19.:（本题满分8分)近年来，由于智能聊天机器人ChatGPT的横空出世，大型语言模型
成为人工智能领域的热门话题.·有关人员开展了对A,B两款AI聊天机器人的使用满意
度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表
示，分为四个等级：不满意x<70,比较满意70≤x<80,满意80≤x<90,非常满意x
≥90)，下面给出了部分信息：
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84,86,86,87,88,89：
抽取的对B款A聊天机器人的评分数据：66,68,69,81,84,85,86,87,87,87，
88,89,95,97,98,98,98,98,99,100.
抽取的对A,B款AI聊
抽取的对A款设备
天机器人的评分统计表
的评分扇形统计图
比较满意
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占
a%
百分比
满意
不满意
10%
A
88
b
96
45%
B
88
87
40%
非常满意
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a=▲，b=_▲，c=△
(2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条
理由即可)：
(3)在此次测验中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分、160人对B款AI聊天机
器人进行评分，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
丝55公心.作⊙心值，百0图
20.(本题满分8分)如图，边长为2的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴的正半
轴上，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过B,C两点、
(1)求b,c的值：
(2)若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），
求m的取值范围，
第20题图
九年级数学试卷共6页第3页
21.(本题满分10分)如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在
边AB、AC上，AH⊥BC,垂足为H.已知BC=I2,AH=8.
(1)当矩形DEFG为正方形时，求该正方形的边长：
(2)当矩形DEFG面积为I8时，求矩形的长DG和宽DE(DG>DE).
1以，以0的人景以
E
第21题图
和的？喜丽要点器特天静。点限长灯，梨出
人浅宾实常小人器职L中沙：卡量正
22.(本题满分10分)如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相
交于点F,⊙O的切线CE交AB的延长线于点E,EF=EC.
(1)求证：OD⊥AB:
(2)若⊙O的半径长为3，且BF=BE,求OF的长.
D
第22题图2023年九年级学生 12月月度质量评价
数学试卷（参考答案）
一．选择题
1．A． 2．D． 3．C． 4．D． 5．B． 6．A．
二．填空题
7．45°． 8．六 9．直线 x=﹣2． 10．120． 11．1：8． 12．6．
13 mx ny 14 1 0 15 0 1． ．（ ， ）． ． 或 ． 16． 4 2 3
m n 4
三．解答题
17 (1) 2 2 1 + 3 2 1 1 +3 7． 原式＝ × ﹣ （ ） ＝ ﹣ ＝ ．…（6分）
2 2 2 2
（2）y＝x2+2x﹣1，把 x＝﹣5代入二次函数得：y1＝14，
∵y1+y2＝28，∴y2＝14，
把 y＝14代入二次函数得：x2+2x﹣1＝14，
解得：x1＝﹣5，x2＝3，
∵点（﹣5，y1）（m，y2）是抛物线上两个不同的点，∴m＝3．…（12分）
18．解：（1）∵△ABC∽△ACD，
∴∠B＝∠ACD＝40°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝80°；…（4分）
（2）∵△ABC∽△ACD，
AC AD
∴ ，
AB AC
AC AD
∴ ，
AD DB AC
AC 2
∴ ，
5 AC
∴AC= 10 ．…（8分）
19．解：（1）由题意得，a%＝1﹣10%﹣45% 6﹣ ×100%＝15%，即 a＝15，
20
把 A 88 89款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是 88，89，故中位数 b＝
2
＝88.5，
在 B款的评分数据中，98出现的次数最多，故众数 c＝98；
故答案为：15，88.5，98；…（3分）
（2）A款 AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但 A款评分数据的中位数比 B款高，所以 A款自动
洗车设备更受消费者欢迎（答案不唯一）．…（5分）
3
（3）200×10%+160× ＝44（名），
20
答：估计此次测验中对 AI聊天机器人不满意的共有 44人．…（8分）
20．（1）∵正方形 OABC的边长为 2，
∴点 B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），
∵二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图象经过 B，C两点，
2 4 2b c b 2
∴ ，解得 ；…（4分）
2 c c 2
（2）由（1）可知抛物线为 y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
第 1页（共 6页）
{#{QQABDYoEggAgAgBAABgCEQVaCAOQkAAACAoGBEAMsAABwBFABAA=}#}
∴顶点为（1，3），
∵正方形边长为 2，
∴将该抛物线向下平移 m个单位，使其顶点落在正方形 OABC内（不包括边上），m的
取值范围是 1＜m＜3．…（8分）
21.解：（1）记 AH与 DG的交点为 P，设正方形边长为 x，
∵四边形 DEFG为正方形，EF在边 BC上
∴DG∥BC，
得△ADG∽△ABC
DG AP
∴ …（2分）
BC AH
由 BC＝12，AH＝8
x 8 x
可得 …（3分）
12 8
x 24∴ …（5分）
5
（2）设 DE＝a，DG＝b
b 8 a
可得 …（6分）
12 8
即 b 12 3 a
2
∵矩形 DEFG面积为 18
即 ab＝18
a 12 3∴ a 18…（7分）
2
解得 a1＝2，a2＝6…（9分）
当 a＝2时，b＝9；当 a＝6时，b＝3
∵DG＞DE
∴a＜b
∴a＝2，b＝9；
∴矩形的长宽分别为 2、9．…（10分）
22．（1）证明：如图，连接 OC，
∵CE切⊙O于点 C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCF+∠ECF＝90°，
∵OC＝OD，EF＝EC，
∴∠OCF＝∠ODF，∠ECF＝∠EFC，
又∵∠OFD＝∠EFC，
∴∠ODF+∠OFD＝90°，
∴∠DOF＝90°，
∴OD⊥AB；…（5分）
（2）解：设 BF＝BE＝x，则 EC＝EF＝2x，OE＝3+x，
在 Rt△OCE中，OC2+CE2＝OE2，
第 2页（共 6页）
{#{QQABDYoEggAgAgBAABgCEQVaCAOQkAAACAoGBEAMsAABwBFABAA=}#}
∴32+（2x）2＝（3+x）2，
解得：x1＝2，x2＝0（舍去），
∴OF＝OB﹣BF＝3﹣2＝1．…（10分）
23．解：（1）设 y＝kx+b，
40k b 300 k 10
将（40，300 ）、（55，150）代入，得： ，解得： ，
55k b 150
b 700
则 y＝﹣10x+700；…（5分）
（2）设每天获取的利润为 W（元），
则 W＝（x﹣30）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
又∵﹣10x+700≥240，
∴x≤46，
∵x＜50时，W随 x的增大而增大，
∴当 x＝46时，W取得最大值，最大值为﹣10×16+4000＝3840，
答：当销售单价为 46元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3840元．…（10分）
24．解：（1）作线段 AB，BC的垂直平分线交于点 D，则 D（2，0），
故答案为：（2，0）；…（2分）
（2）连接 AC，
∵A（0，4），B（4，4），C（6，2），
∴AD＝2 5，CD＝2 5 ，AC＝2 10 ，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
1
∴弧 AC的长＝ ×2π×2 5 ＝ 5 π，
4
∵扇形 DAC是一个圆锥的侧面展开图，
∴ 5 π＝2πr，
∴r 5＝ ；…（6分）
2
（3）设 BC的中点为 E，
∴E（5，3），
∴DE＝3 2 ，
∴S＝π×（CD2﹣DE2）＝2π，
∴线段 BC扫过的面积是 2π．…（10分）
25.（1）证明：∵AB＝AC，∠B＝∠C，
∵∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE，∠FDC＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE，
∵∠EDF＝∠B，
∴∠BED＝∠FDC，
第 3页（共 6页）
{#{QQABDYoEggAgAgBAABgCEQVaCAOQkAAACAoGBEAMsAABwBFABAA=}#}
∴△BDE∽△CFD；…（4分）
（2）由（1）△BDE∽△CFD，
BE DE
∴ ，
CD DF
∵D是 BC边中点，
∴BD＝CD，
BE DE
∴ ，
BD DF
∵∠B＝∠EDF，
∴△BED∽△DEF，
BE DE
∴ ，
ED EF
DE 2
∴ EF ，
BE
连接 AD，∵AB=AC=8，∠BAC=120°，∴AD⊥BC，∴BD=4 3 ，
过点 E作 EG⊥BC于点 G，EM=1，BM= 3 ，∴MD=3 3 ，
2
在 Rt△EDM中， ED2 EM 2 MD2 12 3 3 1 27 28，
2
EF DE = 28∴ =14；…（8分）
BE 2
（3）由（2）知，∠BED=∠DEF，ED=ED，当∠BDE=∠FDE时，△BDE≌△FDE，
又∵∠EDF=∠B=∠C，∴∠BDE=∠C，∴ED∥AC，∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BAC，
BD BE 1
∴
BC AB 2
∴∠A=∠BED=∠CDF，∴△CDF∽△BAC，
AB BC
∴
DC CF
∵BC=mAB
m
∴DC= AB
2
AB mAB
∴
m AB CF
2
∴CF= 1 m2AB
2
1 2 1 2
CF m AB m AB 2
∴ = 2 = 2 = m …（12分）
AF AC CF 2AB 1 m2AB 2 m
2
26.（1）解：∵点 A、B 的横坐标分别为 m， m (m＜0)，
∴AB= m m = 2m ,
∵点 O 到 AB 的距离等于线段 AB 的长
∴A（m， 2m）
又∵点 A 在抛物线 y= ax2 的图像上
∴ 2m = am2
∴am=2…（4分）
1 1
（2）当 m= 4 时，am=2， 4a=2，a= ，抛物线表达式为 y= x
2
2 2
第 4页（共 6页）
{#{QQABDYoEggAgAgBAABgCEQVaCAOQkAAACAoGBEAMsAABwBFABAA=}#}
∴A（ 4， 8），B（4， 8），C（ 2， 2）
过点 C 作 CH⊥AB 于 H，H（ 2， 8）
BH=4 （ 2）=6，CH= 2 （ 8）=6
∴CH=BH
∴∠CBH=45°
∵DF⊥AB，∴∠DFB=90°
∴∠DEC=∠BEF=45°
当∠CDE=90°时，∠DCE=45°
∴∠DCE=∠CBF=45°
∴CD∥AB
∴点 D 的纵坐标与点 C 的纵坐标相等
∴当 y= 2 1时， 2= x2 ，x= 2，∴点 D（2， 2）2
当∠DCE=90°时，∠CDE=45°，此时点 D 与点 O 重合，∴点 D（0，0）
综上所示：点 D 的坐标为（2， 2）、（0，0）…（10分）
y
（3）当 a= 1时，∵am=2，∴m= 2 N O
A（ 2， 4） x
∵点 G 为 AO 的中点，∴G（ 1， 2）
∵点 S、T 在抛物线 y= x2上， S G T
设 S（s， s2），T（t， t2），直线 ST的解析式为 y＝k1x+b1．
sk 2
则 1
b1 s k1 s t A
， 解得： ，
tk b
2
1 1 t b1 st
∴直线 ST的解析式为 y＝ （t+s）x+st．
∵直线 ST经过点 G（ 1， 2），
∴st＝ s t 2．
同理，直线 AS的解析式为 y＝（2 s）x 2s；直线 TO的解析式为 y＝ tx．
2s
y tx x
联立 解得 2 s t y (2 s)x 2s
y
2st
2 s t
∴N 2s 2st（ ， ）
2 s t 2 s t
设点 N 在直线 y=kx+b 上
2st =k 2s +b
2 s t 2 s t
整理得 2st=2sk+2b sb+tb，将 st＝ s t 2代入得
2（ s t 2）=2sk+2b sb+tb
2s+2t+4 2sk 2b+sb tb=0
（2 2k+b）s+(2 b)t+4 2b=0
若 N是在一条定直线上，则与 S、T 无关
2 b 0 k 2
即 解得2 2k b 0 b 2
∴当 k＝2，b＝2时，无论 s t 2st 2s， 为何值时，等式 =k +b 恒成立．
2 s t 2 s t
∴点 N在定直线 y＝2x+2上．…（14分）
第 5页（共 6页）
{#{QQABDYoEggAgAgBAABgCEQVaCAOQkAAACAoGBEAMsAABwBFABAA=}#}
y= 2st = （2 s t 2) = 2s 2t 4另解
2 s t 2 s t 2 s t
= 4s 2s 2t 4 = 4s + 2s 2t 4
2 s t 2 s t 2 s t
= 2(2s) + 2s 2t 4 =2x+2
2 s t 2 s t
∴点 N 一定在定直线 y=2x+2 上…（14分）
第 6页（共 6页）
{#{QQABDYoEggAgAgBAABgCEQVaCAOQkAAACAoGBEAMsAABwBFABAA=}#}
