天津市和平区耀华中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二上学期12月月考数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的渐近线方程是
( )
A. B. C. D.
2.已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则．
A. B. C. D.
3.已知，点满足：则( )
A. B. C. D. 不能确定
4.抛物线与直线交于，两点，其中点的坐标是该抛物线的焦点为，则
A. B. C. D.
5.双曲线的左、右焦点分别为过焦点且垂直于轴的弦为，若则双曲线的离心率为
( )
A. B. C. D.
6.若椭圆和双曲线有相同的焦点、，是两曲线的交点，则的值是
( )
A. B. C. D.
7.规定：直线是双曲线的右准线，以原点为圆心且的圆，且过双曲线的顶点的圆，被直线分成弧长为：的两段圆弧，则该双曲线的离心率是
( )
A. B. C. D.
8.直线与椭圆相交于、两点，该椭圆上点，使得的面积等于这样的点共有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.曲线的长度是
( )
A. B. C. D.
10.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程式为
A. B. C. D.
11.若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
12.给出下列结论，其中正确的个数是( )
渐近线方程为的双曲线的标准方程一定是
抛物线的准线方程是
等轴双曲线的离心率是
椭圆的焦点坐标是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如果正中，，向量，那么以为焦点且过点的双曲线的离心率是
14.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若线段的长为，则 ．
15.与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
16.已知数列满足则的最小值为 ．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆锥曲线经过定点，它的一个焦点为，对应于该焦点的准线为，斜率为的直线交圆锥曲线于、两点，且，求圆锥曲线和直线的方程．
18.本小题分
如图所示，已知圆，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，，点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若过定点的直线交曲线于不同的两点点在点之间，且满足，求的取值范围．
19.本小题分
如图所示的几何体 中，平面 ，， 是上的点不与端点重合，为上的点，为的中点．
若为的中点，
求证：平面
求点 到平面的距离．
若平面与平面所成角锐角的余弦值为试确定点在上的位置．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
【详解】双曲线的渐近线方程是：
故选：
2.【答案】
【解析】【详解】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，则，所以，
又，解得，所以，故选C．
考点：等比数列的通项公式及性质．
3.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的第二定义，结合椭圆的定义进行求解即可．
【详解】因为
所以点是以为右焦点，为右准线，离心率为的椭圆，
则有，显然，
故选：
4.【答案】
【解析】【详解】分析：首先应用曲线的交点应该同时落在各条曲线上，得到点既在抛物线上，又在直线上，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线方程，从而求得的值，联立方程组求得另一个交点的坐标，之后结合抛物线的定义求得最后的结果．
详解：将点的坐标代入抛物线与直线，得，
所以得抛物线与直线，
由得或，所以得，
又抛物线的准线是，
再结合抛物线的定义得，故选A．
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要明确两曲线相交交点的特征以及点在曲线上的条件，求得参数的值，从而确定抛物线和直线的方程，再联立方程组求得直线与抛物线的另一个交点，之后借助抛物线的定义，将其转化为到准线的距离即可求得结果．
5.【答案】
【解析】【分析】直接利用双曲线的通径与，得到，，的关系，根据离心率公式，求出双曲线的离心率．
【详解】由题意可知，双曲线的通径为：，
因为过焦点且垂直于轴的弦为，则，
若，所以，所以，由于，
所以，解得，因为，所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】由椭圆和双曲线的定义可得，，从而由即可得解．
【详解】椭圆和双曲线有相同的焦点、，是两曲线的交点，
，，
，
故选D．
【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】先根据圆被直线 分成弧长为：的两段圆弧及圆的对称性，得出；再根据三角形中的边角关系即可求解．
【详解】设圆与直线相交于点和，双曲线的右顶点为，如图所示：
由题意得：圆的圆心为，半径为．
由圆被直线 分成弧长为：的两段圆弧，可得．
所以根据圆的对称性可得．
由直线方程 可得：，即．
所以双曲线的离心率．
故选：．
8.【答案】
【解析】【解析】设出的坐标，表示出四边形面积，利用辅角公式整理化简，再利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得的最大值，利用判断出点不可能在直线的上方，进而推断出在直线的下方有两个点．
【详解】设，即点在第一象限的椭圆上，
考虑四边形面积，
，
．
为定值，
的最大值为．
，
点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点．
故选：．
【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
9.【答案】
【解析】【分析】根据题意，化简得到曲线表示的轨迹为弧，所在圆的半径为，且，结合弧长公式，即可求解．
【详解】由曲线，可得，其中，
如图所示，曲线表示的轨迹为弧，且扇形所在圆的半径为，且，
所以曲线表示的长度为．
故选：．
10.【答案】
【解析】【详解】，
直线的方程为．
由于双曲线的焦点为，
，．
设双曲线的标准方程为，
则整理，得
．
设，，
则，
，．
又，
，．
双曲线的方程为故选B．
11.【答案】
【解析】【详解】由题意知圆心坐标为，
圆心到直线的距离，解得或舍去，
所以圆的方程为．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】分别利用双曲线渐近线方程与标准方程之间的关系，抛物线开口方向与标准方程的关系，等轴双曲线的概念，椭圆焦点位置与标准方程之间的关系对每个选项逐一判断即可．
【详解】对于：渐近线方程为的双曲线的标准方程是 ，故错；
对于：抛物线即，它的准线方程是，故错；
对于：等轴双曲线中，故，所以离心率，正确；
对于：椭圆的焦点位置不确定，焦点可能在轴，也可能在轴，故错；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】设出正三角形的边长，根据判断出的位置，根据双曲线的定义和离心率的计算公式，计算出离心率．
【详解】依题意，不妨设正三角形的边长为，
由于，所以是三角形的中位线，即是的中点，
由于在双曲线上，是双曲线的焦点，
而，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【详解】设点，的坐标分别为，，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程为，把代入，得，，，．
15.【答案】
【解析】【详解】曲线化为，
其圆心到直线的距离为
所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为
标准方程为．
16.【答案】
【解析】【分析】先利用累加法求出，所以，设，由此能导出或时有最小值．借此能得到的最小值．( )
【详解】解：，当时，
且对也适合，所以．
从而
设，令，( )
则在上是单调递增，在上是递减的，( )
因为，所以当或时有最小值．( )
又因为，，
所以的最小值为
故答案为
【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
17.【答案】由于曲线的焦点对应的数量是，而准线对应的数量是，故猜想曲线是抛物线，根据，求得，故抛物线的方程是，将代入得，符合题意，故曲线的方程是由于直线的斜率为，故可设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，故，所以，解得，故直线的方程是．
【解析】根据焦点和准线判断出曲线为抛物线，由此写出抛物线的方程设出直线的方程斜截式，利用弦长公式和弦长列方程，解方程求得直线的截距由此求得直线的方程．
【点睛】本小题考查抛物线的概念的识别，考查抛物线的方程，考查直线和抛物线相交所得弦长公式的应用，属于中档题．
18.【答案】连接，
，，
为的垂直平分线， ，
又， ，
动点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距， ，，，
曲线的方程为．
当直线斜率不存在，方程为，则，．
当直线斜率存在时，设直线方程为，
代入椭圆方程得：．
由得：．
设，，
则，，
又， ， ，则，
， ， ，解得：．
又， ．
综上所述：的取值范围为

【解析】由垂直平分线性质可推导得到，由椭圆定义可确定曲线的方程；
当直线斜率不存在时，易得；当直线斜率不存在时，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，根据可得，利用可构造与的方程，由的范围可得关于的不等式，解不等式可求得结果；综合两种情况可得结果．
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
化简所得函数式，利用函数值域的求解方法求得取值范围．
19.【答案】 平面 ，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，，，，，
为的中点，， 为的中点，
，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得．
，
，
又 平面，
平面；
，平面的法向量为，
点 到平面的距离为：；
由是上的点不与端点重合，可设，，
，，
点坐标为
设平面的法向量为，
则，即，令，得．
平面 ，平面
又 ，，平面，平面，
平面，
平面的一个法向量为
平面与平面所成角锐角的余弦值为 ，
，解得或
点是的中点或是上的靠近点的四等分点．

【解析】建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；求出的方向向量和平面法向量即可证明平面；根据点到平面距离的向量计算方法即可求解．
先根据点是上的点不与端点重合，利用向量共线的坐标表示得出点坐标；再求出平面与平面的法向量；最后根据面面所成角的向量计算方法即可求解．
第1页，共1页