2023-2024学年金太阳湖南省部分学校高二上学期12月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年金太阳湖南省部分学校高二上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则( )
A. B. C. D.
4.有编号互不相同的五个砝码，其中克、克的砝码各两个，克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过克的概率为( )
A. B. C. D.
5.若点，到直线的距离相等，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
7.等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲同学通过数列，，，，，的前项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是( )
A. B. C. 该数列为递增数列 D.
10.某班有男生人，女生人，其中男生身高单位：厘米的平均值为，身高的方差为，女生身高的平均值为，身高的方差为，则( )
A. 该班全体学生身高的平均值为 B. 该班全体学生身高的平均值为
C. 该班全体学生身高的方差为 D. 该班全体学生身高的方差为
11.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则( )
A. B.
C. 为直角三角形 D. 上存在一点，使得
12.数学探究课上，小王从世界名画记忆的永恒中获得灵感，创作出了如图所示的垂直时光已知垂直时光是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角其中对应钟上数字，对应钟上数字设的中点为，，已知长度为的时针指向了钟上数字，长度为的分针指向了钟上数字，现在小王准备安装长度为的秒针安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细，则下列说法正确的是( )
A. 若秒针指向了钟上数字，如图，则
B. 若秒针指向了钟上数字，如图，则平面
C. 若秒针指向了钟上数字，如图，则与所成角的余弦值为
D. 若秒针指向了钟上数字，如图，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，若，则 ．
14.某公司年全年生产某种商品件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前一年的，则该商品年产量超过件时，至少需要经过 年
15.设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 ．
16.若、是平面内不同的两定点，动点满足且，则点的轨迹是一个圆、这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在正项等比数列中，，．
求的通项公式
若，证明是等差数列并求的前项和．
18.本小题分
已知圆与圆关于直线对称．
求的标准方程
记与的公共点为，，求四边形的面积．
19.本小题分
的内角，，所对的边分别为，，已知，，成等差数列．
若，求
若，当取得最小值时，求的面积．
20.本小题分
已知正项数列的前项和为，且．
求的通项公式
若，求数列的前项和．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，，，与均为正三角形．
证明：平面．
证明：平面．
设平面平面，平面平面，若直线与确定的平面为平面，线段的中点为，求点到平面的距离．
22.本小题分
已知双曲线的焦距为，点在上．
求的方程
，分别为的左、右焦点，过外一点作的两条切线，切点分别为，，若直线，互相垂直，求周长的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复数的模，属于基础题．
先化简复数，再直接计算即可．
【解答】
解：．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合间基本运算，属于基础题．
根据对数函数定义域和均值不等式分别确定结合，，即可求解．
【解答】
解：由，得，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线定义的理解与应用，属于基础题．
利用抛物线的定义求解即可．
【解答】
解：设抛物线焦点为，由抛物线的定义可知，
因为点到轴的距离为，
所以，解得．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查古典概型概率的计算，属于基础题．
写出所有组合的种数，找到符号要求的种数，利用古典概型即可求解．
【解答】
记克的砝码为，，克的砝码为，，克的砝码为，从中随机选取两个砝码，样本空间，，，，，，，，，，共有个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过克”包含个样本点，故所求的概率为．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：若，在直线的同侧，则，解得．
若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得．
利用，在直线的同侧时斜率相等及，分别在直线的两侧时经过的中点，分析即可．
本题主要考查过两点的斜率公式和中点公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查了三角函数的图象与性质等知识，属于中档题，准确理解给定的函数图象是解题关键．
首先，根据图形，得到振幅，然后，根据周期公式，得到，从而得到，然后将图中已知点坐标代入，解得，即可求解．
【解答】
解：由函数的图象可知，，则．
由，
所以，，
解得，，
则，
故．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．
先由等差数列的性质得到：，，，，成等差数列，再由题设条件求解出即可．
【解答】
解：由等差数列的性质知，，，，也成等差数列，
则，解得，
则，解得，
则，解得．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的离心率，直线与双曲线的综合问题，属于中档题．
根据题意确定为中点，所以，已知，可求余弦，从而解出离心率．
【解答】
解：记的右焦点为，的中点为，连接，图略，因为，为的中点，所以，则，从而又，所以，则，，故E的离心率为．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的通项公式以及数列的单调性，是基础题．
由，得的值，可判断；再得出，可判断；由，可判断．
【解答】
解：由，得，
则．
由，得该数列为递增数列．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平均数、方差，是基础题．
根据平均数、方差逐一判定即可．
【解答】
解：由题可知，该班全体学生身高的平均值为，
该班全体学生身高的方差为．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义、双曲线的定义、椭圆以及双曲线的简单几何性质，是中档题．
根据椭圆的定义、双曲线的定义、椭圆以及双曲线的简单几何性质逐一判定即可．
【解答】
解：由题可知，，，的离心率为，则的离心率为，则若，，，
可得，，
即可得，，不正确，B正确；
根据对称性，不妨设在第一象限，则
解得则，
所以为直角三角形，C正确；
设，则，若，
则，即，方程无解，不正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查异面直线垂直判断，线面平行，球的表面积，属于中档题．
以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，结合各选项判断即可．
【解答】
解：如图，以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
若秒针，指向了钟上数字，则，
，，，则，，
所以，，故是平面的一个法向量．
因为，所以，所以与不垂直，从而与平面不平行，
故A正确，不正确；
若秒针指向了钟上数字，则，，
，．
由，得．
因为，所以外接圆的半径，
则四面体的外接球的半径，则，
故四面体的外接球的表面积为，，D正确．
13.【答案】或
【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题．
根据平面向量时，列方程求出的值．
【解答】
解：向量，，
若，则，
所以，
解得或．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数模型的应用，属于基础题．
设经过年后，该商品年产量超过件，则，即可求解。
【解答】
解：设经过年后，该商品年产量超过件，
则，即．
因为，，
所以至少需要经过年．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性的性质应用．
根据题意，由的奇偶性和对称性分析可得，即可得是周期为的周期函数，由此可得
与的值，相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，奇函数定义域为，则，且
又由为偶函数，即的图象关于直线对称，
则有，
综合可得，
则有，
故函数是周期为的周期函数，
又 ，
故；
，
故，
故答案为
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轨迹方程的求法，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力，属于中档题．
由题意，结合圆的几何性质，将所求问题转化成三角形三边关系有关问题，再求解即可．
【解答】
解：设，，则，
故，
当且仅当，，三点共线，且在之间时取得最大值．
17.【答案】解：设的公比为，由，得，
解得或舍去，
因为，所以．
由可知，，则．
因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，
故．
【解析】本题考查等差数列的判定或证明，等比数列的通项公式，等差数列的前项和公式。
根据题干条件先求得公比，再写出通项公式即可；
求出的表达式，即可证明的是等差数列，利用等差数列的前项和，即可求解。
18.【答案】解：将的方程转化为，知的圆心为，半径为．
设的圆心为，半径为，因为与关于直线对称，
所以解得
故的标准方程为．
，
根据对称性可知到直线的距离，
则，
则四边形的面积．
【解析】本题考查关于点或直线对称的圆的方程，圆与圆的位置关系，属于一般题．
求得圆心关于直线的对称点，即可求解；
求出的值，进而得到的值，结合面积公式即可求解．
19.【答案】解：因为，由正弦定理得：，
则，则，
则，
所以，即或舍去．
因为，，成等差数列，所以．
由，得，则，即，
则；
由，得，
则，
当且仅当时，等号成立，
此时，
所以的面积．
【解析】本题考查正弦定理，余弦定理解三角形，三角形面积公式，等差中项，属于中档题．
由正弦定理得到，从而，再由，，成等差数列得到边长关系即可求解；
利用余弦定理结合基本不等式求最小值，利用面积公式求解．
20.【答案】解：当时，，解得．
当时，由，得，
两式相减得，
则．
因为，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，
则．
由可知，，
则，
则．
【解析】本题考查等差数列的判定或证明，等差数列的通项公式，裂项相消法求和．
求出，判断为等差数列，根据通项公式即可求解．
求得的表达式，利用裂项相消法求和即可．
21.【答案】解：证明：因为，所以，，所以，
因为平面，平面，所以平面．
证明：取的中点，连接，则四边形为正方形．
过作平面，垂足为连接，，，．
由和均为正三角形，得，
所以，即点为正方形对角线的交点，
则，因为平面，面
所以，
又，，面
所以平面，
因为面
所以因为是的中点，是的中点，所以，
因此．
因为，所以，
又，，面
所以平面．
设，连接，则直线为直线，因为，平面平面，所以
由知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，，，，．
，，设平面的法向量为，则，，
所以
取，得．
又，所以点到平面的距离．

【解析】本题考查线面垂直的判定，线面平行的判定，点面距离，属于中档题．
求得，利用线面平行的判定定理，即可；
作辅助线，由平面，得到，又，则平面，得到，又由平行关系得到，再根据勾股定理得到，根据线面垂直的判定定理即可证明；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，，根据点面距离的向量公式，即可求解．
22.【答案】解：由题可知，
解得
故C的方程为．
由题可知，直线，的斜率均存在，设，
过且与相切的直线，联立方程组整理得，
则，整理得．
将代入，得，则，
从而．
因为切线，互相垂直，
所以，即．
，，
则，则，当且仅当时，等号成立，因为，所以周长的最大值为．
【解析】本题主要考查的是双曲线标准方程的求解，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题；
将点的坐标直接代入双曲线中结合焦距，即可求解；
设直线，将直线与双曲线联立，根据切线，互相垂直，求出，进而可求周长的最大值；
第2页，共14页