广东省广州市番禺区象贤中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）

广州市番禺区象贤中学2023-2024学年第一学期12月月考
高一级数学科试题
学科：_____姓名:_______班级:________考号：__________
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，集合则( )
A. 0 B. C. D. R
2.已知命题，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数中最小正周期为且是奇函数的为( )
A. B.
C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则( )
A. B. C. 2 D. 3
6.设，则函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
7.已知幂函数在上单调递减，设，，，则( )
A. B.
C. D.
8.已知函数为自然对数的底数，则函数的零点的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，少选2分，错选0分，共20分）
9.下列说法错误的是.( )
A. 与735o终边相同的角是15o
B. 若一扇形的圆心角为15o oooideds odf dso，半径为3cm，则扇形面积为
C. 设是锐角，则角为第一或第二象限角
D. 设是第一象限，则为第一或第三象限角
10.下列函数中，最小值为4的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列结论中错误的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称
C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增
12.设函数定义域为D，若存在，且，使得，则称函数是D上的“S函数”，下列函数是“S函数”的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.已知，则______.
14.已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为__________.
15.函数的值域为__________.
16.函数在上所有零点之和为__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题10分
已知函数
化简；
若，求，的值．
18.本小题12分
已知函数，
求函数 图象的对称轴，对称中心以及函数的单调减区间；
求在上的最值及对应的x的值.
19.本小题12分
已知函数
判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
解不等式
20.本小题12分
已知奇函数的定义域为
求实数的值；
判断函数的单调性，并用定义证明；
当时，恒成立，求m的取值范围.
21.本小题12分
南通高铁枢纽站为沪苏通铁路、通苏嘉甬高铁、南沿江城际铁路三条铁路交汇站点，是南通计划打造的三个铁路枢纽之一．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两面墙的长度均为
当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围
22.本小题12分
设函数
若，求的值；
求函数在上的最小值；
若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围．
答案和解析
1．B 2. C 3. C 4.A 5.B 6 B 7 C 8D 9 BC 10.BC 11 ABC 12.BD 13.2 14.
15. 16.4
1.【答案】B 解：，，故选
2.【答案】C 解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，则命题“，”的否定为“，”.故答案选：
3.【答案】C 解：对于A，最小正周期，故A错误；
对于B，为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
对于D，为偶函数，故D错误.
4.【答案】A 解：因为函数的定义域为R，，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除BD，再取特殊值，可得，则，
所以排除C，故本题选
5.【答案】B 解：由题意可知函数在时取得最大值，就是，，
所以；只有时，满足选项．故答案选
6.【答案】B 解：令，，
所以，在上单调递增，至多只有一个零点，
所以，，
所以根据函数零点的存在性定理可知在区间内函数存在零点．
故本题选
7.【答案】C 解：幂函数在上单调递减，
，解得，
，故为偶函数，，，，
，，故选：
8.【答案】D 解： 由的解析式画出函数图象如下图，
，
令，，即，
当时，由解得，此时有两个根和，
当时，由单调递增，而，所以有唯一根，结合图象易知有三个根，
综上所述，函数的零点的个数为故选
9.【答案】BC 解：对于A，，故与终边也相同，故A正确；
对于B，扇形面积为，故B错误；
对于C，如果，则，此时为轴线角，故C错误；
对于D，因为是第一象限，故，
故，当k为奇数时，为第三象限角，当k为偶数时，为第一象限角，故D正确．故选：
10.【答案】BC 解：当时，，选项A错误；
，，当且仅当时，等号成立，故选项B正确；
，当时，y有最小值4，故选项C正确；
，无最小值，故选项D错误，故选：
11.【答案】ABC 解：A，因为，所以的最小正周期为，故A错误;
B，令，得，
所以图象的对称中心为，
因为无解，故B错误;
C，令，得，
所以图象的对称轴为直线，
因为无解，故C错误;
D，令，得，
所以的单调递增区间为，
当时，在上单调递增，故D正确.
故选
12.【答案】BD 解：对，可得，，
所以由基本不等式可得，
因为，所以可得，所以A错误；
对，可得，
，
所以当时，因为为奇函数，
所以当时即可得，即当，时有，所以B正确；对，可得，
，由基本不等式可得，
而，，
所以C错误；对，所以当，时可得，
所以D正确.故选：
13.【答案】2 解：将原式分子分母同时除以，得，故答案为：
14.【答案】 解：由关于x的不等式的解集为或，
得是方程的两个根，且，于是，解得，
不等式化为：，即，解得，
所以不等式的解集为故答案为：
15.【答案】 解：
因为，所以令，
所以，对称轴为，所以当时；3
当时；所以的值域为故答案为
16.【答案】4 解：由得，
分别作出函数与的图象如图：
则函数与关于点成中心对称，
由图象可知两个函数在区间上共有4个交点，它们关于点成中心对称，
不妨设关于点对称的两个根为a，b，则，即，
则所有零点之和为，故答案为
17.【答案】解：
，故；（5分）
由，平方可得，（6分）
即，(7分)
，又，，，
，（9分）. （10分）

18.【答案】解：，（1分）
由，解得，所以对称轴为；（2分）
由，解得，所以对称中心为（4分）
由，解得，
所以函数的单调减区间为 （6分）
因为，所以， （8分）
所以当，即时，函数有最小值为，（10分）
当，即时，函数有最大值为 （12分）
19.【答案】解：判断：函数为奇函数，（1分）
证明如下：
对于函数，由，求得，故函数的定义域为，（3分）
关于原点对称，再根据，
可得为奇函数．（6分）
不等式，即，
当时，可得，且，求得，（8分）
当时，可得，且，求得，（10分）
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 （12分）
20.【答案】解：是奇函数，，即，（1分）
，整理得，，解得：，故，（3分）
函数的定义域为，关于原点对称，故；（4分）
函数在上单调递增.证明如下：任取，，且，（5分）
则， （7分）
，，又，，
，在上单调递增； （8分）
当时，，由可得，
即当时，，（9分）
令，
则，
，当且仅当时等号成立，（11分）
所以实数m的取值范围 （12分）
21.【答案】解：设甲工程队的总造价为y元，
则 （3分）
当且仅当，即时等号成立.
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元. （6分）
由题意可得，对任意的恒成立，
即，从而，（8分）
即恒成立， 又当且仅当，即时等号成立，（11分）
所以 （12分）
22.【答案】解：，
，，（2分）
令，，则，对称轴为， (3分)
①当时，即，， （4分）
②当时，即，， （5分）
③当时，即，，（6分）
综上， （7分）
令，，由题意，当时，有两个不等实数解，
原题可转化为在内有两个不等实数根， (8分)
( 11分)
，的取值范围为
．（12分）