炎德英才·名校联考联合体 2023 年秋季高二年级第二次联考数学（B）卷（含解析）

炎德英才·名校联考联合体 2023 年秋季高二年级第二次联考数学（B）卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知函数为奇函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
5.敲击如图所示的音叉时，在一定时间内，音叉上一点离开平衡位置的位移与时间的函数关系为图是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，若新几何体的高为，则圆柱的体积为
A. B. C. D.
7.已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体各面都是全等的正多边形数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体如图，已知一个正八面体的棱长为，为棱的中点，，设直线与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，则下列不等式正确的是
A. B. C. D.
10.为了解各种的使用情况，将使用人数排名前的数据整理得到如下的柱状图，则
( )
A. 使用人数最多的是微信
B. 微信的使用人数超过今日头条的使用人数的倍
C. 微信的使用人数超过今日头条与快手的使用人数之和
D. 抖音的使用人数大于快手的使用人数的
11.对于数列，若，，则下列说法正确的是
( )
A. B. 数列是等差数列
C. 数列是等差数列 D.
12.已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，是双曲线的一条渐近线上的一点，是椭圆的对称中心，点，分别为，上的动点，，位于轴的同侧，且不在轴上，则
( )
A.
B.
C. 当为与的交点时，
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，且，则________．
14.等比数列的前项和为，若，则________．
15.已知直线：，直线过点且与直线相互垂直，圆：，若直线与圆交于，两点，则________．
16.如图，在棱长为的正方体中，在线段上，且，是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知数列的前项和为，，且，．
求数列的通项公式；
若求数列的前项和．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若是边上一点，且，设边上的高为，求．
20.本小题分
如图，四边形是正方形，平面，，，为的中点，为的外心．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，圆与轴交于点，点．
证明：在轴上存在异于点的定点，使得对于圆上任一点，都有为定值
点为圆上位于轴上方的任一点，过中的点作垂直于轴的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，求证：点在椭圆上运动．
22.本小题分
已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小．
求抛物线的准线方程
若过点的直线与抛物线交于，两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得若存在，求出直线的方程若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数模的运算，主要考查了复数模的运算性质的理解与应用，属于基础题．
利用复数模的运算性质求解即可．
【解答】解：因为，
所以 ．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，属于基础题．
先化简集合，求出，最后由补集概念求解运算即可．
【解答】解：因为，
又，
所以，
则
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题．
利用奇函数性质代入数据计算得到答案．
【解答】
解：因为函数 为奇函数，且当 时， ，
所以．
故选C．
4.【答案】
【解析】【解析】因为，，，所以，解得，故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
由函数图象求出和周期，再求的值．
【解答】
解：由图可知，设的最小正周期为，
则，解得，
则，解得．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查圆柱的侧面积公式，属于基础题．
由已知可得新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，进而可计算圆柱的体积．
【解答】
解： 显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，
设圆柱的底面半径为，高为，则，则，
因为新几何体的高为，所以圆柱的高为，即，解得，
所以圆柱的体积为．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知椭圆的焦点在轴，不妨设，，
因为点在椭圆上，
所以，解得，取，
又为等腰直角三角形，所以，
即，即，所以，
解得或舍．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正八面体的结构特点，向量数量积的运算，属于中档题．
根据正八面体的性质得到 ，，然后利用线性运算和数量积的运算律计算即可．
【解答】
解：由题意，，，
又由正八面体的棱长都是，且各个面都是等边三角解，
在中，由，，可得，所以，
所以
，
所以，所以，则．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，属于基础题．
根据不等式的性质分别判断即可．
【解答】
解：对于项，因为，，所以，故A错误
对于项，因为，，满足，此时，故B错误
对于项，因为，所以，又，所以，故C正确
对于项，由得，所以，故D正确．
故选CD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查条形统计图，属于中档题．
根据条形统计图中的数据信息，逐项计算判断即可．
【解答】
解：对于项，使用人数最多的是微信，故A正确
对于项，微信的使用人数占格，今日头条的使用人数占近格，
所以微信的使用人数小于今日头条的使用人数的倍，故B错误
对于项，微信的使用人数占格，今日头条的使用人数占近格，快手的使用人数占格，
所以微信的使用人数小于今日头条与快手的使用人数之和，故C错误
对于项，抖音的使用人数占格多，快手的使用人数占格，则快手的使用人数的等
于格，所以抖音的使用人数大于快手的使用人数的故D正确．
故选AD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的递推式，重点考查了等差数列通项公式的求法，属基础题．
由数列的递推式结合等差数列通项公式的求法逐一判断即可得解．
【解答】
解：由，，
得，，故A正确
又，，
两式相减得，
令，，可得，
所以不是等差数列，是等差数列，故B错误，C正确
同理，令，，则，
所以是以为首项，公差为的等差数列，
所以，故D错误．
故选AC．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的标准方程、双曲线的简单几何性质、椭圆和双曲线的定义、余弦定理，考查了学生的运算能力，是难题
结合椭圆的标准方程、双曲线的简单几何性质、椭圆和双曲线的定义、余弦定理对各选项分析即可得答案．
【解答】
解：双曲线的焦点为，，
则，解得，故A正确
双曲线的渐近线方程为，
如图，设与点位于轴的同侧是双曲线的另一条渐近线上的一点，
则，因为，所以，故B正确
当为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，
，，解得，，
又，在中，由余弦定理得，故C正确
设，，则，则由余弦定理得
，
由，得，得，得，得
，得，得，即
，所以故D错误．
故选ABC．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量平行的性质和向量的模，属于基础题．
由向量平行的坐标运算，得到 ，再利用模的坐标公式求 ．
【解答】
解：已知向量 ，， ，
， ，解得 ，
， ．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是等比数列的通项公式以及等比数列的前项和公式，属于基础题．
由求出公比，再由等比数列的通项公式求值即可．
【解答】
解：设等比数列的公比为，首项为，且，
若，则，与题设矛盾，所以
则，解得，
所以．
15.【答案】
【解析】【分析】本题考查两直线的垂直，圆的一般方程化为标准方程，直线与圆的相交弦长，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
依题意，设与直线垂直的直线为，代入点，求得得直线方程，化圆的方程为标准方程，得圆心、半径，由点到直线的距离求得圆心到直线的距离，由相交弦长求解．
【解答】
解：依题意，设与直线： 垂直的直线为，
直线过点，
，即，
直线为：，
化简得，又由圆，
即，可得圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以弦长．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间线段的长度，考查面面平行的判定，属于一般题．
作图，通过求证平面平面，得到在线段上，求出和，即可得到线段的最大值．
【解答】
解：如图，在线段上取一点，使得，在线段上取一点，使得，连接，，，
因为，所以，，
又，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理，因为平面，平面，所以平面，
又，，平面，
所以平面平面，因此，在线段上．
因为，，
所以线段的最大值为．
17.【答案】解：设的公比为，由的各项均为正数知，
因为，，成等差数列，
所以，
又，所以，
化简得，
解得或舍去，
故的通项公式为．
由知
，
设的前项和为，则．
【解析】本题考查了等比数列的通项公式、等差数列的性质以及裂项相消法求和，是基础题．
由，，成等差数列，得，可得公比，可得的通项公式；
由知，由裂项相消求和可得数列的前项和．
18.【答案】解：由，得，
所以数列为等差数列，
设数列的公差为，
由得解得
所以．
当为奇数时，；
当为偶数时，，
所以
．
【解析】本题考查等差数列的判定、通项公式和数列求和，属于一般题．
判断出数列为等差数列，求出首项和公差，即可得通项公式
分为奇数和偶数讨论，求出，利用分组转化求和即可．
19.【答案】解：因为，
所以，
又，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
又，所以，所以．
又，所以．
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以．
即，整理得．
在中，由余弦定理得，
则，所以
所以，即
所以，即，解得，则．
【解析】本题考查了余弦定理、正弦定理，考查了三角恒等变换，是中档题．
利用正弦定理，三角恒等变换可求得故可得
在中，由余弦定理得和在中，由余弦定理得，故可求得，结合可得结合面积公式可得答案．
20.【答案】解：因为，为的中点，
所以，
又，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
连接，如图所示，
同理，易证四边形是平行四边形，所以，
又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，．
又平面，平面，所以平面．
又，，平面，所以平面平面．
因为四边形是正方形，平面，，为的中点，
所以，，两两互相垂直，且，
所以由勾股定理可知，则三棱锥是正三棱锥，
那么的外心就是的中心，也是在底面上的射影，即的垂心，．
所以平面，
所以平面；
以为原点，，，分别为，，轴正方向建立如右图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，
则点，，，，
则，．
设平面的法向量为，则
由得
令，得平面的一个法向量为，
又易知平面的一个法向量为
设平面与平面夹角大小为，则
，
由图可知，平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】本题重点考查线面平行的判定、外心和垂心的性质和平面与平面的夹角，属于一般题．
通过求证的外心就是的中心，也是在底面上的垂心，即可求证平面；
建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
21.【答案】解：由题意，得，，
曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线斜率为，
又，，
曲线在点处的切线方程为，即
令，得令，得，
则切线与坐标轴的交点分别为，，
切线与坐标轴围成的三角形的面积为
曲线在点处的切线方程为，即，
令，得令，得，则切线与坐标轴的交点分别为，，
切线与坐标轴围成的三角形的面积为
由题意，，所以或；
设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，
又，，
则曲线在点处的切线为，即，
曲线在点处的切线为，即，
则则
所以，解得，或
当时，直线
当时，直线
故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或．
【解析】略
22.【答案】【解析】因为抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小于，且，
所以抛物线上一点到焦点的距离等于它到直线的距离，
所以，解得，
故抛物线Ⅳ的方程是，抛物线的准线方程为．
由题意得，且斜率一定存在，设，，，
由消去可得，，
则，．
设中点为，如图，
则，
解得，即．
当时，易知，，不符合题意
当时，设，
因为垂直平分，所以的斜率为，
易知，因此有
因为为的中点，所以，
由题意，，即，，
两边平方整理可得，解得，
故存在直线使得，且直线的方程为或．
【解析】略
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