2022~2023学年江苏省苏州市太仓市第一中学八年级上学期月考数学试卷(12月)（含解析）

2022~2023学年江苏省苏州市太仓市第一中学八年级上学期月考数学试卷(12月)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在实数，，，，，中，无理数有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知点在第三象限内，点到轴的距离是，到轴的距离是，那么点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为
( )
A. B. C. D.
4.若，，，则，，的大小关系为
( )
A. B. C. D.
5.已知一次函数为常数，若图象过原点，则( )
A. B. C. D.
6.如图，网格中每个小正方形的边长均为，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为
( )
A. B. C. D.
7.如图，在矩形中，动点从点出发，沿着方向移动至停止，设移动路程为，面积为，那么与的关系如图，下列说法不正确的是( )
A. 当时， B. 矩形周长
C. 当时， D. 当时，
8.如图，在中，，，，为边上一动点不与、重合，于，于，为中点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.如图，等边的顶点，，规定把等边“先沿轴翻折，再向左平移个单位”为一次变换，这样连续经过次变换后，顶点的坐标为
( )
A. B.
C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，且，、是该直线上的两个动点，且，连接、，则周长的最小值为
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知点在第二象限，则实数的取值范围是 ．
12.如图，“”形纸片由八个边长为的小正方形组成，过点切一刀，刀痕是线段，若下方部分的面积是纸片面积的一半，则的长为 ．
13.如图，已知中，，垂足为．为的角平分线，若，，且的面积为，则点到的距离为 ．
14.已知一直线平行于直线，且与直线的交点在轴上，则这条直线的解析式 ．
15.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ．
16.如图，在中，，，，点为上一点，沿折痕将折叠，且点恰好落在边上点处，则的长为 ．
17.在平面直角坐标系中，，，，点在轴上，且与的面积相等，则点的坐标为 ．
18.如图，已知直线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，且，点为轴的正半轴上一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接，若，则点的坐标为 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知与成正比例，当时，．
求出与的函数关系式；
设点在这个函数的图象上，求的值．
试判断点是否在此函数图像上，说明理由．
20.本小题分
一次函数的图象经过点和．
求该一次函数的表达式；
若该函数图象与轴交于，与轴交于，若点为轴上一点，且，求点的坐标．
21.本小题分
在中，、边的垂直平分线分别交边于点、．
如图，若是等边三角形，则 ；
如图，若，求证：
如图，的平分线和边的垂直平分线相交于点，过点作垂直的延长线于点若，，求的长．
22.本小题分
如图，在四边形中，，将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到．
求证：；
若，，试求四边形的对角线的长．
23.本小题分
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
如图，铁路上、两点看作直线上的 两点相距千米，、为两个村庄看作两个点，，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为 米．
在的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并求出的距离．
【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式其中最小值为 ．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，动点从原点出发，沿着轴正方向移动，是以为斜边的等腰直角三角形点、、顺时针方向排列，当点与原点重合时，得到等腰直角此时点与点重合．
；当时，点的坐标是 ；
设动点的坐标为．
点在移动过程中，的顶点在射线上吗？请说明理由；
用含的 代数式表示点的坐标为： ， ；
分别过点、作轴、轴的平行线，两条平行线交于点，是否存在这样的，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的坐标，若不存在，请说明理由．
25.本小题分
如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别与轴、轴交于点、，动点的坐标为．
求直线的函数表达式；
连接，若直线将的 面积分成的两部分，求此时点的坐标．
若连接、，将沿着直线翻折，使得点翻折后的对应点落在第四象限，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解：
无理数有 ， ，共个．
故选：
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数，点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度解答即可．
【详解】解：点在第三象限内，点到轴的距离是，到轴的距离是，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故选：．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键，也是最容易出错的地方．
3.【答案】
【解析】根据关于轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：点 关于 轴对称的点的坐标为 ，
故选：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化轴对称，关键是掌握关于轴对称的点的坐标的变化规律．
4.【答案】
【解析】根据无理数的估算进行大小比较．
【详解】解： ，
又 ，

故选：．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，求一个数的立方根及无理数的估算，理解相关概念是解题关键．
5.【答案】
【解析】把代入一次函数求出的值，再根据一次函数的定义求出的取值范围，进而可得出结论．
【详解】一次函数为常数的图象过原点，
，解得．
此函数是一次函数，
，解得，
．
故选D．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】连接 ，由勾股定理求出 ，即可得出 的长．
【详解】解：如图，连接 ，则 ，
由勾股定理可得， 中， ，
又 ，
，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】根据图可知：，，然后根据三角形的周长和面积公式求解即可．
【详解】时，的值不变，等底等高的三角形面积相等，
，，
时， ，故A选项正确，不符合题意，
矩形的周长是，故B选项正确，不符合题意，
当时， ，
时，，故C选项正确，不符合题意，
当点在上时， ，
解得： ，
当点在上时， ，
解得： ，故D选项错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据图求出矩形的长和宽是解题的关键．
8.【答案】
【解析】首先证明四边形是矩形，因为是的中点，推出延长经过点，推出，可得 ，求出的最小值可得的最小值，又由 ，即可求出的取值范围．
【详解】连接
在中
，
于，于
四边形是矩形
是的中点
延长经过点
，
当时，
的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形边长的最值问题，掌握勾股定理、矩形的性质、直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】先求出点坐标，第一次变换，根据轴对称判断出点变换后在轴下方然后求出点纵坐标，再根据平移的距离求出点变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点坐标，同理可以求出第二次变换后点坐标，以此类推可求出第次变化后点坐标．
【详解】是等边三角形
点到轴的距离为 ，横坐标为
，
由题意可得：第次变换后点的坐标变为， ，即， ，
第次变换后点的坐标变为， ，即，
第次变换后点的坐标变为， ，即，
第次变换后点的坐标变为， 为奇数或， 为偶数，
连续经过次变换后，等边 的 顶点 的坐标为， ，
故选：．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换即翻折和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键．
10.【答案】
【解析】解：如图作点关于直线的对称点，作 且 ，连接交于点，连接，，
四边形为平行四边形，
， ，
，
在 中， ，即 ，
当点到点的位置时，即当、、三点共线， 取得最小值，
， ，
设 ，则 ，
，
解得： ，
即： ， ，
，
解得： ，
，
，
，
，
，
，
在 中，
，
即： ，
，
故选：．
【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形， 角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．
11.【答案】
【解析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：点在第二象限，
，
解不等式得，，
解不等式得， ，
所以，不等式组的解集是 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
12.【答案】
【解析】设，由面积关系列方程，再由得：：，得到，联立求出，，再根据勾股定理即可求解．
【详解】设，
“”形面积为，下方的面积为

再由得∽，
：：，即 ，
整理，得
联立得 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，正方形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟知网格的特点构造相似三角形求解．
13.【答案】
【解析】如图，过点作于，先根据勾股定理计算的长，由三角形面积公式可得的长，最后根据角平分线的性质可得结论．
【详解】如图，过点作于，
，
，
由勾股定理得： ，
，且，且的面积为，
，
，
，
为的角平分线，，，
，即点到的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是本题的关键．
14.【答案】
【解析】根据两个一次函数的图象平行，则一次项系数一定相等即可求出一次函数的解析式．
【详解】解：直线与直线平行，
根据两个一次函数的图象平行，则一次项系数一定相等
，
又与直线的交点在轴上，，解得交点坐标为，
直线过点，代入
即：，则．
函数的解析式为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的特点及两直线平行未知数系数的特点解答，难度一般．
15.【答案】
【解析】根据平移的规律得到平移后直线的解析式为 ，然后把原点的坐标代入求值即可．
【详解】解：将一次函数的图象向下平移个单位后，得到 ，
把代入，得到：，
解得．
故答案为：．
【点睛】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】根据题意补全 见解析，先利用勾股定理可得 ，再根据折叠的性质可得 ，设 ，则 ，然后在 中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意补全 如下：
， ， ，
，
由折叠的性质得： ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即 ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题关键．
17.【答案】 或
【解析】过点作 轴， 轴，垂足分别为、，然后依据 求出 ，设点的坐标为 ，于是得到 ，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点作 轴， 轴，垂足分别为、，
则
，
设点的坐标为 ，则 ，
与 的面积相等，
，
解得： 或 ，
点的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得 的面积是解题的关键．
18.【答案】 ，
【解析】如图，过点作，使得，连接，证明≌，推出 ，在中， ，再求出，可得结论．
【详解】解：如图，过点作，使得，连接，．
，
，
，，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中， ，
，
，．
【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题本大题小题，计
19.【答案】【小题】
解：根据题意，可设，
当时，，

解得：，
，即；，
与的函数关系式为
【小题】
将点代入得：
，
解得：
【小题】
当时， ，
则点不在此函数的图象上．

【解析】 可设，将、值代入求出值即可求解
将点代入中函数关系式中求解即可
根据一次函数图象上定的坐标特征进行判断即可．
20.【答案】【小题】
解：一次函数的图象经过点和，
，
解得： ，
该一次函数的表达式为．
【小题】
当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为．
设点的坐标为，
则有 ，
解得：或．
点的坐标为或．

【解析】 根据两点的坐标，利用待定系数法即可求出该一次函数的表达式
根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，设点的坐标为，利用三角形的面积公式结合可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
21.【答案】【小题】
【小题】
如图，连接、，
，
，
又点在的垂直平分线上，
，
，
又点在的垂直平分线上，
，
，
，
，
；
；
【小题】
如图，连接、，过点作于点，
平分，，，
，
点在的垂直平分线上，
，
在和中，
，
≌
，
平分，，，
，，
在和中，
≌，
，
，
．

【解析】 先求出，再利用垂直平分线求出，同理求出，最后利用三角形内角和定理即可得出结论
解：如图，设、边的垂直平分线分别交、于，，
是等边三角形，
，
是的垂直平分线，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
故答案为；
先判断出，进而求出，即可得出结论
先判断出≌，进而判断出≌，即可得出结论．
22.【答案】【小题】
如图，设与的交点为点，与的交点为点，
旋转
，
又，
，
，
，
【小题】
如图，连接，
旋转
，，
，

．

【解析】 由旋转的性质可得，，即可得，根据直角三角形的性质可得
由旋转的性质可得，，，由勾股定理可求的长．
23.【答案】【小题】
【小题】
解：如图，连接 ，作 的垂直平分线交 于，点即为所求，
设 千米，则 千米，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
解得 ，
即 的距离为千米
【小题】

【解析】 连接 ，作 于点，根据 ， 得到 ， ，由平行线间的距离处处相等可得 千米， 千米，求出 ，然后利用勾股定理求得两地之间的距离
解：如图，连接 ，作 于点，
， ，
， ，
千米， 千米，
千米，
千米，
即两个村庄的距离为千米，
故答案为：
连接 ，作 的垂直平分线交 于，根据线段垂直平分线的性质可得 ，点即为所求；设 千米，则 千米，分别在 和 中，利用勾股定理表示出 和 ，然后根据 建立方程，解方程即可

如图， ， ， ， ， ，设 ，
则 ，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．
解：如图， ， ， ， ， ，设 ，
则 ，
作点关于 的对称点，连接 ，过点作 于，则 是 的最小值，即代数式 的最小值，
， ， ，
代数式 最小值为： ，
故答案为：．
24.【答案】【小题】
【小题】
由可知：四边形是正方形， ，如图所示，
， ，
平分 ，
，
平分 ，
点在射线上；
由可知： ，
，
，
故答案为
【小题】
如图，过点作平行于轴的直线交过点作平行于轴的直线于点，连接，
由可知：四边形是正方形， ，点 ， ，
由可知： ，
点 ，
，
根据勾股定理可得：
，
，
当 时，
即 ，
化简可得： ，
解得： 或 题中已给，舍去，
，
故点 ；
当 时，
即 ，
化简可得： ，
，
方程无解，
故这种情况不存在；
当 时，
即 ，
化简可得： ，
解得： 或 舍去，
，
故点 ；
综上可得：点 或 ．

【解析】 作轴于，于，根据全等三角形的判定及性质可得： ， ， ，再依据正方形的判定及性质即可得出结果；
解：作轴于，于．
是 等腰直角三角形， ，
，
，
，
，四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
四边形是正方形，
，
故答案为 ，

利用角平分线的判定定理证明平分 即可；
由可知： ，即可得出点的坐标
过点作平行于轴的直线交过点作平行于轴的直线于点，连接，由结论可知： ，可得 ，根据点坐标及勾股定理确定、长度，然后分三种情况讨论三角形为等腰三角形，得出一元二次方程求解即可得．
25.【答案】【小题】
解：设直线的函数表达式为，把点、代入得
，
解得 ，
直线 的 函数表达式为
【小题】
直线将的面积分成的两部分，设直线交轴于点，
若，则直线经过，设直线的解析式为，把点，代入，得
，
解得 ，
直线的解析式为，
把代入，得
，
解得 ，
，
点的坐标为 ， ；
若，则直线经过，设直线的解析式为，把点，代入，得
，
解得 ，
直线的解析式为，
把代入，得
，
解得 ，
，
点的坐标为 ， ，
综上所述，点的坐标为 ， ， ，
【小题】
令，，则，
点在定直线上运动，联立 ，
解得 ，
将沿着直线翻折，使得点翻折后的对应点落在第四象限，
，
点、，
，，
，
当为外角的角平分线时，点关于的对称点坐标为，
此时过线段的中点，设线段的中点为点，则点的坐标为 ，即点，
设的解析式为，把点、代入得
，
解得 ，
的解析式为，
联立 ，
解得 ，
，
综上所述，的取值范围 ．

【解析】 设直线的函数表达式为，把点、代入得到二元一次方程组，解之求得，的值，即可得到直线的函数表达式
由题意知直线将的面积分成的两部分，设直线交轴于点，若，则直线经过，设直线的解析式为，把点，代入即可求出直线的解析式，再把代入即可求出的值，从而得到点的坐标；若，则直线经过，设直线的解析式为，把点，代入即可求出直线的解析式，再把代入即可求出的值，从而得到点的坐标．
令，，则，点在定直线上运动，根据将沿着直线翻折，使得点翻折后的对应点落在第四象限，可知点在与直线交点坐标与为外角的角平分线时和直线的交点坐标之间移动，求得两个交点坐标即可得出答案．
第1页，共1页