2022-2023学年江苏省苏州市太仓市四校联考八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年江苏省苏州市太仓市四校联考八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 781.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-23 12:07:50 | ||
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文档简介
2022~2023学年江苏省苏州市太仓市四校联考八年级上学期月考数学试卷(10月)
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列手机屏幕解锁图形案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是
( )
A. B. C. D.
3.如图，在正方形网格内每个小正方形的边长为，有一格点三角形三个顶点分别在正方形的格点上，现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，这样的三角形可以构造出
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积
( )
A. B. C. D.
5.如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为
( )
A. B. C. D.
6.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若，则下列关于、、的说法正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，长方形中，，，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8.如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论；；；，其中正确的有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.黑板上写着，在正对着黑板的镜子里看到的数字是 ．
10.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
11.已知中，，，边上的高则边的长为 ．
12.在中，三边长分别用、、表示，已知、，则 ．
13.如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，则的度数为 ．
14.如图，其中的和是由分别沿着直线，折叠得到的，与相交于点，若，则
15.如图在中，为中点，，，交于，，，则的 长为 ．
16.如图，纸片的直角边落在直线上，，，，平面内一点到直线的距离为，纸片沿直线左右移动，则的最小值是 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
如图，中，．
试求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且到、两边的距离也相等尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
在的条件下，若，求的度数．
18.本小题分
如图，是的角平分线，、分别是和的高．
试说明垂直平分；
若，，，求的长．
19.本小题分
有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的 垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 ．
20.本小题分
如图，中，是高，是中线，点是的中点，，点为垂足．
求证：；
请探究与的关系．
21.本小题分
如图所示，是等腰三角形，，点，，分别在，，边上，且，．
求证：是等腰三角形；
猜想：当满足什么条件时，是等边三角形？并说明理由．
22.本小题分
勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的 发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形中，，于点，且≌．
求证：．
23.本小题分
我们数学八年级上册书本第页作业题中有这样一道题：把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由．
小明在做此题时发现有多种剪法，图为其中一种方法示意图．
定义：如果我们把条线段将一个三角形分成个等腰三角形，我们把这种分法叫做这个三角形的等分线图．
显然，如图所示的剪法是这个三角形的等分线图．
如图，为等腰直角三角形，请你画出一个这个的等分线的示意图．
请你探究：如图，边长为的正三角形是否具有等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出所有符合条件的这个正三角形的等分线图若两种方法分得的三角形分别成对全等三角形，则视为一种．
24.本小题分
已知：在中，是边的高，为的角平分线，且．为的中线，延长到点使得连接．交于点．交于点．
求证：；
若求证：．
25.本小题分
如图，，是射线上一点且动点从点出发，以的速度沿水平向左匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上匀速运动．连接，以为斜边作等腰直角三角形设、两点运动时间为，其中．
___ __；
连接，判断的形状，并说明理由；
是否存在实数，使得线段的长度最小？若存在，求出的值及的最小值；若不存在，说明理由．
26.本小题分
阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，如图，怎样证明呢？
分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处，即，据以上操作，易证明≌，所以，又因为，所以．
感悟与应用：
如图，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并说明理由；
如图
，在 四边形中，平分，，，，( )
求证：；
求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，掌握基本概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用 ，答案可得．
【详解】解：作图的步骤：
以为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点、；
任意作一点 ，作射线 ，以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；
以 为圆心， 长为半径画弧，交前弧于点 ；
过点 作射线 ．
所以 就是与 相等的角；
作图完毕．
在 与 ，
，
，
，
显然运用的判定方法是 ．
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】和全等，那么必然有一边等于，有一边等于 ，又一角等于据此找点即可，注意还需要有一条公共边．
【详解】分三种情况找点，
公共边是，符合条件的是；
公共边是，符合条件的是；
公共边是，符合条件的三角形有、、
共有个格点三角形与原三角形全等．
故选：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定以及格点三角形的定义，利用数形结合与分类讨论是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】延长交于点，根据题意，通过判定 ，因为 和 同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出 ．
【详解】解：延长交于点，如图所示，
，
，
，
是 的角平分线，
，
在 和 中，
，
，
，
，
和 同底等高，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．
5.【答案】
【解析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得，然后列式求解即可．
【详解】如图，过点作于，
是的角平分线，，
，
在和中，
≌，
和的面积分别为为和，
的面积
故选：．
【点睛】考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
6.【答案】
【解析】根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出 ， ，再根据三个正方形面积公式列式相加： ，求出 的值，从而可以计算结论即可．
【详解】解： 八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出 是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质得出答案即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
当点在线段上时，
≌ ，
，
，
，
、 、三点共线，
，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，如下图，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
，
，
综上所知， 或，
故选：．
【点睛】本题考查翻折的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、掌握翻折的性质、分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】根据与互余，与互余，利用同角的余角相等即可判断；过作于点，过作于点，利用字型全等，易证≌，从而判断；同理可证≌，可得，再证≌，即可判断；最后根据，结合全等三角形即可判断．
【详解】为边上的高，
，
故正确；
如图所示，过作于点，过作，交的延长线于点，
为等腰直角三角形
在与中，
，，
≌
显然与不全等，
故错误；
同理可证≌
，
又≌
在和中，
，，
≌
故正确；
≌，≌，≌
，
故正确；
正确的有共个．
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握字型全等，作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】
【解析】根据轴对称图形的性质，进行解答即可．
【详解】解：根据镜面对称的性质，因此的真实图象应该是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．
10.【答案】
【解析】如图，利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应角相等可得 ，然后求出 ， 再判断出 ，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，
在 和 中，
，
，
，
，
，
又 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．
11.【答案】或
【解析】根据题意， 可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，边上高 ，
如图所示，当 为锐角三角形时，
在 中 ， ，由勾股定理得：
，
，
在 中 ， ，由勾股定理得：
，
，
的长为： ；
如图所示：当 为钝角三角形时，
在 中 ， ，由勾股定理得：
，
，
在 中 ， ，由勾股定理得：
，
，
的长为： ；
综上可得：的长为：或．
故答案为：或．
【点睛】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是 解题关键．
12.【答案】或
【解析】试题分析：当、为直角边时，则 ，当为斜边时，则 ．
考点：直角三角形
13.【答案】
【解析】由翻折的性质 垂直平分 ，于是得到 ，故此 为等边三角形，由 为等边三角形可知 ，在 中可求得 ，故此可求得 ．
【详解】解： 垂直平分 ，
．
由翻折的性质可知：
．
是一个等边三角形．
．
．
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得 是一个等边三角形是解题的关键．
14.【答案】
【解析】根据折叠的性质可得 ，根据三角形内角和以及，可得 ，进而可得 ，根据三角形的外角性质即可求得 ．
【详解】 和是由分别沿着直线，折叠得到的，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，求得 是解题的关键．
15.【答案】
【解析】根据角平分线的性质得到，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据题意列式计算即可．
【详解】解：连接，过点作交的延长线于点，如图所示：
为中点，，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得出是解题的关键．
16.【答案】
【解析】过点做直接平行直线，作点关于直线的对称点，当、、共线时， 最小，即可求得．
【详解】过点做直接平行直线，作点关于直线的对称点
当、、共线时， 最小
根据勾股定理得
的最小值是
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键．
17.【答案】【小题】
解：如图，
【小题】
如图，
是的中垂线，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
．
【解析】 利用垂直平分线的作法结合角平分线的作法进而得出答案
根据中垂线的性质得出，根据角平分线的性质得出，根据三角形内角和定理推出，进而得到，进而可得的大小．
18.【答案】【小题】解：
平分
，
，
在 和 中，
，
≌
又
≌
是线段 的垂直平分线
【小题】解：
【解析】 根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
根据 可以求得 的长度．
19.【答案】解：在 中，
，
设秋千的绳索长为 ，
则 ，
故 ，
解得： ，
答：绳索的长度是 ．
故答案为： ．
【解析】设秋千的绳索长为 ，根据题意可得 ，利用勾股定理可得 ，再解方程即可得出答案．
20.【答案】【小题】
证明： 是高，
，
是中线，
为 的中点，
，
为 的中点， ，
，
；
【小题】
解：设 ，
，
，
，
，
，
，
【解析】 由直角三角形斜边上的中线的性质与垂直平分线的性质得出 ，则可得出结论；
由等腰三角形的性质及外角的性质可得出结论．
21.【答案】【小题】
证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形
【小题】
当时，是等边三角形，
理由：≌，
，
当时，，
，
则是 等边三角形．
【解析】 首先根据条件证明≌，根据全等三角形的性质可得，进而可得到是等腰三角形
时，是等边三角形，首先根据≌，再证明，可以证出结论．
22.【答案】解：连接，
≌，
，，，，
，
，
，
四边形 ，
又四边形 ，
，
，
，即．
【解析】连接，根据四边形面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．
23.【答案】【小题】
如图 ，取三边的中点 ， ， ，并连接，得 个等腰三角形；
【小题】
如图，取三边的中点 ， ， ，得 个等边三角形；
如图，作 于点 ，取 和 的中点 ， ，连接 ， ，得 和 是等边三角形， 和 是底角为 的等腰三角形；
如图，在 上取点 ，在 上取点 ，使 ， ，再取 的中点 ，连接 ， ，
所以 是等边三角形， 是等腰三角形，
和 是等腰三角形．
【解析】 取三边的中点 ， ， ，并连接，即可画出一个这个 的 等分线的示意图；
如图，取三边的中点 ， ， ，得 个等边三角形；作 于点 ，取 和 的中点 ， ，连接 ， ，得 和 是等边三角形， 和 是底角为 的等腰三角形；如图，在 上取点 ，在 上取点 ，使 ， ，再取 的中点 ，连接 ， ， 是等边三角形， 是等腰三角形， 和 是等腰三角形．
24.【答案】【小题】
证明： ，
，，
又为的中线，
，
在与中，
≌，
，
，
；
【小题】
是边的高，
垂直平分，
，，
又 ，
，，
在与中，
≌，
，
又，
在与中，
≌，
．
【解析】 利用平行线的性质证明≌，得即可；
由是的垂直平分线可知，则通过证明≌，得，从而，再通过证明≌即可得出．
25.【答案】【小题】
【小题】
解： 为等腰直角三角形，理由如下：
为等腰直角三角形，
，，
又，
，
又，
，
由题意可得：，
在 与 中，
≌ ，
，，
，
即：，
，，
为等腰直角三角形；
【小题】
解： 为等腰直角三角形，
，
要使得线段的长度最小，则线段的长度最小即可，
如图，过点作，垂足为点，
当点与点重合时，即可取得最小值，
为等腰直角三角形，，，
，
的最小值为，此时，
此时的最小值，
存在实数，使得线段的长度最小，此时的值为，的最小值为．
【解析】
解：由题意可得：，
，
，
，
故答案为：；
由等腰直角三角形 可得，，再结合，可证得，由此可证得 ≌ ，再根据全等三角形的性质即可证得等腰直角三角形 ；
先根据等腰直角三角形的性质可将求线段的最小值转化为求线段的最小值，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，由此即可求得答案．
26.【答案】【小题】
解：．
理由如下：如图，在 上截取，连接，
平分，
，
又，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【小题】
如图，在上截取，连接，( )
平分，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
；
过点作于点，设，
，
，
在中，，
在中，，
则，
解得：，
即，
则．
【解析】 在上截取，连接，证≌得，，据此，结合知，即可得，进而得出答案；
在上截取，连接，先证≌得，，结合知，据此得，根据可得；
过点作于点，设，由知，，可得关于的方程，解之可得答案．
第1页，共1页
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列手机屏幕解锁图形案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是
( )
A. B. C. D.
3.如图，在正方形网格内每个小正方形的边长为，有一格点三角形三个顶点分别在正方形的格点上，现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，这样的三角形可以构造出
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积
( )
A. B. C. D.
5.如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为
( )
A. B. C. D.
6.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若，则下列关于、、的说法正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，长方形中，，，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8.如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论；；；，其中正确的有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.黑板上写着，在正对着黑板的镜子里看到的数字是 ．
10.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
11.已知中，，，边上的高则边的长为 ．
12.在中，三边长分别用、、表示，已知、，则 ．
13.如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，则的度数为 ．
14.如图，其中的和是由分别沿着直线，折叠得到的，与相交于点，若，则
15.如图在中，为中点，，，交于，，，则的 长为 ．
16.如图，纸片的直角边落在直线上，，，，平面内一点到直线的距离为，纸片沿直线左右移动，则的最小值是 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
如图，中，．
试求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且到、两边的距离也相等尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
在的条件下，若，求的度数．
18.本小题分
如图，是的角平分线，、分别是和的高．
试说明垂直平分；
若，，，求的长．
19.本小题分
有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的 垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 ．
20.本小题分
如图，中，是高，是中线，点是的中点，，点为垂足．
求证：；
请探究与的关系．
21.本小题分
如图所示，是等腰三角形，，点，，分别在，，边上，且，．
求证：是等腰三角形；
猜想：当满足什么条件时，是等边三角形？并说明理由．
22.本小题分
勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的 发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形中，，于点，且≌．
求证：．
23.本小题分
我们数学八年级上册书本第页作业题中有这样一道题：把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由．
小明在做此题时发现有多种剪法，图为其中一种方法示意图．
定义：如果我们把条线段将一个三角形分成个等腰三角形，我们把这种分法叫做这个三角形的等分线图．
显然，如图所示的剪法是这个三角形的等分线图．
如图，为等腰直角三角形，请你画出一个这个的等分线的示意图．
请你探究：如图，边长为的正三角形是否具有等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出所有符合条件的这个正三角形的等分线图若两种方法分得的三角形分别成对全等三角形，则视为一种．
24.本小题分
已知：在中，是边的高，为的角平分线，且．为的中线，延长到点使得连接．交于点．交于点．
求证：；
若求证：．
25.本小题分
如图，，是射线上一点且动点从点出发，以的速度沿水平向左匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上匀速运动．连接，以为斜边作等腰直角三角形设、两点运动时间为，其中．
___ __；
连接，判断的形状，并说明理由；
是否存在实数，使得线段的长度最小？若存在，求出的值及的最小值；若不存在，说明理由．
26.本小题分
阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，如图，怎样证明呢？
分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处，即，据以上操作，易证明≌，所以，又因为，所以．
感悟与应用：
如图，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并说明理由；
如图
，在 四边形中，平分，，，，( )
求证：；
求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，掌握基本概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用 ，答案可得．
【详解】解：作图的步骤：
以为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点、；
任意作一点 ，作射线 ，以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；
以 为圆心， 长为半径画弧，交前弧于点 ；
过点 作射线 ．
所以 就是与 相等的角；
作图完毕．
在 与 ，
，
，
，
显然运用的判定方法是 ．
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】和全等，那么必然有一边等于，有一边等于 ，又一角等于据此找点即可，注意还需要有一条公共边．
【详解】分三种情况找点，
公共边是，符合条件的是；
公共边是，符合条件的是；
公共边是，符合条件的三角形有、、
共有个格点三角形与原三角形全等．
故选：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定以及格点三角形的定义，利用数形结合与分类讨论是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】延长交于点，根据题意，通过判定 ，因为 和 同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出 ．
【详解】解：延长交于点，如图所示，
，
，
，
是 的角平分线，
，
在 和 中，
，
，
，
，
和 同底等高，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．
5.【答案】
【解析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得，然后列式求解即可．
【详解】如图，过点作于，
是的角平分线，，
，
在和中，
≌，
和的面积分别为为和，
的面积
故选：．
【点睛】考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
6.【答案】
【解析】根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出 ， ，再根据三个正方形面积公式列式相加： ，求出 的值，从而可以计算结论即可．
【详解】解： 八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出 是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质得出答案即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
当点在线段上时，
≌ ，
，
，
，
、 、三点共线，
，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，如下图，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
，
，
综上所知， 或，
故选：．
【点睛】本题考查翻折的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、掌握翻折的性质、分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】根据与互余，与互余，利用同角的余角相等即可判断；过作于点，过作于点，利用字型全等，易证≌，从而判断；同理可证≌，可得，再证≌，即可判断；最后根据，结合全等三角形即可判断．
【详解】为边上的高，
，
故正确；
如图所示，过作于点，过作，交的延长线于点，
为等腰直角三角形
在与中，
，，
≌
显然与不全等，
故错误；
同理可证≌
，
又≌
在和中，
，，
≌
故正确；
≌，≌，≌
，
故正确；
正确的有共个．
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握字型全等，作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】
【解析】根据轴对称图形的性质，进行解答即可．
【详解】解：根据镜面对称的性质，因此的真实图象应该是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．
10.【答案】
【解析】如图，利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应角相等可得 ，然后求出 ， 再判断出 ，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，
在 和 中，
，
，
，
，
，
又 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．
11.【答案】或
【解析】根据题意， 可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，边上高 ，
如图所示，当 为锐角三角形时，
在 中 ， ，由勾股定理得：
，
，
在 中 ， ，由勾股定理得：
，
，
的长为： ；
如图所示：当 为钝角三角形时，
在 中 ， ，由勾股定理得：
，
，
在 中 ， ，由勾股定理得：
，
，
的长为： ；
综上可得：的长为：或．
故答案为：或．
【点睛】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是 解题关键．
12.【答案】或
【解析】试题分析：当、为直角边时，则 ，当为斜边时，则 ．
考点：直角三角形
13.【答案】
【解析】由翻折的性质 垂直平分 ，于是得到 ，故此 为等边三角形，由 为等边三角形可知 ，在 中可求得 ，故此可求得 ．
【详解】解： 垂直平分 ，
．
由翻折的性质可知：
．
是一个等边三角形．
．
．
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得 是一个等边三角形是解题的关键．
14.【答案】
【解析】根据折叠的性质可得 ，根据三角形内角和以及，可得 ，进而可得 ，根据三角形的外角性质即可求得 ．
【详解】 和是由分别沿着直线，折叠得到的，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，求得 是解题的关键．
15.【答案】
【解析】根据角平分线的性质得到，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据题意列式计算即可．
【详解】解：连接，过点作交的延长线于点，如图所示：
为中点，，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得出是解题的关键．
16.【答案】
【解析】过点做直接平行直线，作点关于直线的对称点，当、、共线时， 最小，即可求得．
【详解】过点做直接平行直线，作点关于直线的对称点
当、、共线时， 最小
根据勾股定理得
的最小值是
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键．
17.【答案】【小题】
解：如图，
【小题】
如图，
是的中垂线，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
．
【解析】 利用垂直平分线的作法结合角平分线的作法进而得出答案
根据中垂线的性质得出，根据角平分线的性质得出，根据三角形内角和定理推出，进而得到，进而可得的大小．
18.【答案】【小题】解：
平分
，
，
在 和 中，
，
≌
又
≌
是线段 的垂直平分线
【小题】解：
【解析】 根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
根据 可以求得 的长度．
19.【答案】解：在 中，
，
设秋千的绳索长为 ，
则 ，
故 ，
解得： ，
答：绳索的长度是 ．
故答案为： ．
【解析】设秋千的绳索长为 ，根据题意可得 ，利用勾股定理可得 ，再解方程即可得出答案．
20.【答案】【小题】
证明： 是高，
，
是中线，
为 的中点，
，
为 的中点， ，
，
；
【小题】
解：设 ，
，
，
，
，
，
，
【解析】 由直角三角形斜边上的中线的性质与垂直平分线的性质得出 ，则可得出结论；
由等腰三角形的性质及外角的性质可得出结论．
21.【答案】【小题】
证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形
【小题】
当时，是等边三角形，
理由：≌，
，
当时，，
，
则是 等边三角形．
【解析】 首先根据条件证明≌，根据全等三角形的性质可得，进而可得到是等腰三角形
时，是等边三角形，首先根据≌，再证明，可以证出结论．
22.【答案】解：连接，
≌，
，，，，
，
，
，
四边形 ，
又四边形 ，
，
，
，即．
【解析】连接，根据四边形面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．
23.【答案】【小题】
如图 ，取三边的中点 ， ， ，并连接，得 个等腰三角形；
【小题】
如图，取三边的中点 ， ， ，得 个等边三角形；
如图，作 于点 ，取 和 的中点 ， ，连接 ， ，得 和 是等边三角形， 和 是底角为 的等腰三角形；
如图，在 上取点 ，在 上取点 ，使 ， ，再取 的中点 ，连接 ， ，
所以 是等边三角形， 是等腰三角形，
和 是等腰三角形．
【解析】 取三边的中点 ， ， ，并连接，即可画出一个这个 的 等分线的示意图；
如图，取三边的中点 ， ， ，得 个等边三角形；作 于点 ，取 和 的中点 ， ，连接 ， ，得 和 是等边三角形， 和 是底角为 的等腰三角形；如图，在 上取点 ，在 上取点 ，使 ， ，再取 的中点 ，连接 ， ， 是等边三角形， 是等腰三角形， 和 是等腰三角形．
24.【答案】【小题】
证明： ，
，，
又为的中线，
，
在与中，
≌，
，
，
；
【小题】
是边的高，
垂直平分，
，，
又 ，
，，
在与中，
≌，
，
又，
在与中，
≌，
．
【解析】 利用平行线的性质证明≌，得即可；
由是的垂直平分线可知，则通过证明≌，得，从而，再通过证明≌即可得出．
25.【答案】【小题】
【小题】
解： 为等腰直角三角形，理由如下：
为等腰直角三角形，
，，
又，
，
又，
，
由题意可得：，
在 与 中，
≌ ，
，，
，
即：，
，，
为等腰直角三角形；
【小题】
解： 为等腰直角三角形，
，
要使得线段的长度最小，则线段的长度最小即可，
如图，过点作，垂足为点，
当点与点重合时，即可取得最小值，
为等腰直角三角形，，，
，
的最小值为，此时，
此时的最小值，
存在实数，使得线段的长度最小，此时的值为，的最小值为．
【解析】
解：由题意可得：，
，
，
，
故答案为：；
由等腰直角三角形 可得，，再结合，可证得，由此可证得 ≌ ，再根据全等三角形的性质即可证得等腰直角三角形 ；
先根据等腰直角三角形的性质可将求线段的最小值转化为求线段的最小值，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，由此即可求得答案．
26.【答案】【小题】
解：．
理由如下：如图，在 上截取，连接，
平分，
，
又，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【小题】
如图，在上截取，连接，( )
平分，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
；
过点作于点，设，
，
，
在中，，
在中，，
则，
解得：，
即，
则．
【解析】 在上截取，连接，证≌得，，据此，结合知，即可得，进而得出答案；
在上截取，连接，先证≌得，，结合知，据此得，根据可得；
过点作于点，设，由知，，可得关于的方程，解之可得答案．
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