2023-2024学年天津市蓟州区第一中学高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市蓟州区第一中学高二上学期12月月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
2.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程已知大衍数列满足，，则( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，若，则的值等于
( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于，两点，若点恰好为中点，则直线的方程为
( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为
( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为
( )
A. B. C. D.
8.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，且两点为在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为
( )
A. B. C. D.
9.已知抛物线的焦点为，设是抛物线上的两个动点，如满足，则的最大值
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.在等差数列中，若，则 ．
11.已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最大值，则公差的取值范围时
12.设等差数列的前项和分别是，且，则 ．
13.设抛物线的焦点为，准线为过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足若，且三角形的面积为，则的值为_____ ____．
14.已知双曲线：的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线：和：距离之和的最小值为 ．
15.已知椭圆的左右顶点分别为，，为任意一点，其中直线的斜率范围为，则直线的斜率范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知在非零数列中，，数列的前项和．
证明：数列为等差数列；
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．
17.本小题分
在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且．

求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到的距离．
18.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点．
求椭圆的方程；
已知点，且，求直线的方程．
19.本小题分
在数列中，，，且满足，求数列的通项公式；
在数列中，，，求数列的通项公式；
若数列是正项数列，且，求数列的通项公式
20.本小题分
已知椭圆，其离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为．
求椭圆的标准方程：
直线与椭圆有唯一的公共点在第一象限，此直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点且，求直线的斜率．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【详解】分析：先将抛物线方程化为标准方程，再写出准线方程．
详解：将 化为 ，
则该抛物线的准线方程为 ．
点睛：本题考查抛物线的标准方程、准线方程等知识，意在考查学生的基本计算能力．
2.【答案】
【解析】【分析】根据递推关系求得 ，进而可得答案．
【详解】由已知得
，
，
，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据等差数列的性质求出 ，然后根据等差数列前 项和公式 结合等差数列的性质即可求出答案．
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】利用离心率求出 ，然后结合 的关系求解渐近线方程即可．
【详解】双曲线： 的离心率为 ，
故 ， ，
．
故双曲线的渐近线方程为： ．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】先设 ， ，由题意得到 ， ，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程．
【详解】设 ， ，由题意可得： ，两式作差可得： ，
即 ，
又点 恰好为 中点，所以直线 的斜率为： ，
因此，直线 的方程为： ，即 ．
故选A
【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型．
6.【答案】
【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式可知 ， ，即 ，从而可确定当取最小值时的值．
【详解】因为 ，故 ．
同理 ，故 ，
所以 ，即当 时， 取得最小值．
故选：．
【点睛】本题考查等差数列性质和等差数列前项和的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】由抛物线方程结合双曲线的几何性质即可求解．
【详解】将 代入抛物线方程 ，可得 ，
则抛物线方程为 ，准线方程为 ，
又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为 ，
则 ，又 ，
可得 ，所以双曲线方程为 ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】不妨设 ，依题意 ，解此方程组可求得，的值，利用双曲线的定义及性质即可求得的离心率．
【详解】设 ，点为椭圆： 上的点， ，
即 ；
又四边形为矩形， ，即
由得： ，解得
设双曲线的实轴长为，焦距为，
则 ，
双曲线的离心率 ．
故选D．
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得与是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【详解】根据抛物线的定义有 ，由余弦定理得 ，故 的最大值为 ．
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查利用余弦定理解三角形，考查了利用基本不等式求最值的方法，还考查了特殊角的三角函数值首先利用抛物线的定义，将已知条件转化为 ，结合余弦定理和基本不等式可求得所求角的余弦值的最值，由此确定角的值．
10.【答案】
【解析】【分析】由等比数列的性质求得 ，再得 ．
【详解】因为 是等差数列，所以 ， 即 ，所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质是解题关键．
11.【答案】
【解析】【分析】根据等差数列的前 项和的公式，讨论其单调性，结合题意，即可求得范围．
【详解】因为数列中 ，
故其前 项和 是关于 的二次函数，且 ．
因为当且仅当 时，前 项和 取得最大值
故只需该二次函数的对称轴范围在 ，
即 ，解得
故答案为： ．
【点睛】本题考查等差数列前 项和的函数属性，属基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】根据等差数列前 项和公式求解即可．
【详解】由等差数列的性质可知 ，
则 ．
故答案为：
13.【答案】
【解析】【详解】设 ，因为直线 过焦点 ，所以 不妨设 在第一象限，又由 ，所以 ，即 ，所以 ， ， ，所以 ，解得 ．
点睛：抛物线的焦点弦具有许多性质，记住这些性质可以快速准确的解决焦点弦问题．如 是抛物线 的焦点弦，设 ， 在准线上的射影分别为 ，
则：
；
；
若 倾斜角为 ，则 ；
以 为直径的圆与准线相切；
；
若 是 中点，则 ， ；
共线， 共线；
．
14.【答案】
【解析】【分析】此题考查抛物线的定义和几何性质，根据双曲线的顶点到渐近线的距离关系求方程，利用几何关系转化求距离之和的最小值．
【详解】双曲线 的渐近线方程 ，右顶点 ，到其一条渐近线的距离 ，解得 ，则 ，
所以双曲线的焦点坐标 ，所以抛物线焦点坐标 ，
即抛物线方程 ，如图：过点 作 ，垂足为，作准线的垂线 ，垂足为 ，连接，根据抛物线定义有：
，即动点 到直线 和 距离之和，
转化为：动点 到直线 和到焦点 的距离之和，
当 三点共线时，距离之和最小，即点到直线 的距离，
．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】利用椭圆的性质，求出斜率的乘积为定值，求出即可．
【详解】由椭圆的方程可得 ， ，则 ，设 ，
，即
， ， ，
直线 斜率的取值范围是 ，直线 斜率的取值范围是： ，
故答案为：
【点睛】考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，中档题．
16.【答案】解：证明 因为在非零数列 中， ，
两边同时除以 ，
可得 ，
所以 ．
又 ，所以 ，
所以 是以为首项．以 为公差的等差数列．
解 因为数列 的前 项和 ，所以 ，
当 时，
，
又 对 也成立，
所以 ．
解 由可知， ，
又由可知 ，
所以 ，
可知 为等差数列，
所以 ．

【解析】已知等式两边同除以 ，由等差数列的定义得证；
由 及 可得通项公式；
求出 后，由等差数列前 项和公式计算．
17.【答案】解：如图，取 中点 ，连接

因为 为 中点， ， ， ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 为 中点， 为 中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面 ．

根据题意，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得， ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，
取 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设直线与平面 所成角为 ，
则 ．
所以直线与平面 所成角的正弦值为 ．
由可知， ，
所以点 到的距离为 ．

【解析】构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行；
根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；
根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果．
18.【答案】解： ，在 中， ，
即 ， ，
解得： ， ，
椭圆的方程为： ；
由题意设的方程为： ， ，
联立方程 ，得 ，
，
， ，
， ，即 ，
化简得： ， ，
直线的方程为 或者 ；
综上，椭圆的方程为： ，直线的方程为 或者 ．

【解析】根据椭圆的几何性质和条件列方程求出，，；
设直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出中点的坐标，再利用 ，求出直线 的斜率．
19.【答案】解： ， ，
， ，数列 为等差数列，
， ，
．
， ，又 ，
是以首项为 ，公差为 的等差数列，
．
，
， ，
两式相减可得： ， ，又 时， 也满足上式，
， ， ．

【解析】分析可知，数列 为等差数列，求出该数列的公差，可求得数列 的通项公式；
推导出数列 是等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列 的通项公式；
令 可求得 的值，令 ，由 可得出 ，两式作差可得出 在 时的表达式，然后对 是否满足在 时的表达式进行检验，即可得解；
20.【答案】解：由题意可得 ，解得 ，
因此，椭圆 的标准方程为： ．
解：由题意可知，直线 的斜率存在且不为零，设直线 的方程为 ，且 ，
联立 ，消去 并整理，得 ，
，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，则点 ，
因为点 在第一象限，则 ，则 ，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 可得 ，即点 ，易知点 ，
，则直线 的方程为 ，
联立 可得 ，即点 ，
因为 ，，即 ，即 ，可得 ，则 ，
将 代入 可得 ，则 ，
，解得 ．

【解析】由已知可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆 的标准方程；
由题意可知，直线 的斜率存在且不为零，设直线 的方程为 ，且 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，由 可得出 ，列出韦达定理，求出点 、 的坐标，进而求出点 的坐标，由已知可得出 ，可求得 ，结合 可求得 的值．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角形面积之间的等量关系求出直线的斜率，解题的关键在于求出点 的坐标，将三角形面积的等量关系转化为两点坐标之间的关系，进而构建等式求解．
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