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专题一 集合与常用逻辑用语
真题汇编
1．（2023·北京·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·统考高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·天津·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·统考高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
9．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
10．（2023·北京·统考高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
12．（2023·天津·统考高考真题）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
13．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2024年预测
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若集合，，定义集合且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
7．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
8．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合是不大于5的正整数，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
11．已知， ， 则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件
12．若a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
13．“”是“关于的方程有两个不等实根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．数列的通项公式为，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
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专题一 集合与常用逻辑用语
真题汇编
1．（2023·北京·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，，，
根据交集的运算可知，.
故选：A
2．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
3．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集，集合，所以，
又，所以，
故选：A.
4．（2023·全国·统考高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
5．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
6．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
7．（2023·天津·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由，而，
所以.
故选：A
8．（2023·全国·统考高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
9．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
10．（2023·北京·统考高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
11．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
12．（2023·天津·统考高考真题）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
13．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
2024年预测
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质解集合A，再由交集的概念计算即可.
【详解】由，即.
故选：C
2．若集合，，定义集合且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合，结和所给定义域即可求解.
【详解】由得，则，
又且，则.
故选：C
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由对数型函数的定义域将集合化简，再由并集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，则，解得，
则，且，
则.
故选：A
4．设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求集合，进而逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，
因为，则，
所以，，，，故B正确，ACD错误.
故选：B.
5．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求集合M，利用对数函数的性质求集合N，再结合交集概念求答案即可.
【详解】由题意得，
，
所以，
故选：D.
6．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【分析】先化简集合A、B，再利用子集的定义分析计算即可得解.
【详解】解，得或，则，
解，得，则，
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1，2，且可能含有元素0，3，
则原题即求集合的子集个数，即有个.
故选：B.
7．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出集合，利用交集定于求出.
【详解】集合，，则.
故选：C
8．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法和对数的单调性解不等式化简集合，再求交集即可.
【详解】由，解得，
又因为，所以，
又由，解得，所以，
所以，
故选:C.
9．已知集合是不大于5的正整数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解不等式得到，求出交集.
【详解】，故.
故选：D
10．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数单调性求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可求交集.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
11．已知， ， 则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件
【答案】A
【分析】根据集合关系即可判断.
【详解】因为 ，
所以，是的充分而不必要条件.
故选：A.
12．若a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，结合充分必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，取，则，即充分性不成立；
当时，有，则，故，
所以，即，即必要性成立；
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
13．“”是“关于的方程有两个不等实根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件以及判别式求得正确答案.
【详解】“关于的方程有两个不等实根”，则，
所以“”是“关于的方程有两个不等实根”的必要不充分条件.
故选：B
14．数列的通项公式为，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据为递增数列，得到，进而求出，得到答案.
【详解】，为递增数列，
故，
故，
由于，故，
因为，，
故“为递增数列”是“”的必要不充分条件.
故选：B
15．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】C
【分析】根据直线与圆相切求得出结果.
【详解】由已知得圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以，即，所以所求直线方程为．
“”是“直线与圆相切”的充要条件，
故选：C．
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