天津市第九十五中学益中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市第九十五中学益中学校高二上学期12月月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为
( )
A. B. C. D.
2.已知过点的直线的斜率为，则等于
A. B. C. D.
3.已知数列满足，若，则．( )
A. B. C. D.
4.平行六面体中，化简( )
A. B. C. D.
5.已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则( )
A. B. C. D.
6.下列圆中与圆相外切的是
( )
A. B.
C. D.
7.国家体育场又名鸟巢将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
8.已知定点，点为圆上的动点，点为直线上的动点当取最小值时，设的面积为，则( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于、两点，若则双曲线的离心率为
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.过抛物线的焦点作直线，交抛物线与，两点．若线段的中点的横坐标为，则等于 ．
11.已知直线被圆截得的弦长为，则 ．
12.在长方体中，，，点为的中点，则点到平面的距离为 ．
13.点是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则的值为 ．
14.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 ．
15.已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动．
线段的中点的轨迹方程 ；
已知点为所求轨迹上任意一点，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知等差数列满足：，．
求数列的通项公式以及前项和；
求的值．
17.本小题分
已知椭圆的焦距为，离心率为．
求椭圆的标准方程；
经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于，两点，点为椭圆的右焦点，求的面积．
18.本小题分
已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．
求圆的方程；
求圆关于直线对称的圆的方程．
19.本小题分
如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的正弦值；
若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
20.本小题分
设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
求椭圆方程及其离心率；
已知点是椭圆上一动点不与端点重合，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】直接使用焦点坐标公式求解即可．
【详解】易知 ，焦点坐标为
由焦点坐标公式得焦点坐标为
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据直线的斜率求出的值，再利用两点间的距离公式计算 的值．
【详解】 过点 ， 的直线斜率为 ，
解得 ，
．
所以选项是正确的．
【点睛】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】根据递推公式，结合首项，运用代入法进行求解即可．
【详解】数列 满足 ， ，
， ，
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
【详解】
为平行四面体，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果．
【详解】因为切线与直线 平行，所以切线方程可设为
因为切线过点，所以
因为与圆 相切，所以
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】根据圆心距等于半径之和可判断．
【详解】圆 方程可化为： ，可得：圆心 ，半径 ．
对：圆心距 ，半径之和 ，故两圆不外切；
对：圆心距 ，半径之和 ，故两圆外切；
对：圆心距 ，半径之和 ，故两圆不外切；
对：圆心距 ，半径之和 ，故两圆不外切．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】利用椭圆的扁平程度可知两椭圆离心率相同，即可求得小椭圆的长轴长为 ．
【详解】由扁平程度相同可知其离心率相同，设大小椭圆的离心率为 ；
对于大椭圆可得 ，
设小椭圆的长轴长为 ，则 ，解得 ．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】圆上的点到直线上的点的距离最小时为圆心到直线的距离减去半径，由此确定 ， 两点的位置，然后求出点 到直线 的距离作为底边 上的高，求出三角形面积即可．
【详解】圆 的圆心为原点，半径为，

过原点且与直线 垂直的直线方程为 ，
则点 到直线 的距离为 ．
又因为原点到直线 的距离为 ，
所以 的最小值为 ，则 ，
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得 ，再由双曲线离心率公式即可得解．
【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ，
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 ．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】利用过抛物线焦点的弦长公式： ，可直接求解．
【详解】设 ， ，因为 中点的横坐标为，所以：
又直线 过抛物线的焦点，所以 ．
故答案为：
11.【答案】 或
【解析】【分析】先用几何法求出圆心到直线的距离，再结合点到直线距离公式求参数 的值．
【详解】圆 的方程可化为： ，所以圆 的圆心是 ，半径为 ．
又弦长为 ，所以圆心到直线的距离为： ．
由 ，所以 或 ．
故答案为： 或 ．
12.【答案】
【解析】【解析】以 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量，利用 即可求解．
【详解】在长方体 中， ， ，
点 为 的中点，
以 为原点，建立空间直角坐标系，如图：
， ， ， ，
即 ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以
点 到平面 的距离：

故答案为：
13.【答案】
【解析】【解析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设 ，不妨设 ，利用椭圆与双曲线的定义，求出 即可．
【详解】对于椭圆 ：焦点在 轴上， ；
对于双曲线 ：焦点在 轴上， ；
则椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，
设 ，不妨设 ，
利用椭圆与双曲线的定义，
得到 ，
则 ，
所以 ，
则 的值为 ；
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【解析】曲线 表示圆心为 ，半径为 的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出 的取值范围．
【详解】由 ，解得
根据二次函数的性质得出 ，即
曲线 可化为 ，
所以该曲线表示圆心为 ，半径为 的半圆
因为直线 与曲线 有公共点，所以它位于 之间，如下图所示
当直线 运动到 时，过 ，代入 得：
当直线 运动到 时，此时 与曲线相切
则 ，解得 或 舍
要使得直线 与曲线 有公共点，则
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
15.【答案】

【解析】【分析】设点 ，用 ，示 然后代入圆的方程即可；
根据点 中 的关系，代入 消去 ，转化为关于 的二次函数求最值．
【详解】设点 ，有
则由已知可得 ，即 ，
代入 得 ，
整理得 ，
即线段 的中点的轨迹方程为 ；
因为点 为所求轨迹上任意一点，则 ，且 ，
所以 ，
即 的最大值为 ．
故答案为： ； ．
16.【答案】解：因为数列 为等差数列，所以 ，
所以 ， ．
由等差数列的性质可得： ， ， ， 是以 ，公差为 的等差数列，
所以

【解析】根据等差数列的通项公式和前 项和公式求解；
明确 ， ， 成等差数列，用等差数列的求和公式求和．
17.【答案】解：由已知得 ，
可得 ，
所以椭圆的标准方程为 ；
由得 ，则直线 ： ，
联立 ，消去 得 ，设 ，
则 ，
所以 ．

【解析】确定 ，即可得椭圆方程；
写出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及 可得面积．
18.【答案】解：由题意可设圆 的圆心为 ，
圆 与直线 相切，且过点 ，
，解得： ， 圆心 ，
半径 ， 圆 的方程为： ．
设圆心 关于直线 对称的点为 ，
则 ，解得： ，即 ，
圆 关于直线 对称的圆的方程为： ．

【解析】设圆心为 ，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径 ，且 ，由此可构造方程求得圆心坐标和半径，进而得到圆 方程；
设圆心 关于直线的对称点为 ，根据 连线与直线垂直、 中点在直线上可构造方程组求得 点坐标，又半径不变，由此可得对称的圆的方程．
19.【答案】解：连接 ，因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 为平行四边形，
由点 和 分别为 和 的中点，可得 且 ，
因为 ， ， 为 的中点，所以 ，
可得 且 ，即四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ， ，可建立以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向的空间直角坐标系，
由题意可知
， ， ，
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，不妨设 ，可得
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，不妨设 ，可得
，则
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ．
设 ，即 ，则 ，从而
，
由 知平面 的法向量为 ，由题意， ，
即 ，整理得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ．

【解析】连接 ，证得 ，利用线面平行判定定理即可证得 平面 ；
以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向的空间直角坐标系，求得平面 和平面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
设 ，则 ，从而 ，由 知平面 的法向量为 ，利用向量的夹角公式，得到关于 的方程，即可求解．
【点睛】关键点睛：本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解．
20.【答案】解：如图，

由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 ，离心率为 ．
由题意得，直线 斜率存在，由椭圆的方程为 可得 ，
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 整理得： ，
由韦达定理得 ，所以 ，
所以 ， ．
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以直线 的方程为 ．

【解析】由 解得 ，从而求出 ，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率．
先设直线 的方程，与椭圆方程联立，消去 ，再由韦达定理可得 ，从而得到 点和 点坐标由 得 ，即可得到关于 的方程，解出 ，代入直线 的方程即可得到答案．
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