人教A版 高中数学 选修二4.2.1等差数列的概念（共2课时）练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版 高中数学 选修二4.2.1等差数列的概念（共2课时）练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 779.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-22 20:57:00 | ||
图片预览
文档简介
人教A版 高中数学 选修二4.2.1等差数列的概念（第一课时）
一、单选题
1．在中，角成等差数列，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．数列满足：，则与的等差中项是（）
A． B． C． D．
3．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（ ）
A．130 B．132 C．140 D．144
4．已知数列，都是等差数列，数列满足.若，，，则（ ）
A．28 B．56 C．72 D．90
5．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝（ ）
A． B．1
C． D．
二、多选题
6．关于等差数列，有下列四个命题，正确的是（ ）
A．若数列中有两项是有理数，则其余各项都是有理数
B．等差数列的通项公式是关于项数n的一次函数
C．若数列是等差数列，则数列（k为常数）也是等差数列
D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列
7．已知数列是首项为3，公差为的等差数列，若2023是该数列的一项，则公差d可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
三、填空题
8．在等差数列{an}中，若a13＝20，a20＝13，则a2 014＝ .
9．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为 ．
四、解答题
10．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数．
11．已知数列满足，求通项.试卷第2页，共2页
试卷第1页，共2页
人教A版 高中数学 选修二4.2.1等差数列的概念（第二课时）
一、单选题
1．等差数列x，，，…的第四项为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知数列为等差数列，，则（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
3．已知等差数列中各项都不相等，，且，则公差（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
4．若的三边长成公差为的 等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为
A． B．
C． D．
5．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸；十二地支即子 丑 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戌 亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么2021年时为（ ）
A．己亥年 B．戊申年 C．庚子年 D．辛丑年
二、多选题
6．已知函数，数列满足，且，.若是等差数列，则可能取的整数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，则下列结论正确的是（ ）
A．d的最大值是6 B．
C．一定是奇数 D．137一定是数列中的项
三、填空题
8．规定为数列的一阶差分数列，其中（为正整数）．对正整数，规定为的阶差分数列，其中．若数列有，，且满足（为正整数），则 ．
四、双空题（新）
9．等差数列中．
（1）若,，则＝ .
（2）若，则 .
五、问答题
10．某市2017年年底机动车保有量为150万辆，据统计该市机动车保有量每年将比上一年增加8万辆．据此计算，至哪一年年底，该市机动车保有量将超过200万辆？
11．数列是等差数列，其中求通项公式.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案：
1．B
【分析】由等差数列的性质求解．
【详解】∵成等差数列，∴，∴，∴．
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的性质，属于简单题．
2．C
【分析】根据递推公式求出与，然后可得.
【详解】因为即，且
所以
则与的等差中项为
故选：C
3．A
【分析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,
【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，
所以 ，
故，
故选:A.
4．C
【分析】设数列，的公差分别为，则，则，则数列的通项为二次三项式，可设，再根据，，，求得a、b、c，从而可得答案.
【详解】解：设数列，的公差分别为，
则，
则，
则数列的通项为二次三项式，可设，
因为，，，
则有，解得，
所以，所以.
故选：C.
5．A
【分析】依题意得－＝，得数列是以＝为首项，为公差的等差数列，由此根据等差数列的通项公式可得选项.
【详解】解：依题意得＝＝＋，－＝，故数列是以＝为首项，为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，所以a4＝．
故选：A.
【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式，或进行求解；
（2）前n项和法：根据进行求解；
（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出，是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列中有，即第n项与第n 1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列中有，即第n项与第n 1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列中，（k、b均为常数，且k≠1，k≠0）.
一般化方法：设，得到 可得出数列 是以k的等比数列，可求出；
②取倒数法：这种方法适用于（k、m、p为常数，m≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；
（7）（b、c为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.
6．AC
【分析】根据等差数列的定义逐一验证即可.
【详解】选项A正确.当时，选项B不成立.
由等差数列的定义知选项C正确，证明如下：设的公差为d，则（常数），所以也是等差数列.
选项D错误,比如数列为：-2，-1，0，1，2，则数列为：4，1，0，1，4
故选：AC
7．AC
【分析】由题意，，可得，即d是2020的约数，分析即得解
【详解】由题意知，
因为2023是该数列的一项，
所以令，
得
因为n，，所以d是2020的约数，故选项A，C符合题意
故选：AC
8．－1981
【详解】由题意知，等差数列的公差d＝＝－1，∴a2 014＝a20＋(2014－20)d＝13－1994＝－1981.故填-1981.
9．
【分析】由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】根据图形，
因为都是直角三角形，
,
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
，
，故答案为.
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.
10．此数列中间一项是，项数为.
【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数及中间一项.
【详解】设等差数列的项数为，
设所有的奇数项和为，则，
设所有的偶数项和为，则，
，解得，
项数，中间项为，
由，
所以此数列中间一项是，项数为.
11．
【分析】根据数列的递推公式，构造特征方程，根据特征根再变形，求得数列是等差数列，即可求数列的通项公式.
【详解】考虑特征方程的特征根，
，
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，
故 即.
参考答案：
1．A
【分析】根据等差数列的定义求出x，求出公差，即可求出第四项.
【详解】由题可知，等差数列公差d＝(x＋2)－x＝2，
故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，
故第四项为－1＋(4－1)×2＝5.
故选：A.
2．A
【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.
【详解】解：在等差数列中，所以，
所以；
故选：A
3．B
【分析】利用等差数列的通项公式表示已知条件，解方程即可求解.
【详解】，且，
整理可得，；
；
.
故选：B．
4．B
【分析】设出三边长，根据最大角的正弦值，利用余弦定理即可求出边长，结合三角面积公式即可求解．
【详解】根据题意设三角形的三边最大角为，
则
由三角形两边之和大于第三边知即．
由余弦定理得，
即,计算得出：，则三角形的三边分别为
该三角形的面积为:
故选：B
5．D
【分析】根据题意，天干和地支的年份分别是以和为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由题意可知，天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，从1949到2021经历年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则，则2021年的天干为辛，，则2021年的地支为丑。所以2021年为辛丑年.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是分别将天干和地支，看成两个等差数列，再运用推理能力和逻辑思维能力，灵活将题目给出的信息转化为已学数列的知识进行求解.
6．ABD
【分析】将表示为分段函数的形式，利用选项以及是等差数列求得正确答案.
【详解】，
A选项，，，
，所以是首项，公差为的等差数列.
所以A选项正确.
B选项，，
所以，则为常数列，也是等差数列. 所以B选项正确.
C选项，，
，，所以不是等差数列.
所以C选项错误.
D选项，，
，当时，，
所以是首项，公差为的等差数列.
所以D选项正确.
故选：ABD
7．ABD
【分析】推导出，的最大值为6，，当时，，从而一定是等差数列中的项.
【详解】因为无穷等差数列的公差，且是中的三项，
所以设，
解得，
所以的最大值为，故A正确；
因为，，
所以，故B正确；
因为，所以时，，数列可能为故C错误；
因为，
所以一定是等差数列中的项，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是运用等数列的基本知识，回到基本量上的计算.
8．
【分析】根据差分定义化已知式为数列的递推关系，得出的性质，然后由等差数列的通项公式求解．
【详解】由已知，，
即为，即，
所以数列从第2项开始向后成等差数列，公差为，
．
故答案为：26.
9．
【分析】（1）根据成等差数列，得到；
（2）先根据等差数列的性质得到，进而求出.
【详解】（1）∵成等差数列，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴.
故答案为：，
10．至2024年年底，该市机动车保有量将超过200万辆．
【分析】由等差数列性质列式求解，
【详解】依题意知，从2017年年底开始，每年的机动车保有量依次构成首项为150，公差为8的等差数列．
，
令得，
当即至2024年年底，该市机动车保有量将超过200万辆．
11．或
【分析】由{an}为等差数列，结合等差中项，能够求出x，分类分别得到首项与公差，求得通项公式an．
【详解】，
.
因为数列是等差数列，所以也是等差数列，所以，即，解得.
当时，.由此可求出.
当时，.由此可求出.
综上所述：当时，
当时，.
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法和等差中项的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题．
答案第4页，共5页
答案第5页，共5页
一、单选题
1．在中，角成等差数列，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．数列满足：，则与的等差中项是（）
A． B． C． D．
3．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（ ）
A．130 B．132 C．140 D．144
4．已知数列，都是等差数列，数列满足.若，，，则（ ）
A．28 B．56 C．72 D．90
5．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝（ ）
A． B．1
C． D．
二、多选题
6．关于等差数列，有下列四个命题，正确的是（ ）
A．若数列中有两项是有理数，则其余各项都是有理数
B．等差数列的通项公式是关于项数n的一次函数
C．若数列是等差数列，则数列（k为常数）也是等差数列
D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列
7．已知数列是首项为3，公差为的等差数列，若2023是该数列的一项，则公差d可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
三、填空题
8．在等差数列{an}中，若a13＝20，a20＝13，则a2 014＝ .
9．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为 ．
四、解答题
10．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数．
11．已知数列满足，求通项.试卷第2页，共2页
试卷第1页，共2页
人教A版 高中数学 选修二4.2.1等差数列的概念（第二课时）
一、单选题
1．等差数列x，，，…的第四项为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知数列为等差数列，，则（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
3．已知等差数列中各项都不相等，，且，则公差（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
4．若的三边长成公差为的 等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为
A． B．
C． D．
5．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸；十二地支即子 丑 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戌 亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么2021年时为（ ）
A．己亥年 B．戊申年 C．庚子年 D．辛丑年
二、多选题
6．已知函数，数列满足，且，.若是等差数列，则可能取的整数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，则下列结论正确的是（ ）
A．d的最大值是6 B．
C．一定是奇数 D．137一定是数列中的项
三、填空题
8．规定为数列的一阶差分数列，其中（为正整数）．对正整数，规定为的阶差分数列，其中．若数列有，，且满足（为正整数），则 ．
四、双空题（新）
9．等差数列中．
（1）若,，则＝ .
（2）若，则 .
五、问答题
10．某市2017年年底机动车保有量为150万辆，据统计该市机动车保有量每年将比上一年增加8万辆．据此计算，至哪一年年底，该市机动车保有量将超过200万辆？
11．数列是等差数列，其中求通项公式.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案：
1．B
【分析】由等差数列的性质求解．
【详解】∵成等差数列，∴，∴，∴．
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的性质，属于简单题．
2．C
【分析】根据递推公式求出与，然后可得.
【详解】因为即，且
所以
则与的等差中项为
故选：C
3．A
【分析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,
【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，
所以 ，
故，
故选:A.
4．C
【分析】设数列，的公差分别为，则，则，则数列的通项为二次三项式，可设，再根据，，，求得a、b、c，从而可得答案.
【详解】解：设数列，的公差分别为，
则，
则，
则数列的通项为二次三项式，可设，
因为，，，
则有，解得，
所以，所以.
故选：C.
5．A
【分析】依题意得－＝，得数列是以＝为首项，为公差的等差数列，由此根据等差数列的通项公式可得选项.
【详解】解：依题意得＝＝＋，－＝，故数列是以＝为首项，为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，所以a4＝．
故选：A.
【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式，或进行求解；
（2）前n项和法：根据进行求解；
（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出，是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列中有，即第n项与第n 1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列中有，即第n项与第n 1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列中，（k、b均为常数，且k≠1，k≠0）.
一般化方法：设，得到 可得出数列 是以k的等比数列，可求出；
②取倒数法：这种方法适用于（k、m、p为常数，m≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；
（7）（b、c为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.
6．AC
【分析】根据等差数列的定义逐一验证即可.
【详解】选项A正确.当时，选项B不成立.
由等差数列的定义知选项C正确，证明如下：设的公差为d，则（常数），所以也是等差数列.
选项D错误,比如数列为：-2，-1，0，1，2，则数列为：4，1，0，1，4
故选：AC
7．AC
【分析】由题意，，可得，即d是2020的约数，分析即得解
【详解】由题意知，
因为2023是该数列的一项，
所以令，
得
因为n，，所以d是2020的约数，故选项A，C符合题意
故选：AC
8．－1981
【详解】由题意知，等差数列的公差d＝＝－1，∴a2 014＝a20＋(2014－20)d＝13－1994＝－1981.故填-1981.
9．
【分析】由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】根据图形，
因为都是直角三角形，
,
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
，
，故答案为.
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.
10．此数列中间一项是，项数为.
【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数及中间一项.
【详解】设等差数列的项数为，
设所有的奇数项和为，则，
设所有的偶数项和为，则，
，解得，
项数，中间项为，
由，
所以此数列中间一项是，项数为.
11．
【分析】根据数列的递推公式，构造特征方程，根据特征根再变形，求得数列是等差数列，即可求数列的通项公式.
【详解】考虑特征方程的特征根，
，
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，
故 即.
参考答案：
1．A
【分析】根据等差数列的定义求出x，求出公差，即可求出第四项.
【详解】由题可知，等差数列公差d＝(x＋2)－x＝2，
故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，
故第四项为－1＋(4－1)×2＝5.
故选：A.
2．A
【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.
【详解】解：在等差数列中，所以，
所以；
故选：A
3．B
【分析】利用等差数列的通项公式表示已知条件，解方程即可求解.
【详解】，且，
整理可得，；
；
.
故选：B．
4．B
【分析】设出三边长，根据最大角的正弦值，利用余弦定理即可求出边长，结合三角面积公式即可求解．
【详解】根据题意设三角形的三边最大角为，
则
由三角形两边之和大于第三边知即．
由余弦定理得，
即,计算得出：，则三角形的三边分别为
该三角形的面积为:
故选：B
5．D
【分析】根据题意，天干和地支的年份分别是以和为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由题意可知，天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，从1949到2021经历年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则，则2021年的天干为辛，，则2021年的地支为丑。所以2021年为辛丑年.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是分别将天干和地支，看成两个等差数列，再运用推理能力和逻辑思维能力，灵活将题目给出的信息转化为已学数列的知识进行求解.
6．ABD
【分析】将表示为分段函数的形式，利用选项以及是等差数列求得正确答案.
【详解】，
A选项，，，
，所以是首项，公差为的等差数列.
所以A选项正确.
B选项，，
所以，则为常数列，也是等差数列. 所以B选项正确.
C选项，，
，，所以不是等差数列.
所以C选项错误.
D选项，，
，当时，，
所以是首项，公差为的等差数列.
所以D选项正确.
故选：ABD
7．ABD
【分析】推导出，的最大值为6，，当时，，从而一定是等差数列中的项.
【详解】因为无穷等差数列的公差，且是中的三项，
所以设，
解得，
所以的最大值为，故A正确；
因为，，
所以，故B正确；
因为，所以时，，数列可能为故C错误；
因为，
所以一定是等差数列中的项，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是运用等数列的基本知识，回到基本量上的计算.
8．
【分析】根据差分定义化已知式为数列的递推关系，得出的性质，然后由等差数列的通项公式求解．
【详解】由已知，，
即为，即，
所以数列从第2项开始向后成等差数列，公差为，
．
故答案为：26.
9．
【分析】（1）根据成等差数列，得到；
（2）先根据等差数列的性质得到，进而求出.
【详解】（1）∵成等差数列，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴.
故答案为：，
10．至2024年年底，该市机动车保有量将超过200万辆．
【分析】由等差数列性质列式求解，
【详解】依题意知，从2017年年底开始，每年的机动车保有量依次构成首项为150，公差为8的等差数列．
，
令得，
当即至2024年年底，该市机动车保有量将超过200万辆．
11．或
【分析】由{an}为等差数列，结合等差中项，能够求出x，分类分别得到首项与公差，求得通项公式an．
【详解】，
.
因为数列是等差数列，所以也是等差数列，所以，即，解得.
当时，.由此可求出.
当时，.由此可求出.
综上所述：当时，
当时，.
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法和等差中项的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题．
答案第4页，共5页
答案第5页，共5页