为的定义域为，所以恒成立，
即恒成立，
所以，解得，
所以的图象存在对称中心.
（2）函数在区间上单调递减，其在区间上值域为，
由题可知，，即对恒成立.
由得或；
即或对恒成立，
所以或，
故的取值范围为.
【点睛】判断一个函数是否是奇函数，首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后利用定义：，或来确定函数是否是奇函数.对于存在性、恒成立问题，可以转化为值域问题来进行求解.