初三素养体验活动
数学学科
（时间：120分钟 命题人： 审核人：）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置）
1. 下列函数表达式中，一定为二次函数的是（▲）
A. y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+
2.若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为(-3，4)，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（▲）
A. 在⊙P内 B. 在⊙P上 C. 在⊙P外 D. 无法确定
3. 如图，在直角坐标系中，△OAB顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（▲）
A. （﹣1，﹣1） B. （﹣，﹣1） C. （﹣1，﹣） D. （﹣2，﹣1）
4.下列命题正确的是（▲）
A. 经过三个点一定可以作圆 B. 直角所对的弦是直径
C. 等弧所对的圆周角相等 D. 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等
5.抛物线的图象上有两点A（，y1）、B（2.5，y2），则y1、y2的大小是（▲）
A. y1＜y2 B. y1=y2 C. y1>y2 D. 无法判断
6.若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（▲）
A. 3：4 B. 4：3 C. ：2 D. 2：
7.如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（▲）
A. 6π B. π C. π D. 2π
8.如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE交于点G．则下列结论中：①AF⊥DE；②AD＝BG；③GE+GF＝GC；④S△AGB＝2S四边形ECFG．其中正确的是（▲）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第3题） （第7题） （第8题） (第11题）
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置）
9.在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是 ▲ 千米．
10.已知一个二次函数图象的形状、开口与抛物线都相同，且它的顶点坐标是（-2,5），则这个二次函数的函数表达式为 ▲ ．
11.如图，⊙O的弦AB＝8，直径CD⊥AB于M，OM:MD＝3:2，则⊙O的半径为 ▲ ．
12.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 ▲ m．
13.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝30°，则这个多边形的边数是 ▲ ．
(第13题）
14. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
﹣2 ﹣1 0 1 2
17 7 1 ﹣1 1
则当＝3时，＝ ▲ ．
15.如图，在三角形ABC中，，若，，则 ▲ ．
16.已知抛物线，当时，对应的函数值的取值范围为 ▲ ．
17.如图，Rt△ABD中，∠＝90°，AD＝6，BD＝4，在BD延长线上取一点C，使得DC＝BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠PAD＝∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为 ▲ ．
18.如图，正方形边长为2，为边上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．连接，，则面积的最小值为 ▲ ．
(第15题） (第17题） (第18题）
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案填写在答题纸相应位置）
19.（本题满分8分）计算：
（1）； （2）．
20.（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋2m－1＝0（m为常数）．
（1）若方程的一个根为0，求m的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值，该方程总有实数根．
21.（本题满分8分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）标出该圆弧所在圆的圆心D的位置；
（2）⊙D的半径为 （结果保留根号）；
（3）连接AD、CD，用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆半径是 ．
22.（本题满分8分）已知二次函数的图像顶点为，且经过点．
（1）求该二次函数的函数表达式；
（2）问当x取何值时，y随x的增大而减小？并指出当x取何值时，．
23.（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证△ADF∽△EAB；
（2）若AB＝12，BC＝10，求DF长．
24.（本题满分10分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2020年底拥有家庭电动自行车125辆，2022年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．
（1）若该小区2020年底到2023年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2023年底家庭电动自行车将达到多少辆
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个 试写出所有可能的方案．
25. （本题满分10分）如图，是⊙O的直径，为⊙O的弦，，与的延长线交于点P，过B点的切线交于点C．
（1）求证：；（2）若，，求线段BP、CP的长．
26．（本题满分10分）定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”．根据上述定义解决下列问题，在△ABC中，AB=AC=5， BC=6，设△ABC的“切接圆”的半径为r．
（1）如图1，△ABC的“切接圆”的圆心D在边AB上，求r；
（2）如图2，请确定r的最小值，并说明理由；
（3）如图3，把△ABC放在平面直角坐标系中，使点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上． 求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作△ABC的“切接圆”．
27.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中O为坐标原点，点A（6，0），点B（0，8）点C（－2，0），点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1单位长度，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2个单位长度，当点Q到达点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PQ//BC；
（2）若点E是点B以P为对称中心的对称点，
①当ΔPEQ的面积是ΔABC面积的时，求出此时t的值：
②当t为何值时，以A、E、Q其中一点为圆心圆恰好过另外两个点．（直接写出结果）
（第27题）
28．（本题满分12分）如图1,抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上.点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点,连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图2,点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动.连接，，求的最小值.
（第28题）初三素养体验活动数学学科参考答案
一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B C C C A D
二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上．）
9．20 10． 11． 5 12． 15 13．6 14．7
15．10 16． 17．8
18.1.5 三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上．）
19.（1） ............4分
（2） ...........4分
20.（1）解：设方程的另一个根为t，
则0+t＝2m，0 t＝2m﹣1，
解得m＝，t＝1
所以方程的另一个根是1；............4分
（2）证明：Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4 （m﹣1）2≥0，
所以对于任意的实数m，方程总有实数根．............4分
21.（1）图略 .......2分
（2）2...........3分
（3）...........3分
22．设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把（3，0）代入得4a+4＝0，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；............4分
（2）因为a＝﹣1＜0，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小；
当y＝0时，﹣（x﹣1）2+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．............4分
23. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
∴△ADF∽△EAB；............5分
（2）解：∵BC＝AD＝10，E是BC边的中点，
∴BE＝5，
∴AE＝＝＝13，
由（1）得：△ADF∽△EAB，
∴＝，
即＝，
解得：DF＝．............5分
24．（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，
则125（1+x）2＝180，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
∴180（1+20%）＝216（辆），
答：该小区到2017年底家庭电动自行车将达到216辆；．............4分
（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，
则，
由①得b＝150﹣5a，
代入②得20≤a≤，
∵a是正整数，
∴a＝20或21，
当a＝20时b＝50，当a＝21时b＝45．
∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；
方案二：室内车位21个，露天车位45个．............6分
25.（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠A+∠ADB＝90°，
∵BC为切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，
而OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∴∠CBP＝∠ADB；
（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，∴∠P+∠A＝90°，
∴∠P＝∠D，∴△AOP∽△ABD，∴＝，即＝，∴BP＝7．
26．（1）过D作DE⊥BC交E点，过A作BC⊥AF交F点，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BF＝CF＝3，AF＝4，
∵BC是圆D的切线，∴DE＝r，
∵DE∥AF，∴＝，即＝，
∴r＝；
（2）当圆的直径是三角形的一条高时，r最短；
由（1）知，BC边上的高AF＝4，
过C作CG⊥AB交G，由三角形面积相等，得CG×AB＝BC×AF，
∴5CG＝6×4，∴CG＝，
∴r＝2时最小；
（3）设抛物线y＝（x﹣3）2+2上任意一点为P（x，y），
∴y≥2，
设P到x轴的距离为h，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴A（3，4），
∴PA＝＝＝（x﹣3）2+2＝h，
∴抛物线y＝（x﹣3）2+2上任意一点为圆心都可以作△ABC的“切接圆”．
27．∵点A（6，0），点B（0，8），点C（﹣2，0），
∴OB＝8，OA＝6，AC＝8，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，
由题意得：BP＝t，AQ＝2t，
∴AP＝AB﹣BP＝10﹣t，
（1）当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，
∴＝，即＝，解得：t＝，
∴当t的值为时，PQ∥BC；
（2）①过点Q作QH⊥AB于H，如图1所示：
∴＝，即＝，∴QH＝t，
∵点E是点B以P为对称中心的对称点，
∴PE＝BP＝t，
∵S△PEQ＝PE QH＝×t×t＝t2，S△ABC＝OB AC＝×8×8＝32，△PEQ的面积是△ABC面积的，∴t2＝×32，
解得：t＝4（负值已舍去），
∴当△PEQ的面积是△ABC面积的时，此时t的值为4；
②∵以A、E、Q其中一点为圆心的圆恰好过另外两个点，
∴△AEQ为等腰三角形，
分三种情况：
a、当AE＝AQ时，
∵BP＝PE＝t，∴BE＝2t，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣2t，∴10﹣2t＝2t，
解得：t＝；
b、当AQ＝EQ时，过点E作EF⊥AQ于Q，如图2所示：
∵OB⊥OA，∴EF∥OB，∴△AEF∽△ABO，∴＝＝，
即＝＝，
解得：EF＝8﹣t，AF＝6﹣t，
∴QF＝AQ﹣AF＝2t﹣6+t＝t﹣6，
在Rt△EFQ中，由勾股定理得：EQ2＝EF2+QF2＝（8﹣t）2+（t﹣6）2＝t2﹣64t+100，
∴（2t）2＝t2﹣64t+100，
解得：t1＝，t2＝5（不合题意舍去）；
c、当EQ＝AE时，t2﹣64t+100＝（10﹣2t）2，
解得：t1＝，t2＝0（不合题意舍去）；
综上所述，当t的值为或或时，以A、E、Q其中一点为圆心的圆恰好过另外两个点．
28．（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx过点B（4，﹣4），
∴﹣16+4b＝﹣4，∴b＝3，∴y＝﹣x2+3x．
答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x．
（2）四边形OCPD是平行四边形，理由如下：
如图1，作PD⊥OA交x轴于点H，连接PC、OD，
∵点P在y＝﹣x上，∴OH＝PH，∠POH＝45°，
连接BC，
∵OC＝BC＝4，∴．∴，∴，
∴，
当xD＝2时，DH＝yD＝﹣4+3×2＝2，
∴PD＝DH+PH＝2+2＝4，
∵C（0，﹣4），∴OC＝4，∴PD＝OC，
∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，∴PD∥OC，
∴四边形OCPD是平行四边形．
（3）如图2，由题意得，BP＝OQ，连接BC，
在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC，
∵OC＝BC＝4，BC⊥OC，
∴∠CBP＝45°，∴∠CBP＝∠MOQ，
∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM，
∴△CBP≌△MOQ（SAS），
∴CP＝MQ，
∴CP+BQ＝MQ+BQ≥MB（当M，Q，B三点共线时最短），
∴CP+BQ的最小值为MB，
∵∠MOB＝∠MOQ+∠BOQ＝45°+45°＝90°，
∴，
即CP+BQ的最小值为4．
答：CP+BQ的最小值为4．
