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专题二 函数导数
真题汇编
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
3．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
4．（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
5．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
6．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
9．（2023·全国·统考高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
10．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
11．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
12．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，
故.
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则，易知
则令,
令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
故,即.
当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,
得证.
法二：不妨设在上，且，
依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
直线的方程为，
则联立得，
，则
则，
同理，
令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
，
但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则,从而
故
①当时,
②当 时,由于,从而,
从而又,
故,由此
，
当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.
.
13．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即(取等条件为)，
所以，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
14．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
15．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
2024年预测
1．已知函数，若的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可.
【详解】由，得，
所以函数定义域为，
因为由外层函数和内层函数复合而成，
当时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以单调递减，
当时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以单调递增，
所以，所以，
又因为，所以.
故选：C
2．设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由对称轴求解.
【详解】解：函数的对称轴方程为：，
因为函数在区间上是减函数，
所以，解得，
故选：B
3．已知函数是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案.
【详解】的定义域为，
由于是奇函数，所以，
所以
.
故选：B
4．已知为偶函数，则实数（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】利用偶函数的性质，结合指数与对数的运算法则求解即可.
【详解】因为为偶函数，
所以，，，，
即，
则，即，
则，即，故.
故选：B.
5．已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的图象性质作出的图象，从而得解.
【详解】令，得，
因为有两个零点，所以函数与的图象有两个交点，
画出函数的图象，如图所示，
由图可知，则.
故选：C.
6．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过，至少要经过（ ）（取：）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数的应用，通过数学建模列不等式求解．
【详解】的物块经过后的温度的物块经过后的温度．
要使得这两块物体的温度之差不超过，即须使，
解得，即至少要经过5.52min．
故选：C.
7．已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．
【详解】因为是定义在R上的奇函数，时，单调递增，且，
所以当时，，
当时，，
不等式，则
当时，有，即或，解得或，又，；
当时，有，即或，又，解得；
综上，不等式的解集为.
故选：C.
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，即可判断为奇函数，从而得到关于对称，则，再判断的单调性，由对称性将不等式化为，再由单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为，令，，
则，
所以为奇函数，则关于原点对称，所以关于对称，
则，
则在定义域上单调递增，在上单调递减，所以在定义域上单调递减，
则在定义域上单调递减，
则不等式，即，所以，
则，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
9．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用作差法，构造函数，利用导数研究其函数的单调性，结合对数函数的单调性，可得答案.
【详解】由，则令，
求导可得，
令，令，
求导可得，
所以在其定义域内单调递减，令，则，故，
所以，则在其定义域内单调递减，
由，，
则存在，使得，所以在上小于恒成立，
故，即，
由，且函数在上单调递增，则，即，
综上所述，.
故选：D.
10．已知正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】由得，构造函数，利用单调性得，记，求导，利用函数单调性求最值即可.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
设，则，当时，，
所以函数在上单调递增，由得，
所以，所以，
所以，记，
则，所以，记，
则，
所以函数在上单调递减，且，
所以在上，，，单调递增，
在上，，，单调递减，
所以，当时，，即的最大值为.
故选：B
11．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的零点个数．
【详解】（1）当时，则，
，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数定义域为，
，
当，即时恒成立，所以在上单调递增，
又当趋向于0时，，所以函数有一个零点；
当，即时令，解得，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当趋向于0时，当趋向于正无穷时，又，
令，
则，所以在上单调递增，且，
若，即时函数有两个零点；
若，即时函数有一个零点；
若，即时函数没有零点；
综上，当时函数没有零点，当或时函数有一个零点，当时函数有两个零点.
12．已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)若对一切，恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）当时，则．
记，则．
令，得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增．
又，，，
所以当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，恒成立，即恒成立．
①当时，，此时．
②当时，，即
记，，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，所以，
综上可知，实数m的取值范围为．
13．已知函数且.
(1)求的值；
(2)证明：当时，.
【详解】（1）由题知，的定义域为，
若，，不满足题意；
若，由知，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
故是在的唯一最大值点，
因为，所以当且仅当时，，
综上所述，.
（2）由（1）知，，
最大值为，
当，恒成立，
故时，恒成立，
令，，
则
，
因为，所以，
，，
，，
所以在上单调递增，
且时，，
所以当时，，
即当时，.
14．已知是函数的极值点．
(1)求的值；
(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．
【详解】（1）因为，
所以，
因为是函数函数的极值点，
所以，
，此时，
所以在上，在上，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时为函数极值点，
故所求的值为12.
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
因为，所以，所以，所以的取值范围.
15．已知函数.
(1)若时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若时，求函数的零点个数；
(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，因为，所以切点为，
由，得，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）可知，
因为，所以，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又因为，，
所以，由零点存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得.
故函数有且仅有两个零点.
（3）因为，当时，由得，
下面证明：当时，对于任意，恒成立，
即证，即证；
而当时，，
由（2）知，；所以时，恒成立；
综上所述，.
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专题二 函数导数
真题汇编
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·统考高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
11．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
12．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
13．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
14．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
15．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
2024年预测
1．已知函数，若的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
2．设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知为偶函数，则实数（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过，至少要经过（ ）（取：）
A． B． C． D．
7．已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的零点个数．
12．已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)若对一切，恒成立，求实数的取值范围．
13．已知函数且.
(1)求的值；
(2)证明：当时，.
14．已知是函数的极值点．
(1)求的值；
(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．
15．已知函数.
(1)若时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若时，求函数的零点个数；
(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围.
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