2023-2024学年天津市武清区英华实验学校高二上学期第三次统练数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市武清区英华实验学校高二上学期第三次统练数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若与是两条不同的直线，则“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，是线段上的点，且，用，，表示向量的结果是
( )
A. B.
C. D.
3.已知数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.数列中，已知对任意，，则( )
A. B. C. D.
5.设等差数列的前项和为，若，则满足时正整数的最小值为
( )
A. B. C. D.
6.已知数列的项满足，而，则( )
A. B. C. D.
7.作直线与圆相切且在两轴上的截距相等，这样的直线有
( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
8.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为
( )
A. B. C. D.
9.设，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线离心率取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ．
11.已知数列满足，则 ．
12.等比数列是递减数列，前项的积为，若，则 ．
13.已知圆：和：恰好有三条公切线，则的取值范围是 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为______ _____．
15.已知椭圆：的左焦点为，经过原点的直线与交于，两点，总有，则椭圆离心率的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点．
求圆的方程；
求过点与圆相切的直线方程．
17.本小题分
若等差数列的前项和为，数列是等比数列，并且，，，，．
求数列和的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知正项数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，且，若恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
20.本小题分
已知椭圆的左顶点为，离心率为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点与轴交于点．
求椭圆的方程；
设点为的中点．
若轴上存在点，对于任意的，都有为原点，求出点的坐标；
射线为原点与椭圆交于点，满足，求正数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由题意解出 时 的值后判断
【详解】若 ，则 ，解得 或
而 时， 重合，故舍去
则“ ”是“ ”的充要条件
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据题意，由空间向量基本定理，代入计算，即可得到结果．
【详解】由题意可得， ，
， ， ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】把给定的数列相邻两项间的关系等式变形、整理可得新数列，求其通项即可作答．
【详解】数列 中，因 ， ，显然 ，
从而有 ，即数列 是等差数列，公差， ，
则 ，即 ，所以 ．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】利用数列的前 项和与通项的关系求解可得 ，进而得到 为等比数列，首项 ，公比为 ，再利用等比数列的求和公式求解即可．
【详解】
当 ，
得 ，又 符合 ．
为等比数列，首项 ，公比为 ，
为等比数列，首项 ，公比为 ，
故 ．
故选：
【点睛】本题主要考查了数列的前 项和与通项的关系以及等比数列的求和公式，属于中档题．
5.【答案】
【解析】【分析】根据 可得 ， ， ，由此可以求出满足 的正整数 的最小值．
【详解】等差数列 的前 项和为 ，且 ，
，
， ，
故满足 的正整数 的最小值是．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】由 ，可得 ，然后利用累乘法可求得结果
【详解】由 ，得 ，
所以 ， ， ，， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 满足上式，所以 ，
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，讨论直线 截距为零和截距不为零，结合相切关系及点线距离公式分别求出对应切线方程即可．
【详解】化简圆 为： ，
圆心 ，半径 ，
若截距为，设 ，则 ，
解得： 或 ，
若截距不为，设 ，则 ，
综上，共有条件满足条件的直线
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】由抛物线 可得双曲线的右焦点为 ，根据题意列式求解 ，即可得双曲线离心率．
【详解】由抛物线 可得焦点 ，则双曲线 的右焦点为 ，即 ，
若 轴，可设 ，则 ，
由题意可得： ，解得 ，
双曲线的离心率为 ．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据条件得到 ，结合椭圆的定义和离心率公式得到 ，求得 的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线 的离心率 ，即可求解．
【详解】因为 ， 为椭圆 与双曲线 的公共的左右焦点，
是以线段 为底边的等腰三角形，且 ，
所以设 ，
因为椭圆 的离心率 ，
即 ，解得： ，
由于点 在第一象限，
所以双曲线 的离心率 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以双曲线的离心率 取值范围是 ．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】利用向量的夹角公式，结合向量的数量积的坐标运算和向量的摸公式，计算即可求出异面直线所成的角．
【详解】由 ， ，得 ，
，
设异面直线 与 的所成的角为 ，则
．
所以异面直线 与 的夹角的余弦值为 ．
11.【答案】
【解析】【分析】首先根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求 ．
【详解】因为 ，
所以 ， ， ， ，
所以数列 是周期为的数列， ．
故答案为：
12.【答案】
【解析】【分析】由题意可得 ，且 ，由条件可得 ，化简得 ，再由 ，求得 的值．
【详解】解：等比数列 是递减数列，其前 项的积为 ，若 ，设公比为 ，
则由题意可得 ，且 ．
， ．
又由等比数列的性质可得 ， ．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】首先结合已知条件和圆与圆的位置关系求出 与 的关系式，从而得到 为 上一点，再利用 的几何意义以及定点到圆上一点的最值求法即可求解．
【详解】由题意， ： 的方程可化为 ，
故 是以圆心为 ，半径为的圆；
因为圆 和圆 恰好有三条公切线，所以圆 和圆 相外切，
又因为圆 ： ，所以圆 的圆心为 ，半径为，
从而 ，化简得， ，
即 为 上一点，
不妨令
由两点间距离公式可知， 可表示为 上一点 到 的距离，
因为 是以圆心为 ，半径为的圆，
所以圆心到 的距离为 ，
故 的最大值为 ，最小值为 ，
从而 ，
因为 ，
所以 ，即 的取值范围是 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】由 可得点 ，求得 ，由点差法得 ，可求得离心率．
【详解】
如图： ，由 ， ，可得点的坐标为 ，
则直线斜率为 ，直线斜率为 ，
另一方面，设 则 ，
两式相减得 ，整理得 ，
即 ，故 ．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】设椭圆右焦点为 ，由对称性知， ，从而有 ，设 ， ，由椭圆定义结合基本不等式得 ，在焦点三角形中应用余弦定理，代入 ，结合余弦函数性质可得离心率的范围．
【详解】如图，设椭圆右焦点为 ，由对称性知 是平行四边形， ，
， ，
设 ， ，由椭圆定义知 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
在 中，由余弦定理得 ，
又 ， ， ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是把已知条件转化为焦点 中， ，然后椭圆定义，余弦定理，基本不等式求得结论．
16.【答案】解：过点 与直线 ： 垂直的直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
由 ，解得 ．
所以 ．
故圆 的方程为： ．
若过点 的直线斜率不存在，即直线是 ，与圆相切，符合题意；
若过点 的直线斜率存在，设直线方程为 ，
即 ，
若直线与圆 相切，则有 ，
解得 ．
此时直线的方程为 ，即 ．
综上，切线的方程为 或 ．

【解析】先得到过点 且与直线 ： 垂直的直线方程，与 联立求得圆心即可；
若过点 的直线斜率不存在，即直线是 判断，若过点 的直线斜率存在，设直线方程为 ，再根据直线与圆相切求解．
17.【答案】解：由题意可设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 得： ，解得： 舍或 ，
， ．
由得： ，
．

【解析】根据等差数列通项和求和公式、等比数列通项公式可构造方程组求得公差 和公比 ，由此可得通项公式；
由可得 ，采用裂项相消法可求得结果．
18.【答案】解：由题意知 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ， ，
因为 ，
所以 ，即 ．
因为数列为正项数列，所以 ，即 ，
所以数列 为公差为的等差数列，
所以 ．
因为 ，
所以

得，
，
所以 ，
所以 可化简为 ．
因为 恒成立，所以 ．
因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ，
又 ，所以 ，
故 ，
所以实数的取值范围为 ．

【解析】根据函数解析式可得 ，然后由 和 的关系可得递推公式，即可判断数列 为等差数列，进而可得通项公式；
使用错位相减法求得 ，然后参变分离，将恒成立问题转化为求数列最值问题，借助对勾函数性质即可求解．
19.【答案】解：证明：法一：分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
由题意可知点 、 分别为线段 、 的中点．所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以点 、 、 、 四点共面，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
法二：因为 为正方形，且 平面 ，所以 、 、 两两互相垂直，
以点 为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
所以 ，易知平面 的一个法向量 ，
所以 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ．
解：设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
易知平面 的一个法向量 ，设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角余弦值为 ；
解：假设存在点 ，使得 ，其中 ，
则 ，
由得平面 的一个法向量为 ，
由题意可得 ，
整理可得 即 ，
因为 ，解得 或 ，所以， 或 ．

【解析】法一：分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，证明出平面 平面 ，利用面面平行的性质可证得结论成立；
法二：以点 为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
利用空间向量法可求得平面 与平面 夹角的余弦值；
假设存在点 ，使得 ，其中 ，求出向量 的坐标，利用空间向量法可得出关于 的方程，解之即可．
20.【答案】解：由已知得 又 椭圆方程为： ，
假设 轴上存在着点 使得 ，
设 所在的直线方程为： ，点
由 解得 ， ，
， ，
， ，
，
解得 轴上存在着点 使得 成立，
设 所在直线方程为 ，则
，
到直线 的距离： ，
，
即 ， ，

解得 ， ．

【解析】根据椭圆的左顶点为 ，离心率为 ，结合性质 ，列出关于 、 、 的方程组，求出 、 ，即可得结果；Ⅱ假设 轴上存在着点 使得 ，设 ，与椭圆方程联立，求得 ，利用斜率公式，结合 可求得 ；设 所在直线方程为 ，与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线距离公式结合韦达定理求出 ，再由 可得 ，解方程即可得结果【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、以及解析几何中的存在性问题，属于难题解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径．
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