1.3 正方形的性质与判定 第1课时 课件(共23张PPT) 北师大版九年级上册数学

(共23张PPT)
第一章　特殊平行四边形
3　正方形的性质与判定　第1课时
1.知道正方形的概念、性质；知道正方形是轴对称图形.
2.知道正方形与平行四边形、菱形、矩形的区别与联系.
3.通过四边形的从属关系渗透集合思想，明晰这几种特殊的平行四边形的从属关系.
◎重点:正方形的性质，正方形与菱形、矩形的关系.
　　师:从平行四边形出发，添加一个条件就得到了特殊的平行四边形，即矩形或者菱形.你能否模仿这个方法，从学过的图形出发，添加一个或者几个条件，得到正方形？
生:平行四边形添加两个条件，一个角是直角，一组邻边相等，可以得到正方形.
师:请具体说明.
生:起始图形是平行四边形，添加一个角是直角这个条件，由于平行的性质，得到了四个角都是直角；再添加一组邻边相等，由于平行四边形对边相等，就得到了四边相等.四个角是直角，四边相等的图形就是正方形了.
师:说得真好！于是我们得到了正方形的定义，即有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(板书)，这个定义是正方形的判定方法之一.今天我们就一起来探究正方形.
正方形
阅读教材本课时相关内容，完成下列问题.
1.正方形的定义:有一组邻边　相等　，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
相等　
2.正方形的性质:正方形的四个角都是　直角　，四条边都　相等　.正方形的两条对角线　相等并且互相垂直平分　.正方形的对角线　平分　每一组对角.正方形是　轴对称　图形，它有　四　条对称轴.
直角　
相等　
相等并且互相垂直平分　
平分　
轴对称　
四　
3.根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的关系完成下图.
归纳总结　矩形、菱形都是特殊的平行四边形，既是矩形，又是　菱　形的四边形叫做　正方形　.
菱　
正方形　
利用自制教具或借助几何画板等现代教学手段演示矩形到正方形，菱形到正方形的变化过程，帮助学生理解正方形与菱形、矩形的联系与区别.
·导学建议·
1.正方形具备而菱形不具备的性质是(　C　)
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.每条对角线平分一组对角
C
2.如图，E是正方形ABCD的边AB延长线上一点，且BD＝BE，则∠BED的大小为(　A　)
A.22.5° B.15° C.30° D.45°
3.正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是　3　，面积是　9　.
A
3　
9　
如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有(　B　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC.
(2)延长BE交AD于点F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数.
解:(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°.
又∵EC＝EC，∴△BEC≌△DEC(SAS).
(2)∵△BEC≌△DEC，∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED. ∵∠BED＝120°，∴∠BEC＝60°＝∠AEF，∴∠EFD＝60°＋45°＝105°.
如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，点E在OA上，点G在OB上，且OE＝OG，CG的延长线交BE于点F，猜想并证明CG和EB的大小及位置关系.
证明:∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OB，∠COG＝∠BOE＝90°.∵OE＝OG，∴△BOE≌△COG(SAS)，∴CG＝BE，∠CEF＝∠CGO，∵∠GCO＋∠CGO＝90°，∴∠GCO＋∠CEF＝90°，∴∠CFE＝90°，∴CF⊥BE.
解:CG⊥BE，CG＝BE.
如图，以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连接BE、CF.(1)试探索BE和CF的关系，并说明理由；(2)你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到？并指出旋转中心和旋转角.
解:(1)BE＝CF，BE⊥CF.理由:在正方形ACDE和正方形ABGF中，
∵AF＝AB，AC＝AE，∠FAB＝∠EAC＝90°，
∴∠FAC＝∠BAE，∴△AFC≌△ABE(SAS)，BE＝CF，∠AEB＝∠ACF.∵∠EHC＋∠HED＋∠D＋∠DCH＝360°，∠AED＝∠AEB＋∠HED＝90°，∠D＝∠ACD＝90°，
∴∠EHC＝90°.
(2)△ABE和△AFC可以通过旋转而相互得到，旋转中心是点A，旋转角为90°.
方法归纳交流
两条线段间的关系探索类问题，一般从线段的位置关系和数量关系两个方面去探究.
　如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别在OA，OD上，∠ABE＝∠DCF.
(1)求证:△ABE≌△DCF.
(2)若BC＝4，AE＝3，求BE的长.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠CDF＝45°.
∵∠ABE＝∠DCF，
在△ABE与△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(ASA).
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝∠AOB＝90°.
∵BC＝4，
∴AB＝4.
∴AC＝＝＝8，
∴OA＝OB＝4.
∵AE＝3，
∴OE＝OA－AE＝4－3＝1，
在Rt△BOE中，BE＝＝＝.
故BE的长为.