用二次函数解决问题试卷
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一、选择题（共10小题，每题2分）
1．（2011 株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是【 】
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A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2011 聊城）某公园草坪的防护栏 ( http: / / www.21cnjy.com )由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为【 】
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A．50m B．100m C．160m D．200m
3．（2011 河北）一小球被抛出后，距离 ( http: / / www.21cnjy.com )地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是 【 】
A、1米 B、5米 C、6米 D、7米
4．（2011 兰州）如图，已知：正方形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是 【 】
A、 ( http: / / www.21cnjy.com ) B、 ( http: / / www.21cnjy.com ) C、 ( http: / / www.21cnjy.com ) D、 ( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2012 大连）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为【 】
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A.1 B.2 C.3 D.4
6．（2012 义乌市）如图，已知抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．
其中正确的是【 】
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A．①② B．①④ C．②③ D．③④
7．（2013 淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（－2，4）在抛物线上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为【 】
A． B． C． D．
8．（2013 湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是【 】
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A．16 B．15 C．14 D．13
9．（2010 丽水）如图，四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是【 】
A． B． C． D．
10．（2014 河北）某种正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为【 】
A、6厘米 B、12厘米 C、24厘米 D、36厘米
二、填空题（共10小题，每题2分）
11．（2013 崇左）崇左市政府大楼前广场 ( http: / / www.21cnjy.com )有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 ▲ 千米．
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12．（2013 山西）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为 ▲ m.
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13．（2013 衢州） ( http: / / www.21cnjy.com )某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种 ▲ 棵橘子树，橘子总个数最多．
14．（2013 潜江、仙桃、天门、江汉油田）2013年5月26日，2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系，则羽毛球飞出的水平距离为 ▲ 米．
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15．（2014 菏泽）如图，平行于x轴的直线AC分别交函数与的图象于B、C两点，过点c作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则
▲ ．
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16．（2014 沈阳）某种商品每件进 ( http: / / www.21cnjy.com )价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为 ▲ 元．
17．（2014 咸宁）科学家为了推测 ( http: / / www.21cnjy.com )最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
温度t/℃ ﹣4 ﹣2 0 1 4
植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为
▲ ℃．
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18．（2014 潜江、仙桃、天门 ( http: / / www.21cnjy.com )、江汉油田）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 ▲ 米．
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19．（2014 绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ▲ ．
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20．（2014 安徽）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ▲ .
三、解答题（共6小题，每题10分）
21．（2014 泰州）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．
（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？
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22．（2014 武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件） x＋40 90
每天销量（件） 200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.
23．（2014 舟山）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克／百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数(k＞0)刻画(如图所示)．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为多少
②当＝5时，y＝45．求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班 请说明理由．
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24．（2014 成都）在美化校园的活动 ( http: / / www.21cnjy.com )中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2, 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
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25．（2014 青岛）某企业设计了 ( http: / / www.21cnjy.com )一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低 ( http: / / www.21cnjy.com )于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
26．（2014 常州）某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：
x（元/件） 38 36 34 32 30 28 26
t（件） 4 8 12 16 20 24 28
（1）试求t与x之间的函数关系式；
（2）在商品不积压且不考虑其它 ( http: / / www.21cnjy.com )因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价-每件服装的进货价）用二次函数解决问题试卷
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一、选择题（共10小题，每题2分）
1．（2011 株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是【 】
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A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A。
【考点】二次函数的应用。
【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即可：∵，∴抛物线顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米。故选A。
2．（2011 聊城）某公园草坪的防护栏由1 ( http: / / www.21cnjy.com )00段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为【 】
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A．50m B．100m C．160m D．200m
【答案】C。
【考点】二次函数的应用。
【分析】建立如图所示的直角坐标系，由于抛物线的顶点为（0，0.5），所以可设抛物线函数表达式为。则由于点（1，0）在抛物线上，代入后得，从而抛物线函数表达式为。
当时，；当时，。则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为：
100×2×（0.48＋0.32）＝160（m）。故选C。
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3．（2011 河北）一小球被抛出后，距离地 ( http: / / www.21cnjy.com )面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是 【 】
A、1米 B、5米 C、6米 D、7米
【答案】C。
【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。
【分析】∵高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，∴当t=1时，小球距离地面高度最大，h=6米。故选C。
4．（2011 兰州）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是 【 】
A、 ( http: / / www.21cnjy.com ) B、 ( http: / / www.21cnjy.com ) C、 ( http: / / www.21cnjy.com ) D、 ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B。
【考点】二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，
∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG。
设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2，
即s=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1。
∴所求函数是一个开口向上，对称轴是x=的抛物线在0＜x ＜1部分。故选B。
5．（2012 大连）如图，一条 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为【 】
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A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质。
【分析】∵抛物线的点P在折线C－D－E上移动，且点B的横坐标的最小值为1，
∴观察可知，当点B的横坐标的最小时，点P与点C重合。
∵C（－1，4），∴设当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为。
∵B（1，0），∴，解得a=－1。
∴当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为。
∵观察可知，当点A的横坐标的最大时，点P与点E重合，E（3，1），
∴当点A的横坐标的最大时抛物线的解析式为。
令，即，解得或。
∵点A在点B的左侧，∴此时点A横坐标为2。故选B。
∴点A的横坐标的最大值为2。
6．（2012 义乌市）如图，已知抛物线y ( http: / / www.21cnjy.com )1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．
其中正确的是【 】
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A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】D。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】①∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1。∴此判断错误。
②∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，
若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。∴此判断错误。
③∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），
当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；∴此判断正确。
④ ∵使得M=1时，
若y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣；
若y2=2x+2=1，解得：x=﹣。
由图象可得出：当x=＞0，此时对应y1=M。
∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），
∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，
∴M=1时，x=或x=﹣。∴此判断正确。
因此正确的有：③④。故选D。
7．（2013 淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（－2，4）在抛物线上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】二次函数综合题，旋转问题，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转的性质。
【分析】∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线上，∴，解得：a=1
∴抛物线解析式为y=x2。
∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），∴OB=OD=2。
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD∥x轴。
∴点D和点P的纵坐标均为2。∴令y=2，得2=x2，解得：x=。
∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：（，2）。故选C。
8．（2013 湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是【 】
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A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】C。
【考点】网格问题，二次函数综合题，平移问题，勾股定理，分类思想的应用。
【分析】根据在OB上的两个交点之间的距离为，根据勾股定理可知两交点的横坐标的差为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解：
如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，
然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，
∴一共有7条抛物线。
同理可得开口向上的抛物线也有7条。
∴满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14。故选C。
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9．（2010 丽水）如图，四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】由实际问题列函数关系式，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=900，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE。∴∠BAC=∠DAE。
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°，∴△ABC≌△ADE（AAS）。
∴BC=DE，AC=AE。
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a， CF=AC－AF=AC－DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
，即，解得：。
∴。故选C。
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10．（2014 河北）某种正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为【 】
A、6厘米 B、12厘米 C、24厘米 D、36厘米
【答案】A．
【考点】1.由实际问题列函数关系式；2.待定系数法的应用；3.正方形的性质；4.解一元二次方程.
【分析】∵正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，边长为x厘米，∴可设.
∵当x=3时，y=18，∴. ∴.
∴当成本为72元时，有（负数不符合题意，舍去）.
∴当成本为72元时，边长为6厘米.
故选A．
二、填空题（共10小题，每题2分）
11．（2013 崇左）崇左市政 ( http: / / www.21cnjy.com )府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 ▲ 千米．
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【答案】4。
【考点】二次函数的应用。
【分析】∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标。
∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4）。
∴喷水的最大高度为4千米。
12．（2013 山西）如图是我省某地 ( http: / / www.21cnjy.com )一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为 ▲ m.
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【答案】48。
【考点】二次函数的应用，平面直角坐标系的建立，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】如图，以点C为原点建立平面直角坐标系，
依题意，得B（18，－9），
设抛物线解析式为：，将B点坐标代入，得。
∴抛物线解析式为：。
依题意，得D、E点纵坐标为y＝－16，代入，得
，解得：x＝±24。
∴D点横坐标为－24，E点横坐标为24。∴DE的长为48m。
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13．（2013 衢州）某果园有1 ( http: / / www.21cnjy.com )00棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种 ▲ 棵橘子树，橘子总个数最多．
【答案】10。
【考点】二次函数的应用，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。
【分析】∵果园增种x棵橙子树，∴果园共有（x+100）棵橙子树。
∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，
∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结（600﹣5x）个橙子。
∵果园橙子的总产量为y，
∴。
∴当x=10（棵）时，橘子总个数最多。
14．（2013 潜江、仙桃、天门、江汉油田）2013年5月26日，2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系，则羽毛球飞出的水平距离为 ▲ 米．
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【答案】5。
【考点】二次函数的应用。
【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可：
当y=0时，，
解得：x1=﹣1，x2=5。
∴羽毛球飞出的水平距离为5米。
15．（2014 菏泽）如图，平行于x轴的直线AC分别交函数与的图象于B、C两点，过点c作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则
▲ ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】.
【考点】1.二次函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系．
【分析】设A点坐标为（0，a），利用 ( http: / / www.21cnjy.com )两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解：
设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2=a，解得x=，∴点B（，a）.
，则x=，∴点C（，a）.
∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为.
∴y1=. ∴点D的坐标为（，3a）.
∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a. ∴. ∴x=. ∴点E的坐标为（，3a）.
∴DE=. ∴．
16．（2014 沈阳）某种商品每件进 ( http: / / www.21cnjy.com )价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为 ▲ 元．
【答案】25.
【考点】二次函数的应用.
【分析】设利润为w元，
则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，
∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25.
17．（2014 咸宁） ( http: / / www.21cnjy.com )科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
温度t/℃ ﹣4 ﹣2 0 1 4
植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为
▲ ℃．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】﹣1．
【考点】1．二次函数的应用；2．待定系数法的应用；3．曲线上点的坐标与方程的关系．
【分析】首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式，再利用二次函数最值公式求法得出即可：
设l与t之间的函数关系为（a≠0），
选（0，49），（1，46），（4，25）代入后得方程组，解得：．
∴l与t之间的函数关系为
当时，l有最大值50，即最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．
18．（2014 潜江、仙桃、天门 ( http: / / www.21cnjy.com )、江汉油田）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 ▲ 米．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】．
【考点】二次函数的应用．
【分析】如答图，建立平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，将A点坐标（﹣2，0）代入得，a=﹣0.5，
抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的 ( http: / / www.21cnjy.com )观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
∴把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=．
∴水面宽度增加到米．
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19．（2014 绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ▲ ．
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【答案】.
【考点】1.二次函数的应用；2.平移的性质．
【分析】根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位.
原抛物线的顶点为（6，4），根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为（，4），即选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是.
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20．（2014 安徽）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ▲ .
【答案】a (1＋x)2.
【考点】由实际问题列函数关系式（增长率问题）.
【分析】∵一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴二月份新产品的研发资金为a(1＋x)元，三月份新产品的研发资金为a (1＋x) (1＋x)＝a (1＋x)2元.
∴三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= a (1＋x)2.
三、解答题（共6小题，每题10分）
21．（2014 泰州）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．
（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】解：（1）由图可得出：经过（0，1000），
∴，解得：m=100.
∴.
当x=40时，，
∵yA=kx+b，经过（0，1000），（40，200），∴，解得：.
∴yA=﹣20x+1000；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，120=﹣20x+1000，解得：x=44，
当x=44时，（℃），
∴B组材料的温度是164℃.
（3）当0＜x＜40时，，
∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．
【考点】1.二次函数和一次函数的应用；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.二次函数最值.
【分析】（1）首先根据在点在曲线 上，点的坐标满足方程的关系，求出yB函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出yA函数关系式.
（2）首先将y=120代入求出x的值，进而代入yB求出答案.
（3）得出yA﹣yB的函数关系式，化为顶点式求出最值即可．
22．（2014 武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件） x＋40 90
每天销量（件） 200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.
【答案】解：（1）当1≤x＜50时，，
当50≤x≤90时，，
综上所述：.
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=-2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
（3）当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．
【考点】1.二次函数和一次函数的应用（销售问题）；2.由实际问题列函数关系式；3. 二次函数和一次函数的性质；4.分类思想的应用．
【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案.
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案.
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
23．（2014 舟山）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克／百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数(k＞0)刻画(如图所示)．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为多少
②当＝5时，y＝45．求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班 请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】解：（1）①当时，，
∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克／百毫升.
②∵当时，，且（5，45）在反比例函数(k＞0)图象上，
∴把（5，45）代入得，解得.
（2）把代入反比例函数得.
∴喝完酒经过11.25时（即11：20时）为早上7：20.
∴第二天早上7：20以后才可以驾驶，7：00时不能驾车去上班.
【考点】1.二次函数和反比例函数综合应用（实际问题）；2.曲线上点的坐标与方程的关系.
【分析】（1）①根据二次函数的最值求解即可.
②根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（5，45）代入即可求得k的值．
（2）求出时（即酒精含量等于20毫克／百毫升）对应的x值（所需时间），推出结论．
24．（2014 成都）在美化校 ( http: / / www.21cnjy.com )园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.
（1）若花园的面积为192m2, 求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】解：（1）∵AB=xm，∴BC=.
根据题意，得，解得或.
∴x的值为12m或16m.
（2）∵根据题意，得，∴.
∵，∴当时，S随x的增大而增大.
∴当时，花园面积S最大，最大值为.
【考点】1.方程的应用（几何问题）；2.二次函数的应用（实际问题）；3.不等式的应用.
【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解. 本题等量关系为：矩形的面积为192.
（2）由在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，求出x的取值范围，根据二次的性质求解即可.
25．（2014 青岛）某企业设计 ( http: / / www.21cnjy.com )了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的 ( http: / / www.21cnjy.com )销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
【答案】解：（1）∵y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y（元）与x（元）之间的函数关系式为y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500．
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90．
∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
【考点】1．二次函数的应用；2．由实际实际问题列函数关系式；3．二次函数的性质；4．方程和不等式的应用．
【分析】（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方关系．
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式，利用二次函数图象的性质进行解答．
（3）把y=4000代入函数解 ( http: / / www.21cnjy.com )析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．
26．（2014 常州）某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：
x（元/件） 38 36 34 32 30 28 26
t（件） 4 8 12 16 20 24 28
（1）试求t与x之间的函数关系式；
（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下， ( http: / / www.21cnjy.com )每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价-每件服装的进货价）
【答案】解：（1）设t与x之间的函数关系式为：t=kx+b，
∵其经过（38，4）和（36，8）两点，
∴ ，解得：．
∴.
∵将其他各点代入，均符合，
∴t与x之间的函数关系式为．
（2）设每天的毛利润为w元，每件服装销售的毛利润为元，每天售出件，
则，
∴x=30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元．
【考点】1.一次函数和二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为t=kx+b，将x=38，y=4；x=36，y=8分别代入求出k、b，即可得到t与x之间的函数关系式.
（2）根据利润=（售价-成本）×销售 ( http: / / www.21cnjy.com )量列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求出小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大值以及每天的最大毛利润是多少．
