渭南市尚德中学2024届高三上学期期中考试数学试卷（含解析）

渭南市尚德中学2024届高三上学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知全集,集合,,阴影部分所示的集合为( )
A. B. C. D.
2、若复数为纯虚数,则实数a的值为( )
A.1 B.0 C. D.-1
3、已知等差数列的前n项和为,且,,则公差( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4、通信卫星与经济发展、军事国防等密切关联,它在地球静止轨道上运行,地球静止轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球(球心为O,半径为rkm),地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个仰角为的地面接收天线(仰角是天线对准卫星时,天线与水平面的夹角),若点A的纬度为北纬,则( )
A. B. C. D.
5、设D为所在平面内一点,,若,则( )
A.-3 B.3 C.-2 D.2
6、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.240种 B.120种 C.60种 D.30种
7、若,则取得最小值时a的值为( )
A.6 B.1 C.3 D.
8、已知函数,,则图象为如图的函数可能是( )
A. B.
C. D.
9、已知中,,角A、B、C的对边分别为a、b、c,则“”是“为等边三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10、如图所示,已知椭圆的左顶点是A,B,C在椭圆上,且四边形OABC是平行四边形,,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
11、已知等差数列公差分别为,其前n项和为,等差数列公差为,其前n项和为,则下列命题中正确的个数是( )
①若为等差数列,则
②若为等差数列,则
③若为等差数列,则
④若,则是公差为的等差数列.
A.1 B.2 C.3 D.4
12、已知a、b、c均为负实数,且,,,则( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、已知函数,则____________.
14、设x、y满足约束条件,设,则z的最大值为_______
15、已知为等比数列,,,则______.
16、若函数有且仅有两个零点,则a的取值范围为_______.
三、解答题
17、已知中内角A、B、C的对边分别为a、b、c,B为锐角,向量,
,且.
（1）求角B的大小;
（2）如果,求面积的最大值.
18、已知各项都为正数的数列的前n项和为,,满足
（1）求数列的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和为.
19、如下图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面底面ABCD,且,若E、F分别为PC、BD的中点.
（1）求证：平面PAD;
（2）求二面角的余弦值.
20、某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时间（分） 1 2 3 4 5
频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时.
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
21、已知函数的极值为.
（1）求a的值并求函数在处的切线方程;
（2）已知函数,存在,使得成立,求m得最大值.
22、直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为（为参数）,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线普通方程和的直角坐标方程;
（2）已知曲线的极坐标方程为(),点A是曲线与的交点,点B是曲线与的交点,且A、B均异于原点O,且,求的值.
23、已知函数,函数的最小值记为m.
（1）求不等式的解集;
（2）正实数a、b、c满足.求证：.
参考答案
1、答案：A
解析：
2、答案：D
解析：
3、答案：C
解析：
4、答案：A
解析：根据题意作出图形如图所示,
O为球心,,,,,,,
所以,
在△OAB中,由正弦定理得,即
所以,,,
5、答案：A
解析：若,,化为,
与比较,可得：,,解得.
6、答案：B
解析：
7、答案：B
解析：,
,且,,
,
当且仅当且,即时,等号成立.
8、答案：D
解析：
9、答案：C
解析：证明充分性,a、b、c成等比数列,设公比为q,则,
由余弦定理得,即
,,解得
,是等边三角形.
10、答案：C
解析：
11、答案：C
解析：①②④正确
12、答案：B
解析：,,,
所以a、b、c是方程的(1、2、3)
即a、b、c、是方程的(1、2、3)
令,
,单调递减,单调递增
13、答案：1
解析：
14、答案：15
解析：
15、答案：-2
解析：
16、答案：
解析：当时,函数只有一个零点-1,不符合题意;
当时,函数只有一个零点-1,不符合题意;
当时,函数有两个零点,分别为-1和,符合题意.
若且,分以下两种情况：
①当,
,令,由且,得,,且.
又时,,所以,
则时,且,;
时,,
所以,则时,且,.
②当，,令,由且,得,,且.同理,时,,
则;时,,则.综上,a的取值范围为.
17、答案：（1）;
（2）最大值为.
解析：（1）,,,
即.又B为锐角,,,.
（2）,,由余弦定理,
得.又,当且仅当时等号成立,
代入上式,得,故,即的最大值为
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）,当时,,
两式相减得,即,
由,得,即,所以是首项为1,公差为1的等差数列.
故.
（2）,
,
,
两式相减,得
,故.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）连接AC,由于四边形ABCD是正方形,F是BD的中点,
则点F是AC中点,则EF是的中位线,所以
又平面PAD,平面PAD,所以平面PAD
（2）如下图,取AD的中点O,连结OP,OF.
,
,又平面底面ABCD,平面平面,
平面ABCD,而O,F分别为AD,BD的中点,
,又ABCD是正方形,故.
,.
以O为原点,直线OA,OF,OP为x,y,z轴建立空间直线坐标系,
则,,,.
,,
,从而,又,,平面PDC,
平面PDC的法向量为.
设平面PBD的法向量为.
,,
由,可得,
令,则,,故,
即二面角的余弦值为.
20、答案：（1）0.22
（2）见解析
解析：设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,的Y的分布如下：
Y 1 2 3 4 5
P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形：
①一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。
所以
（2）解法一：X所有可能的取值为：0,1,2.
对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,
所以;
对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,
所以;
对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以
;
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
.
解法二：X所有可能的取值为0,1,2.
对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,
所以;
对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,
所以;
;
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
.
21、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）定义域为R,因为
若则在R上单调递增,无极值,不合题意,舍去.
若则令得,所以解得
经检验,符合题意.
因为切线斜率,又因为所以切点为
所以切线方程为：,即切线方程为：
（2）因为存在,使得成立,
则,即,即
即,即,由（1）得
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增
因为,,, 所以,所以,即且
所以存在使得
所以存在使得,即
令所以,因为得
所以在区间上单调递增,在区间单调递减
所以的最大值为,所以又因为,所以
所以m的最大值为
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）由,消去参数可得普通方程为,
,由,得曲线的直角坐标方程为;
（2）由（1）得曲线,由,
可得其极坐标方程为由题意设,,
则.
,,,.
23、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意可得：,
当时,则,解得;
当时,则,解得;
当时,则,解得;
综上所述：不等式的解集为.
（2）,当且仅当时等号成立,
函数的最小值为,则,
又,当且仅当,即时等号成立;
,当且仅当,即时等号成立;
,当且仅当,即时等号成立;
上式相加可得：,
当且仅当时等号成立, .