南充高中高2023级高一上学期第二次月考
数 学 试 题
（时间：120分钟 总分：150分 ）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项）.
已知{|x是4与6的公倍数}，，则（ ）
A. P Q B. PQ= C. P=Q D. Q P
已知，则下列选项错误的是（ ）
A. B. C. D.
存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部；命题的否定是（ ）
A. 有的三角形的垂心在其内部. B. 任意三角形的垂心在其内部.
C. 有的三角形的垂心在其内部或边上. D. 任意三角形的垂心在其内部或边上.
已知是幂函数，满足，则（ ）
A. 3 B. 27 C. 81 D. 243
函数的大致图象为（ ）
A B C D
已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
酒驾是严重危害交通安全的违法行为. 为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液
中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车. 假设某驾驶
员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2（单位：mg/mL）. 停止喝酒以后，他
血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶
（）.（ ）
A. 12 B. 6 C. 7 D. 8
已知函数()，在区间上单调递增，则实数b的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.
9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，且正实数a,b满足，则下列结论可能成立的
是（ ）
A. B. 的最小值为0
C. D. 的最小值为
12. 已知函数，函数，其中，若函数恰
有两个零点，则函数的零点可以是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
设常数且, 函数，若反函数的图象经过点，则
= .
函数的图象与平行线有且仅有三个交点，则实数的
取值范围是 .
已知函数，任意给定一个非零常数t, 均有，试写出
一个满足条件的解析式 .
16. 已知是函数的零点，则= .
三、解答题（本题共6小题，共计70分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤.）
（满分10分）
已知集合，.
（1）若，则是的什么条件？
（2）若，求实数的取值范围.
（满分12分）
（1）已知，求的值；
（2）方程的两根分别为，求的值.
（满分12分）
已知，集合.
（1）若 ，求的取值范围；
（2）若A中含有无穷多个元素，且函数在区间内恰有一个零点，
求实数t的取值范围.
（满分12分）
已知函数，满足.
（1）求a的值，证明：函数在区间单调递增；
（2）解关于x的不等式.
（满分12分）
假设某学习小组对家庭每月用水的收费提供了如下两种模型：
模型一：若用水量不超过基本月用水量a，则只付基本费 8 元和损耗费c元(c<5)；若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按b元/进行付费.
模型二：用函数模型（其中k, m, n为常数，且）来模拟说明每月支付费用 y(元)关于月用水量x()的函数关系.
已知该市某家庭 1—3 月的用水量x分别为 9，15和 21，支付的费用y分别为9元，19 元和 31 元.
（1）写出模型一中每月支付费用 y(元)关于月用水量x()的函数解析式；
（2）写出模型二中每月支付费用 y(元)关于月用水量x()的函数解析式，并分析说明学习
小组提供的模型哪个更合理？
（满分12分）
若是奇函数.
（1）求的值；
（2）记函数，求函数的单调递减区间（不需要证明）；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.南充高中高 2023 级高一上学期第二次月考
数学试题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D D B A B C A BD AC ABCD AD
二、填空题
1
13. 14. （1,2） 15. g(x)填一个奇函数即可，定义域不做要求 16. 1
2
x x x
15题：g(x) ax b , g(x) e e e a
x e2 x
, g(x) a 2 x 等均是正确答案，g(x) a 错误. 1 e 1 e 2 x 1
2 2 2 2 8. 任取 x1, x2 (0, )，x1 x2， f (x2 ) f (x1) x2 x1 (x2 x1) x2 x
2
x2 x
1 x 1 1x2
(x x x（x x ) 1 2 2 x1） 2
2 1 .
x1x2
x , x (0,1) f (x ) f (x ) (x x ) x1x2 x2 x1 2 当 1 2 时， 2 1 2 1 0，函数 f (x)单调递减；
x1x2
当 x1, x2 (1， )时， f (x2 ) f (x
x1x2 x2 x1 2
1) (x2 x1) 0，函数 f (x)单调递增；
x1x2
又 f (x)在区间[b, )上单调递增，所以b 1 .
11. 解 当a 1,b 1时， f (a) f (b) log4 a log4 b log4 ab 1，ab 4 .A正确
当0 a 1,0 b 1时， f (a) f (b) log4 a log4 b log4 ab 1， ab
1
.
4
(4a 1)(b 1) 4ab 4a b 1 2 (4a b) 2 2 4ab 0 ,当且仅当 4a b时，等号成立. B 错
误.
当a 1,0 b 1时， f (a) f (b) log4 a log4 b log
a 1 a4 ， 4，a 4b . C正确.b b
2
当0 a 1,b 1 b 4a a2 1 b a2 a a 1 1 1 1 时， , 2，当 a 时， a b有最小值
4 2 4 2 4
1
为 .D正确. 此时 (4a 1)(b 1) (4a 1)(4a 1) 0，成立，即 B正确.
4
综上所述，选 ABCD
{#{QQABJYAEggCgAhBAABgCEQWqCkMQkAGACCoGgEAMsAABwAFABAA=}#}
2 x 2 x 0 f (2 x) 2 | 2 x |
x 0 x 2
12. 解 当 时， ， ；
4 x x 2
当2 x 2时， x 0， f (2 x) (2 2 x)2 x2。
x2 x 0
f (2 x) x 0 x 2，所以 f (2 x)的大致图象为
4 x x 2
当 b=0时， g(x) b f (2 x)有零点 0, 4；
当 b=2时， g(x) b f (2 x)有零点 2 ，2；
答案：选 AD
另解 函数图象的平移与对称变换也可作图
1 1
16解 令 f (x 10 ) e
x0 x 20 ln x
x
0 0， e 0 x0 ln x0 ln x e
ln x0
0 ，易知 x0 1x0
1
令 g(x) xex ，则 g( 1 ) g(ln x0 )，又 g(x)在 (0, )
1
上单调递增, ln x e x所以 ， 00 x ，所x 00 x0
1
x
以 e 0 ln x0 =1.
三、解答题
17. 2解 由题知 x 5x 4 0，即 x2 5x 4 0，解得1 x 4，
所以 A x |1 x 4 ； ...................................(3分)
由a 2知， B x | 2 x 4 ，所以 x B是 x A既不充分也不必要条件； ........(5分)
（2）因为 A 1 a 4x |1 x 4 ， A B (1,a 2]，所以 ， ..................................(8分)
a 2 4
解得 2 a 4，所以实数 a的取值范围为[2,4] . ...................................(10分)
18. 解 由 log x y1 log x y2 log x y3 3知 y x
3 3
1 1，y2 x2 ，y3 x
3
3 ， ............(2分)1 2 3
所以 log x x x y1y2 y3 log x x x x 31x2x3 3； ...................................(5分)1 2 3 1 2 3
2 3 2 4x 2x 2 1 3 2x 4 2x（ ） 1 0， ................................(7分)
2x1，2x2 是方程3 t2 4 t 1 0 x x 4 x x 1的两根，由根与系数的关系知，2 1 2 2 ，2 1 2 2 ，...(9分)
3 3
{#{QQABJYAEggCgAhBAABgCEQWqCkMQkAGACCoGgEAMsAABwAFABAA=}#}
4 2 2 1x 1 x2 2 x1 2 x2 x1
2x x 2x x 2 2 2 2 2 2
x2 2 2 2x1 2x2 10
1 2 2 1 x x x x x x
3 3
1 ... ........(12分)2 2 2 1 2 22 1 2 1 2 2 3
3
3 4x 2x 2 1 3 4x另解 4 2x 1 2x 1 3 2x 1 0，
解得 x1 0, x2 log2 3， ...................................(9分)
1
2x x 2x x 2log 3
log
2 2 1 10所以 1 2 2 1 2 3 3 .... ........(12分)
3 3
19. 解 A ， (1 ab)x 1 b无解，所以ab 1，且b 1， ................................(2分)
b2 a2 b2 a2
a b 2 a 2 b 4ab 4， ................................(4分)
a b a b
2 2
因为 ab 1，且b 1 b a，所以 a b 的取值范围为 4, . ...................(5分)
a b
（2）A中含有无穷多个元素，所以 ab 1，且b 1，即 a b 1 . ...................(6分)
2
函数 f (x) tx 4x 1 2在区间 ( a,b)内恰有一个零点,即 tx 4x 1 0有唯一解.
当 t 0时， 4x 1 0， x 1 成立. ...................(8分)
4
t
t 0 1
当 0时, , t 4 2 解得 ，由 4x 4x 1 0，解得 x ,成立..........(9分)
16 4t 0 2
t 0
当 t 0 时, 16 4t 0 ,解得 3 t 5 . ...................(10分)
f ( 1) f (1) 0
1
特别地，当 t 3 f (x) tx2时， 4x 1的零点为 满足；
3
当 t 5 2时， f (x) tx 4x 1 1的零点为 满足；
5
综上所述，实数 t的取值范围为 3，5 { 4} . ...................(12分)
20. f (x 1) a 3x 3 x , f (1 x) a 3 x 3x解 ，由 f (1 x) f (1 x)，解得 a=1....(2分)
任取 x1, x2 [1, ), x1 x2 ，则 f (x )
1
1 3
x1 1 x 1 , f (x
1
2 ) 3
x2 1
3 1 3x2 1
，
x1 1 x2 1
f (x x 1 1 11 x2 1 x1 1 x 1 3 3 121) f (x2 ) 3 x 1 3 x 1 3 3 x 1 x 1 ， ...................(4分)3 1 3 2 3 1 3 2
{#{QQABJYAEggCgAhBAABgCEQWqCkMQkAGACCoGgEAMsAABwAFABAA=}#}
由 x1, x2 [1, ), x1 x2 知， f (x1) f (x2 ) 0，即 f (x1) f (x2 )，所以函数 f (x)在区间[1, )
单调递增. ...................(6分)
（2）解 由 f (1 x) f (1 x)知， f (x) 2的图象关于 x=1对称，由 f (x 2) f (3)，知
1 x2 2 3， ...................(9分)
1 x2 5，所以 x的取值范围为[ 5, 1] [1, 5]。 ...................(12分)
t x2 t 1另解 2, t 2，则3 31 t 82 t 1 1 82，即3 t 1 ， ...................(8分)9 3 9
1 t 1
解得 3 9，所以 2 t 1 2 1 x2 2，即 2 3，即1 x 5，所以 x的取值范围为
9
[ 5, 1] [1, 5]。 ...................(12分)
9 (15 a)b 19 a 10
21. 解 (1) 由题知，8+c=9，c=1. ，解得 ，所以每月支付费用 y(元)关
9 (21 a)b 31 b 2
3 9 0 x 10
于月用水量 x(m )的函数解析式 y . ...................(5分)
2x 11 x 10
k m9 9 n 9 (*)
(2) 15 9由题知， k m n 19 (**) , ...................(6分)
k m21 9 n 31 (***)
12
由 (**) (*)得 k(m6 1) 10，由由 (***) (**)得 k(m12 m 1 11 1) 12 6，所以 6 m 1 ，解m 1 5
1
m6 6 m 6
6
得 ，所以 ， ...................(8分)5 5
x 9
6 6 6
代入 k(m 1) 10，解得 k=50，又 k+n=9，所以 n 41 ,所以 y 50 41， x 0 . ....(10分)
5
模型一与生活中的实际情况更接近（言之有理即可）. ....(12分)
建议从以下三方面考虑：
原因一：惠民政策，生活中，比如：打车，交税，交气费等都是与模型一接近，百姓缴费少；
1 x 9
6 6 6 6
原因二：指数爆炸，由m >1 y 50 知， 41关于x是快速增长，但模型一在 (10, )
5 5
上匀速增长，更符合实际意义;
{#{QQABJYAEggCgAhBAABgCEQWqCkMQkAGACCoGgEAMsAABwAFABAA=}#}
3 3 3
5 2y 50 5
2 41 5 2
原因三：用水量少，当 x=0时， 41 ， ,即 y 50 41<0，不符合
6 6 50 6
实际意义.
1
22. 解 由 f (x) ln a b在 x 1处无意义，则 f (x)在 x 1处也无意
x 1
1
义.a 0 ,解得 a 1 ， ...................(2分)
1 1 2
f (x) ln 1 1 b ln
x 1 b x 1 ln
b ln 2 .
2 x 1 2(x 1) x 1
g(x) ln x 1 令 ，则 x ( , 1) (1, )，都有 x ( , 1) (1, )，满足
x 1
g(x) g( x) ln x 1 x 1 ln 0， g(x)是奇函数，又 f (x)是奇函数，
x 1 x 1
所以b ln 2 ....................(4分)
ax 1 a ax 1 a
另解 f (x) ln b， f ( x) ln b，
x 1 x 1
f ( x) f (x) ln (1 a)
2 a2x2 (1 a)2 a2
2 2b 0，解得 ，解得a
1
，b ln 2 ......(4分)
1 x 2b ln a
2 0 2
（2）由（1）知， g(x) x 1 ln .
x 1
x 1 2
当 x (1, )时， g(x) ln ln 1 单调递减; ...................(6分)
x 1 x 1
当 x ( , 1) g(x) ln x 1 时， ln 1
2
单调递减; ...................(7分)
x 1 x 1
当 x ( 1,1) x 1 2 时， g(x) ln ln 1 单调递增; ...................(8分)
x 1 x 1
x
f (e x ) ln e 1 ln e
x 1 x
（3） x x ，其中 x (
e 1
,0) ,所以 ln x x m
e 1 1 e 1 e
ex 1 xx m e 1 m x x
，即 x e e ，所以 x x e ，令 t e 1, t (1,2),e t 1，所以1 e e (1 e )
{#{QQABJYAEggCgAhBAABgCEQWqCkMQkAGACCoGgEAMsAABwAFABAA=}#}
em t t 1 2 2 恒成立， ...................(10分)(t 1)(2 t) t 2t 3 t 3
t
1 1 2
由 t (1,2)知， 2 ，当且仅当 t ，即 t 2 时，等号成立.
t 3 3 2 2 t
t
em 1 3 2 2 ，所以m ln(3 2 2) 2 ln( 2 1) .综上，m的取值范围为
3 2 2
( ,2 ln( 2 1)] . ..................(12分)
{#{QQABJYAEggCgAhBAABgCEQWqCkMQkAGACCoGgEAMsAABwAFABAA=}#}
