天津市新华中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市新华中学高二上学期第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的前项为：，，，，则数列的通项公式可能为
A. B. C. D.
2.已知椭圆：，过左焦点的直线交于，两点，则的周长为
( )
A. B. C. D.
3.已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，若，则该抛物线的方程为
( )
A. B. C. D.
4.在数列中，，，，记数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线的条数为
条( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，( )
A. B. C. D.
7.已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为
( )
A. B. C. D.
8.过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线，交双曲线的渐近线于点、，为坐标原点，则的面积为
( )
A. B. C. D.
9.已知等差数列的前项和为且满足，，则，，，中最大的项为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知双曲线上一点到它的一个焦点的距离为，那么点到另一个焦点的距离为 ．
11.中国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾注：从第月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，月入贯，全年按个月计共入贯”，则该人月营收贯数为
12.设等比数列的前项和为，公比为，若，，则___ ___．
13.数列的前项和为，则 ．
14.斜率为的直线过抛物线的焦点，若被拋物线截得弦长为，则 ．
15.已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知数列满足，．
证明：数列为等差数列；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知椭圆：的长轴长为，离心率为．
求椭圆的标准方程；
已知点，如果过点的直线与椭圆交于，两点点与点不重合，求证：为直角三角形．
18.本小题分
已知等差数列与正项等比数列满足，且，，既是等差数列，又是等比数列．
求数列和的通项公式；
令，求数列的前项和；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】分母与项数一样，分子都是，正负号相间出现，依此可得通项公式
【详解】正负相间用表示，．
故选D．
【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．
2.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的定义可得的周长为，从而可求得结果．
【详解】由，得，得，
所以的周长为．
故选：
3.【答案】
【解析】【解析】根据抛物线的定义直接求出即可．
【详解】由抛物线的定义知，
，
解得，
所以抛物线方程为，
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】列出数列的前几项，即可得到数列的周期性，从而求解．
【详解】因为，，，
所以，，，，，，，
所以是以为周期的周期数列，且，
，，，
所以．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】根据直线与抛物线的位置关系判断．
【详解】当直线平行于轴即抛物线的时，直线与抛物线只有一个公共点，
直线与抛物线的轴不平行时，由于在抛物线的外部与焦点在不同区域，因此过点有的抛物线的切线有两条．
综上，符合要求的直线有条．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】由题意可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当时，，当时，，即可得到答案．
【详解】因为，则数列为等差数列，
设等差数列的公差为，则，
所以数列的通项公式为，
令，解得，
所以当时，，当时，，
所以数列中前项的和最大．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得的值．
【详解】由题意可得：当时，，即，
当时，，即，
联立可得，则．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】设点在第一象限，点在第四象限，由渐近线方程可得，由倾斜角可得，则，利用三角函数可得和，进而求解．
【详解】不妨设点在第一象限，点在第四象限，
由题，渐近线方程为，则，
，
因为，所以，所以，
又，则，所以，所以，
从而的面积为，
故选：
【点睛】本题考查双曲线中的三角形面积，考查双曲线中渐近线方程的应用．
9.【答案】
【解析】【详解】等差数列中，，即，，，，，
等差数列 为递减数列，故可知，，，为正，，为负；，，，为正，，，为负，
，，，，，，，
又，中最大的项为故选D．
10.【答案】
【解析】【分析】由已知可得双曲线上的点到焦点的最近距离为，结合双曲线的定义，可得答案．
【详解】双曲线的，，
则双曲线上的点到焦点的最近距离为，
若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，
点到另一个焦点的距离等于，或舍，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是双曲线的性质，双曲线的定义，难度不大，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【解析】设每个月的收入为等差数列，公差为，则，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程求解，再计算即可．
【详解】设每个月的收入为等差数列，公差为，则，
，，
解得：，．
故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查了数列的应用．
12.【答案】或
【解析】【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组即可解出答案．
【详解】或．
故答案为：或．
13.【答案】
【解析】【解析】利用计算可得出数列的通项公式．
【详解】当时，
而不适合上式，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】求出焦点坐标，得到直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，根据焦点弦长得到方程，求出答案．
【详解】的焦点坐标为，直线：，
联立得，，
设直线过抛物线两交点为，
故，
又拋物线截得弦长为，所以，解得，
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】转化条件设点，，表示出点坐标后直接代入椭圆方程，利用即可得解．
【详解】解：设椭圆的左、右焦点分别为，将代入椭圆方程可得，可设，
由，得，即有，即，
得，代入椭圆方程可得，由，即有，解得．
故答案为：．
16.【答案】证明：
又
所以数列是首项为，公差为的等差数列；
由知，，所以．
所以

【解析】将已知条件凑配成，由此证得数列为等差数列由求得数列的通项公式，进而求得的表达式，利用分组求和法求得．
【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题．
17.【答案】因为椭圆：的长轴长为，所以则，
又因为离心率为，所以，则，再由得，
则椭圆方程为
由题意知过点的直线的斜率存在，设直线斜率为，则直线的直线方程为，
由可得，
设则，所以，；
因为，所以
所以，故为直角三角形得证．

【解析】由，分别求的即可求得椭圆方程；
假设直线方程，并联立直线和椭圆方程得到两根之和两根之积，再由向量乘积等于零即可判定三角形为直角三角形．
18.【答案】因为，，既是等差数列，又是等比数列，
所以，
又，设公差为、公比为，
则，解得或舍去，
所以，；
由可得，
所以，
，
所以
，
所以；
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
令，则，
所以单调递减，则，
所以，即实数的取值范围为．

【解析】依题意可得，设公差为、公比为，根据等差等比数列通项公式得到方程组，求出、，即可得解；
由可得，利用错位相减法计算可得；依题意可得对任意的，不等式恒成立，令，利用作差法判断的单调性，即可求出的最大值，从而求出的取值范围．
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