2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区南环实验中学校八年级上学期期中数学试卷（含解析）

2022~2023学年江苏省苏州市姑苏区南环实验中学校八年级上学期期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.的算术平方根是( )
A. B. C. D.
3.一个正方形的面积是，估计它的边长大小在( )
A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间
4.如图，在中，，的垂直平分线交于点若，则的度数是
( )
A. B. C. D.
5.如图，矩形中，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点在数轴上表示的数为
( )
A. B. C. D.
6.如图，在四边形中，，分别以，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，那么下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
7.如图，中，，，的中垂线交的延长线于，交于，已知．的长为
( )
A. B. C. D.
8.如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点到点的最小距离为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.的立方根是 ．
10.若一直角三角形两直角边长分别为和，则斜边长为 ．
11.在中，，当 时，是等腰三角形．
12.如图，是的角平分线，，，则到的距离是 ．
13.如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是 ．
14.如图，中，，平分，，，则的长是 ．
15.如图，在锐角中，，和分别垂直平分边、，则的度数为
16.如图，在四边形中，，点是的中点．若，，则 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算：
18.求下列各式中的．
；
．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知与互为相反数，求的算术平方根．
20.本小题分
如图，在中，，是中点，，垂足为若，求 的度数．
21.本小题分
如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为个单位．
过直线作四边形的对称图形；
直接写出四边形的面积为 ．
22.本小题分
小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住，小川家住两家相距公里，小渝家在一条笔直的公路边上，小川家到这条公路的距离为公里，两人相约在公路处见面，且两家到见面地点的距离相等，求小渝家到见面地点的距离．
23.本小题分
如图，在中，是高，是中线，垂直平分，连接．
求证：；
若，求的度数．
24.本小题分
为了积极宣传防疫，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路的一侧点处，小明家到公路的距离为米，假使广播车周围米以内能听到广播宣传，广播车以米分的速度在公路上沿方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能斪到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．
25.本小题分
如图，，是上的一点，且，．
求证：；
若是线段的中点，连接、求证：．
26.本小题分
已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
求边的长；
当为直角三角形时，求的值；
当为轴对称图形时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的知识，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】的算术平方根是．
故选B．
本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：一个正方形的面积是
该正方形的边长为

故选：．
4.【答案】
【解析】解： 的垂直平分线交 于点，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据等腰三角形的性质可得答案．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：矩形 中， ， ，
， ，
，
，
点表示，
点表示的数为：
故选：．
首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．
此题主要考查了勾股定理和数轴的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
6.【答案】
【解析】解：连接，
由勾股定理得，，
甲的面积乙的面积丙的面积丁的面积，
故选：．
连接，根据勾股定理可得甲的面积乙的面积丙的面积丁的面积，依此即可求解．
本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明个正方形的面积之间的关系．
7.【答案】
【解析】解：在 中， ， ，
， ，
，
是 的中垂线，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
故选B．
先根据含度角的直角三角形的性质得到 ，再根据 是 的中垂线，得到 ，进而得到 ， ，则 ，利用勾股定理求出 ，即可利用勾股定理求出 ．
本题主要考查了勾股定理，含度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知含度角的直角三角形中度角所对的边的长是斜边长的一半是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，连接，，
，，
，即为的中点，
在 中，
，
在 中， ，
，
当、、三点共线时，最小，最小值为．
故选：
过点作于点，连接，，根据等腰三角形的性质，可得 ，再由勾股定理，可得，然后根据直角三角形的性质，可得，得到当、、三点共线时，最小，即可求解．
本题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于，则这个数为的立方根，
可知的立方根为．
故答案为：．
直接利用立方根的定义求解．
本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于，则这个数为的立方根，
10.【答案】
【解析】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，
故斜边长 ，
故答案为：．
已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
本题考查勾股定理，正确的运用勾股定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：是等腰三角形，，
．
故答案为．
直接根据等腰三角形的两底角相等进行解答即可．
12.【答案】
【解析】解：作于，
是的角平分线，，，
，
故答案为：．
作于，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解： 在 中， ， ，
，
，
，
．
故答案为：．
根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：过点作 于，
在 中， ，，，
，
平分 ，
，
，
即 ，解得，
，
故答案为：．
首先先过点作的垂线段，根据勾股定理把求出，然后根据角平分线的性质定理得出，再根据 的面积等于 的面积加上 的面积，求出，即可求出的长度．
本题考查了勾股定理和角平分线的性质定理，正确作出辅助线，根据面积相等求出是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接、，
，
，
和分别垂直平分边、，
，，
，，，
，
，
故答案为：．
连接、，根据三角形内角和定理得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，，进而得到，，，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，是对角线的中点，
，
，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
根据中点的性质、直角三角形的性质求出 ，从而可得．
此题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是根据中点的性质、直角三角形的性质得出 ．
17.【答案】【小题】
解：原式
；
【小题】
解：原式
．

【解析】 根据实数的混合运算法则求解即可；
根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18.【答案】【小题】
解： ，
，
或 ；
【小题】
解： ，
，
，
．

【解析】 根据平方根的定义求解；
根据立方根的定义求解．
本题考查了平方根，立方根，注意：一个正数的平方根有个，不要漏解．
19.【答案】解： 与 互为相反数，
，
，解得： ，
，
的算术平方根是．

【解析】利用相反数性质，以及非负数的性质求出与的值，即可确定出所求．
此题考查了解二元一次方程组，算术平方根，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：，为的中点，
，
，
，
，
．

【解析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到平分，然后求得的度数，从而求得答案．
本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质．
21.【答案】【小题】
解：如图：
【小题】

【解析】 先作出四边形各个顶点关于直线的对称点，再顺次连接起来，即可；
解： ．
四边形对角线的乘积，即可求解．
本题主要考查画轴对称图形以及四边形的面积，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键．
22.【答案】解：由题意得： 公里， 公里， ， ，
公里，
设 公里，则 公里，
在 中， ，即 ，
解得 公里，
答：小渝家 到见面地点 的距离为 公里．

【解析】先利用勾股定理求出 的长，设 公里，从而可得 的长，再在 中，利用勾股定理即可得．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
23.【答案】【小题】
证明：垂直平分，
，
是高，是中线，
是的斜边上的中线，
，
；
【小题】
，
，
，
，
．

【解析】 根据线段垂直平分线的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，等量代换即可得证；
根据等边对等角以及三角形外角的性质可得，然后根据可求的度数．
24.【答案】解：小明能听到广播宣传，
理由：因为村庄 到公路 的距离 米 米，
所以小明能听到广播宣传．
如图，假设当宣讲车行驶到 点开始小明能听到广播，行驶到 点之后小明听不到广播，
则 米， 米，
所以 米，
所以 米，
所以小明听到广播的时间为： 分钟，
所以他总共能听到 分钟的广播宣传．

【解析】根据小明到公路的距离为米米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到米，求得米，于是得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
25.【答案】【小题】
证明：，

在和中，，
≌

，
．
，
；
【小题】
连接
由可知是直角三角形，，．
是线段的中点，
．
．
．
在与中，
，，，
≌
．

【解析】 因为，根据等腰三角形的判定，，根据直角三角形全等的判定可证得 ，所以 ，根据直角三角形的性质， 得到 ，所以 问题得解；
连接，由可知是直角三角形，，，根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质，可证得，根据全等三角形的判定证得≌，最后根据全等三角形的性质问题得证．
26.【答案】【小题】
解：在 中， ， ， ，
．
【小题】
由题意可得：，，
当时，易知点与点重合，
，
即；
当时，如下图所示：
．
，
，
解得： ．
综上：当 为直角三角形时，或 ；
【小题】
当 为轴对称图形时，必是等腰三角形．
当时，如下图所示：
，
，
即．
当时，如下图所示：
；
当时，如下图所示：
则，，
在中， ，
即 ，
解得： ．
综上：当 为轴对称图形时，或或 ．

【解析】 利用勾股定理即可求出结论；
由题意可得：，，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；
当 为轴对称图形时，必是等腰三角形，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．
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