浙江省丽水市三校联考2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

2023学年第一学期高一年级12月三校联考
数学学科 试题卷
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．设命题，，则的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程的根所在区间是（ ）
A． B． C． D．
5．若，，则“，”的充分不必要条件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
6．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A． B． C．2021 D．0
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
10．若，，则下列选项成立的是（ ）
A． B．若，则
C．的最小值为1 D．若，则
11．已知函数，则下列四个结论中不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间内有4个零点
D．函数在区间上单调递增
12．已知函数，的零点分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．__________．
14．幂函数在上为减函数，则实数的值为__________．
15．已知角的终边经过点，则__________．
16．已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则__________，__________．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）（1）已知是方程的根，，求的值；
（2）已知，，且，，求和的值．
18．（本题满分12分）已知，命题，命题：函数在上存在零点．
（1）若是真命题，求的取值范围；
（2）若，中有一个为真命题，另一个为假命题，求的取值范围．
19．（本题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求在上的取值范围；
（2）求的函数关系式；
（3）设，若对于任意，都存在，使得，求正数的取值范围．
20．（本题满分12分）塑料袋对环境的危害——“白色污染”，这种污染问题的罪魁祸首正在人们在大肆使用的塑料袋．如今，食品包装袋、茶叶包装袋、化工包装袋、蒸煮袋、农药袋、种子袋等几乎都是塑料袋．塑料包装袋大行其道，塑料袋已经融入了现代人们的日常生活，可以说塑料袋使用已经是“无孔不入”了．某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，为初始量，为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍．（参考数据：，）
（1）塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？
（2）为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年）
21．（本题满分12分）已知函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数且．
（1）若对任意的正实数、都有，求最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
22．（本题满分12分）设函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数，若不等式对任意的恒成立．求实数的取值范围；
（3）设，当为何值时，关于的方程有2个实根．
2023学年第一学期高一年级12月三校联考
数学学科参考答案
一、选择题：
1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C
5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】A
因为为偶函数，所以，所以，
所以且不恒为0，所以，．
又因为，所以，所以，所以，
又因为，
所以．
二、多选题
9．【答案】BC
10．【答案】ABD
【详解】A选项：因为，时等号成立，所以，A正确；
B选项：因为，所以，
解得或（舍去），
所以，当时等号成立，B正确；
C选项：，
因为无实数解，所以等号不成立，C错误；
D选项：因为，所以不等式，
即，因为，所以不等式成立，
当且仅当，时，等号成立，D正确．
11．【答案】ABD
12．【答案】BC
三、填空题：
13．【答案】原式．
14．【答案】0 15．【答案】
16．【答案】①0 ②
【详解】的定义域为，
又函数是奇函数，所以定义域关于对称，
从而，即．当时，
，．故；
，不等式组等价于，
因为其解集为，是开区间，所以函数在不单调，所以；
又，所以，因此，是的两个正根，即，
所以，解得，
又因为，所以，
即，解得或（舍）．故答案为：0；．
四、解答题：
17．【解析】（1）由得：，，
，，
，，
；
（2）由得：①；
由得：②；
得：，
，解得：，
又，或，
当时，，
，又，；
当时，，
，又，；
综上所述：或．
18．【小问1详解】因为真命题，所以成立，解得；
【小问2详解】若为真命题，则函数在上存在零点，
则方程在上有解，
因为，该方程在有解时两解同号，所以方程在上有两个正根，
则，得，
若为真命题，为假命题，得，
若为假命题，为真命题，得，
所以的取值范围为或．
19．【小问1详解】因为的对称轴为，所以函数在单调递减，
在单调递增，因为，所以在上的值域为；
【小问2详解】因为是定义在上的奇函数，所以；
设，则，所以；
又因为是定义在上的奇函数，所以，
所以
【小问3详解】因为，所以，所以，
当时，，因为在上递增，所以在上递增，
所以，所以，
所以，所以，当时，，
因为在上递减，在上递增，
此时，因为，，所以，
所以不符合题意，综上，．
20．【详解】（1）由题可知，所以，
所以，，所以残留量为初始量的，大约需要207年；
（2）根据题意当时，，，解得，
所以，若残留量不足初始量的，
则，，
两边取常用对数，，所以至少需要27年．
21．【小问1详解】解：因为函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数且，
则，即，
所以，，解得，
因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
由可得，
则，所以，，
又因为、均为正实数，
所以，，
且仅当时，即当时，等号成立，故有最小值9．
【小问2详解】
解：定义域为，且函数为偶函数，
当时，令，则，
因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由，因为，则，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，解得，因此，实数的取值范围是．
22．【详解】（1）由函数是定义域在上的偶函数，则对于，都有，
即，即对于，都有，得．
（2）结合（1）可得，
则，
令，由在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，得，
则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立，
所以即可，
又，
由对勾函数的性质可得当时，取得最小值4，
所以的最小值为4，即，
所以实数的取值范围为．
（3）令，，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值2，
所以，则，令，则，
由图象可得，当时，关于的方程有1个解；
当时，关于的方程有2个解，
则原问题转化为关于的方程的根的个数，
令，则表示开口向上的抛物线，
又，
当时，则，又的对称轴，
所以有唯一解，且，即其关于的方程有2个解；
当时，有两不等实根，，
因为的对称轴，且，
所以有1个正数解，即关于的方程有2个解；
当时，当，即时，有一个正数解，此时关于的方程有2个解；
综上所述，当或时，方程有2个根．