1.3 正方形的性质与判定 第2课时课件(共23张PPT) 北师大版九年级上册数学

(共23张PPT)
第一章　特殊平行四边形
3　正方形的性质与判定　第2课时
1.知道正方形的判定条件；梳理正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.
2.能灵活运用正方形的三个判定定理进行合理推理证明.
◎重点:正方形的判定，正方形性质和判定的综合应用.
激趣导入
　　宁宁在商场看中了一块方形纱巾，但不知是不是正方形，只见销售员阿姨拉起纱巾的一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，只见另一组对角也能完全重合，因此认为是正方形，并把纱巾给了宁宁.你认为纱巾一定是正方形吗？
正方形的判定
阅读教材本课时相关内容，完成下列问题.
1.根据定义:　一组邻边相等，一个角是直角　的平行四边形是正方形.
2.对角线　相等　的菱形是正方形.
3.对角线　垂直　的矩形是正方形.
4.有一个角是　直角　的菱形是正方形.
一组邻边相等，一个角是直角　
相等　
垂直　
直角　
·导学建议·
正方形除了矩形与菱形的性质外，本身也有一些性质，比如，对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.教学中可拓展讲解.
中点四边形
阅读教材本课时“例2”后面的内容，完成下列问题.
依次连接四边形各边中点所得的四边形的形状与原四边形的　两条对角线　的位置和长度有关.当四边形的对角线相等时，则连接这个四边形各边中点所得的图形是　菱形　.若四边形的两条对角线　互相垂直　，那么连接这个四边形各边的中点所得到的图形就是　矩形　.
两条对角线　
菱形　
互相垂直　
矩形　
1.在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该矩形是正方形，那么这个条件可以是(　D　)
A.∠D＝90° B.AB＝CD
C.AD＝BC D.BC＝CD
D
2.已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O.
(1)若AB＝BC，则平行四边形ABCD是　菱形　；
(2)若AC＝BD，则平行四边形ABCD是　矩形　；
(3)若∠BCD＝90°，则平行四边形ABCD是　 矩形 　；
(4)若OA＝OB，且OA⊥OB，则平行四边形ABCD是　正方形　；
(5)若AB＝BC，且AC＝BD，则平行四边形ABCD是　正方形　.
菱形　
矩形　
矩形 　
正方
形　
正方
形　
1.如图，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH.
求证:四边形EFGH是正方形.
证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠EBF＝∠HAE＝∠GDH＝∠FCG，又∵BE＝CF＝DG＝AH，∴CG＝DH＝AE＝BF，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EF＝FG＝GH＝HE，∠EFB＝∠HEA，∴四边形EFGH为菱形，∵∠EFB＋∠FEB＝90°，∠EFB＝∠HEA，∴∠FEB＋∠HEA＝90°，∴四边形EFGH是正方形.
2.如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F.你认为四边形ABEF是什么特殊四边形？请说出你的理由.
解:四边形ABEF是正方形.
理由:∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠B＝90°.∵∠B与∠AFE折叠后重合，∴∠AFE＝∠B＝90°，∴四边形ABEF是矩形.又∵AB，AF折叠后重合，∴AB＝AF，∴四边形ABEF是正方形.
给出下列定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图1，四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH形状是　　　　　　.
(2)如图2，P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，求证:中点四边形EFGH是正方形.
解:(1)平行四边形.
提示:如图1，连接BD.
∵E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD.
∵F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG且EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形.
(2)四边形EFGH是正方形.
理由:如图2，连接AC，BD.
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，
即∠APC＝∠BPD.
在△APC和△BPD中，
∴△APC≌△BPD，
∴AC＝BD.
∵E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF＝AC，FG＝BD，
∴EF＝FG.
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形.
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP＝∠BDP.
∵∠DMO＝∠CMP，
∴∠COD＝∠CPD＝90°.
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°.
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形.
如图2，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M，AC与EH交于点N.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证:△BED≌△CFD.
(2)若∠A＝90°，求证:四边形DFAE是正方形.
证明:(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∴△BED≌△CFD.
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形，
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴四边形DFAE为正方形.