山西省平遥中学校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

山西省平遥中学校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2、已知直线经过,两点,且直线,则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3、已知椭圆方程为,则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是( )
A. B. C. D.
4、已知是等差数列的前n项和,若,则( )
A.15 B.18 C.23 D.27
5、已知函数,则( )
A. B. C. D.
6、在平行六面体中,点P是线段BD上的一点,且,设,,,则( )
A. B. C. D.
7、已知双曲线的左焦点为,点是双曲线右支上的一点,点M是圆上的一点,则的最小值为( )
A.5 B. C.7 D.8
8、若直线上存在点P,过点P作圆的两条切线,A,B为切点,满足,则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、在等比数列中,已知,,其前n项和为,则下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
10、已知双曲线,则下列说法正确是( )
A.双曲线C的实轴长为 B.双曲线C的焦距为
C.双曲线C的离心率为 D.双曲线C的渐近线方程为
11、下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
12、已知抛物线,点P是抛物线C准线上的一点,过点P作抛物线C的切线,切点分别为A,B,直线PA,PB的斜率分别为,,则下列说法正确的是( )
A.直线AB恒过定点 B.
C. D.的面积最小值为16
三、填空题
13、已知圆与圆,则两圆的位置关系为________.
14、在各项均为正数的数列中,,,,则________.
15、已知椭圆(且为常数)的左,右焦点分别为,,点P是椭圆C上的一点,若的最大值为25,则椭圆C的离心率为________.
16、已知函数是定义在R上可导函数,其导函数为,若,且对任意的恒成立,则不等式的解集为________.
四、解答题
17、已知函数.
（1）求的单调区间;
（2）求的极值.
18、已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,两点,当轴时,.
（1）求抛物线C的标准方程;
（2）当线段AB的中点的纵坐标为3时,求直线l的斜率.
19、在数列中,,且.
（1）证明:是等差数列;
（2）求的前n项和.
20、如图,四边形ABCD为正方形,四边形ADEF是梯形,,,平面平面ABCD,且,点P是线段FC上的一点(不包括端点).
（1）证明;
（2）若,且直线EC与平面PBD所成角的大小为,求三棱锥的体积.
21、已知椭圆过点,.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若点P是圆上的一点,过点P作圆O的切线交椭圆C于A,两点,证明:以AB为直径的圆过原点O.
22、已知函数.
（1）若,求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
（2）若,试判断的零点的个数.
参考答案
1、答案：A
解析:因为抛物线的标准方程为,,,,所以焦点坐标为,故选:A.
2、答案：B
解析:设直线的倾斜角为,
因为直线的斜率,由,得,
所以,即,又,则,
所以直线的倾斜角为.
故选:B.
3、答案：D
解析:由椭圆的方程,
可得,,即
得椭圆的长轴长为,
以该椭圆的长轴长为弦长且面积最小的圆,就是直径为的圆,
所以其面积为.
4、答案：B
解析:因为是等差数列的前n项和,
所以
故选:B.
5、答案：D
解析:
6、答案：C
解析:
7、答案：C
解析:记双曲线C的右焦点为,
所以,
当且仅当点P为线段与双曲线C的交点时,取到最小值.
故选:C.
8、答案：D
解析:
9、答案：BC
解析:设等比数列的公比为q,
,,,故A错误;
,故B正确;
,故C正确;
,故D错误.
故选:BC.
10、答案：BC
解析:双曲线,则,,,双曲线C的实轴长为,故A错误;双曲线C的焦距为,故B正确;双曲线C的离心率,故C正确;
双曲线C的渐近线方程为,故D错误.
故选:BC.
11、答案：AD
解析:
12、答案：ACD
解析:
13、答案：相交
解析:,,,,,两圆相交.
14、答案：32
解析:由已知,,得,即,则数列为等比数列,,,.
故答案为:32.
15、答案：或0.75
解析:
16、答案：
解析:令,则在R上恒成立,所以在R上单调递减.
又,即,又,即,所以,解得,所以不等式的解集为.
故答案为:.
17、答案：（1）单调递增区间为和,单调递减区间为;
（2）极大值为,极小值为0.
解析:（1）已知,函数定义域为,
可得,
当时,,单调递增;当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以的单调递增区间为和,单调递减区间为;
（2）由（1）可知,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,函数取得极大值,极大值,当时,函数取得极小值,极小值,
所以的极大值为,极小值为0.
18、答案：（1）
（2）2
解析:（1）由题意知,,当轴时,A,B两点的横坐标,
代入得,,则,解得,所以抛物线C的标准方程为;
（2）根据题意得,直线l的斜率存在,设,,,A,B两点都在上,
则有,,
则,即,
又AB中点的纵坐标为3,则,,
则,
即直线l的斜率.
19、答案：（1）证明略
（2）
解析:（1）证明:,
,
等式左右同除得,
又,
故数列是首项为1,公差为1的等差数列;
（2）由（1）得,
故,
设,其前n项和为,
则①,
②,
由①-②得,
即,
故.
20、答案：（1）证明略
（2）
解析:（1）证明:连接AC,因为四边形ABCD为正方形,,,又平面平面ABCD,平面平面,平面ABCD,
平面ADEF,
又平面ADEF,,,,,又,AB,平面ABCD,
平面ABCD,
平面ABCD,,
又,,AF,平面AFC,
平面AFC,又平面AFC,
.
（2）以A为坐标原点,分别以AB,AD,AF所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则,,,,,
所以,.
设,
则,
设平面PBD的一个法向量为,则,即
,令,解得,,
所以,
又直线EC与平面PBD所成角的大小为,
所以,
解得,
所以,所以,
所以.
21、答案：（1）
（2）证明略
解析:（1）由题意知,解得,,
所以椭圆C的标准方程是;
（2）证明:当直线AB的斜率不存在时,直线AB的
方程为或.
若直线AB的方程为,不妨设,,
所以,所以;
若直线AB的方程为,不妨设,,
所以,所以;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为,
又直线AB与圆O相切,所以,即,
设,,
由,得,
所以,
,
所以
,
所以.
综上,以AB为直径的圆过原点O.
22、答案：（1）见解析
（2）略
解析:（1）,,
,,
该切线为:
（2）
据（1）知有则为一零点,
,,,
,
当,,
当,,
,,有
,
则存在使得
存在使得
当,,
,,
,,
,
令,则,,
,
,
,
,
存在使得,
有,,
,又:,,
存在使得,
的零点有1个.