河北省邯郸市永年区第二中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）

永年区第二中学2023-2024学年第一学期12月月考试卷
高一数学（人教版）试题
内容与范围：必修一第一章第五章第二节 考试时间：120分钟满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一题是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数，则（ ）
A. B. C.3 D.
3.函数（，）的图像恒过定点（ ）
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5.若：，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
6.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（）的概率为.以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（ ）（参考数据：，）
A.2.9 B.3.2 C.3.8 D.3.9
7.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8.意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得2分，选错得0分.
9.某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，.下列说法正确的有（ ）
A.的零点在区间内 B.的零点在区间内
C.精确到0.1的近似值为1.4 D.精确到0.1的近似值为1.5
10.下列说法正确的是（ ）
A.化成弧度是
B.化成角度是
C.若角，则角为第二象限角
D.若一扇形的圆心角为30°，半径为，则扇形面积为
11.给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A.函数的最小值为
B.已知函数（，且）在上是减函数，则的取值范围是
C.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于轴对称
D.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
12.给出定义：若（），则称为离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（ ）
A.函数的定义域为，值域为
B.函数的图象关于直线（）对称
C.函数是偶函数
D.函数在上单调递增
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知角的终边经过点（），则______.
14.计算：______.
15.已知，，且，则的最小值是______.
16.已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是______.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题10分）设全集，函数的定义域为集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（本题12分）已知，且为第三象限角.
（1）求的值：
（2）求，的值.
19.（本题12分）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示燕子的耗氧量.
（1）试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
20.（本题12分）若函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域；
（3）求函数的值域.
21.（本题12分）已知幂函数在定义域内单调递增.
（1）求的解析式；
（2）求关于的不等式的解集.
22.（本题12分）已知函数.
（1）写出函数的定义域并判断其奇偶性；
（2）若，求实数的取值范围.
（3）若存在使得不等式成立，求实数的最大值.
永年区第二中学2023—2024学年第一学期12月月考
高一数学（人教版）参考答案
内容与范围：必修一第一章～第五章第二节 考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C【详解】.故选：C
2. C【详解】，所以，所以，故选：C.
3. D【详解】对于函数（，），令，解得，
所以，即函数（，）恒过点.故选：D.
4. B【详解】因为，，，故，故选：B.
5. D【详解】因为，即，因此等价于，解得或，结合选项可知成立的一个充分不必要条件是，故选：D.
6. C【详解】依题意一个数的首位数字是1的概率为，一个数的首位数字是5的概率为，所求的比为
.故选：C.
7. A【详解】对于函数，有，解得且，
所以，函数的定义域为，
因为，函数为奇函数，排除CD选项，
当时，，则，排除B选项.故选：A.
8. D【详解】由题意可知：的定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
又因为，且在上为减函数，
由复合函数的单调性可知：在上为增函数，
因为，所以，
所以，解得：或，
所以实数的取值范围为，故选：D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得2分，选错得0分.
9. BC【详解】是增函数，因为，，
所以零点在内，所以A错误，B正确，
又1.4375和1.40625精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误.故选：BC
10. BC【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，∵，故角为第二象限角，C对：
对于D选项，∵，故扇形的面积为，D错.
故选：BC
11. AD【详解】对于A：令，则，
因为是减函数，所以，
即函数的最小值为，即选项A正确；
对于B：函数在上是减函数，
所以，解得，即选项B错误；
对于C：因为，
所以与的图象关于轴对称，即选项C错误；
对于D：因为与互为反函数，
所以它们的图象关于直线对称，即选项D正确.
故选：AD.
12.ABC【详解】根据的定义知函数的定义域为，，
即，所以，函数的值域为，A正确；
函数的图象如图所示，由图可知的图象关于直线（）对称，B正确；
由图象知函数是偶函数，C正确；
由图象知D不正确.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【详解】∵角的终边经过点（），
∴，，，
∴.
故答案为：.
14. 9【详解】原式.
故答案为：9
15. 9.【详解】因为，所以，
则（当且仅当时，等号成立）.故答案为：9
16.【详解】因为且，所以当时，函数只能单调递减，
所以函数在上单调递减，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）（1）；（2）或.
【详解】由可得，所以，
由指数不等式可得，
（1）当时，，所以；
（2）因为或，，
所以或，
所以实数的取值范围为或.
18.（12分）（1）；（2），.
【解析】（1）将化为即可求出；
（2）由，即可求出.
【详解】（1）∵，
∴；
（2）∵，即.
∵，即，
∵为第三象限角，∴，.
19.（12分）（1）10；（2）.
【详解】解：（1）由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，
代入题目所给公式可得，解得，
即燕子静止时的耗氧量为10个单位.
（2）将耗氧量代入公式得，
即当一只燕子粍氧量为80个单位时，它的飞行速度为.
20.（12分）（1）；（2）；（3）.
【详解】试题分析：（1）由奇函数定义可得，即可求参；
（2）由，即可得定义域；
（3）由或即可得值域.
试题解析：
函数.
（1）由奇函数的定义，可得，
即，∴.
（2）∵，∴，即.
∴函数的定义域为..
（3）∵，∴，∴或.
∴或.
即函数的值域为.
21.（12分）（1）；（2）
【详解】（1）幂函数在定义域内单调递增，
故，解得或，
当时，在上单调递减，在上单调递增，不满足；
当时，在上单调递增，满足；故..
（2）在上单调递增，，
故，解得或，即.
22.（12分）（1）定义域为，偶函数；（2）；（3）.
【详解】（1）解：由函数有意义，
则满足，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上偶函数.
（2）解：由函数，
可得，
又由，可得，
解得，即实数的取值范围为.
（3）解：若存在使得不等式成立，即，
由，其中，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
可得，
所以，即，
所以实数的最大值为.