椭圆的定义和标准方程(湖南省湘潭市岳塘区)

(共19张PPT)
2008.10.8
问题1：圆的几何特征是什么？
平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。
问题2：如果我们将圆定义中的一个定点改变成两个定点，动点到定点距离的定长改变成动点到两定点的距离之和为定长。那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？
(1)取一条细绳
(2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2
(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形.
（1）在画出一个椭圆的过程中，F1、F2的位置是固定的还是运动的？
（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
F1
F2
M
︳F1F2︱=2c
︱MF1︳+︱MF2︳=2a
2a>2c
若2a<2c，则轨迹为＿＿＿＿。
若2a=2c，则轨迹为＿＿＿＿。
线段
不存在
结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该
如何定义椭圆？它应该包含几个要素？
（1）在平面内
（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a
（3）定长2a﹥ |F1F2|
F1
F2
M
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点的距离叫做焦距．
1.椭圆的定义
F1
F2
M
2.椭圆方程的建立
步骤一：建立直角坐标系, 设动点坐标
步骤二：找关系式
步骤三：列方程
步骤四：化简方程
步骤五：验证
求曲线方程的步骤:
化 简
列 式
设 点
建 系
F1
F2
x
y
以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．
M( x , y )
设 M( x，y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
F1
F2
x
y
M( x , y )
则：
设
得
即：
O
b2x2+a2y2=a2b2
3.方程的推导
椭圆上的点满足 为定值，设为2a，则2a>2c
4．椭圆标准方程分析
我们把方程 叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、 F2(c，0)．这里c2=a2－b2．
y
M
x
o
F1
F2
(-c,0)
(c,0)
(x,y)
观察下图，你能从中找出表示c,a, 的线段吗？
P
F1
F2
O
x
y
因为c2=a2－b2
所以
由两点间的距离公式，可知：
x
y
设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，
又由椭圆 的定义可得：
|MF1|+ |MF2|=2a
如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c).这里c2=a2-b2．方程是怎样呢？
化简可得：
O
X
Y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
Y
X
O
F1
F2
M
(0,-c)
(0 , c)
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。
5.椭圆的标准方程的再认识：
例1、填空：
(1)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则 F2CD的周长为________
6.例题精析
5
4
3
(3,0)、(-3,0)
6
２0
F1
F2
C
D
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
|CF1|+|CF2|=2a
(2)已知椭圆的方程为： ,则
a=_____，b=_______，c=_______，
焦点坐标为：__________，焦距
等于_________;
若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则
点P到另一个焦点F2的距离等于_________，
2
1
(0,-1)、(0,1)
2
P
F1
F2
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），
椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程
为：
2a=10，2c=8
即 a=5，c=4
故 b2=a2-c2=52-42=9
所以椭圆的标准方程为：
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
︱MF1 ︱ + ︱ MF2 ︱ =2a (2a>2c>0)
定 义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 项分母较大.
7.小结
P49 习题2.2 1,2
§2.2.1椭圆及其标准方程
§2.2.1椭圆及其标准方程