2022-2023学年江苏省苏州市吴江区梅堰中学八年级上学期月考数学试卷(9月)（含解析）

2022~2023学年江苏省苏州市吴江区梅堰中学八年级上学期月考数学试卷(9月)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若一个三角形有两条边相等，且有一内角为，那么这个三角形一定为
( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
3.如图，是上一点，交于点，，若，则的长是
( )
A. B. C. D.
4.如图，点、分别在直线、上，且直线，以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连接，若，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在上，在上，且，则下列条件中，无法判定的是
( )
A. B.
C. D.
6.到三个顶点距离相等的点是的
( )
A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点
7.如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则的面积为
( )
A. B. C. D.
8.如图，为等边内一点，，，，则的度数为
．( )
A. B. C. D.
9.如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是
( )
A. B. C. D.
10.如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在中，，，则的度数为 ．
12.等腰三角形的两条边长分别为，，则等腰三角形的周长为 ．
13.在中，，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，则的长为 ．
14.数轴上表示和的点分别为和，点关于点的对称点为点，则点表示的数是 ．
15.如图，方格纸中是个相同的正方形，婉婷同学在这张方格纸上画了、、三个角，那么 度．
16.如图，于，，，则的度数为
17.如图：，，，若，则等于 ．
18.如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，网格中有一个格点即三角形的顶点都在格点上每个小正方形的边长为．
在图中作出关于直线对称的 要求与，与，与相对应；
在直线上找一点，使得的周长最小；
求的 面积．
20.本小题分
已知：如图，，点、点在上，，求证：．
21.本小题分
如图，在中，，，，分别为，的垂直平分线，，分别为垂足．
求的度数．
若的长为，求的周长．
22.本小题分
如图，等边中，是边的中点，于，
求证：；
求证：．
23.本小题分
如图，中，，，为的平分线，为上的点，，垂足为，．
求证：；
求证：；
求的度数．
24.本小题分
等边中，点在内，点在外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论．
25.本小题分
如图，是的角平分线，、分别是和的高．
试说明垂直平分；
若，，，求的长．
26.本小题分
已知：如图，在四边形中，，、分别是、的中点，试说明：
；
；
当 时，是等腰直角三角形．直接写答案
27.本小题分
如图，中，、的 平分线交于点，过点作交、于、．
如图，若，图中有哪几个等腰三角形猜想：与、之间有怎样的关系，并说明理由．
如图，若中，的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于这时图中还有等腰三角形吗有哪几个与、关系又如何说明你的理由．
28.本小题分
直角三角形中，，直线过点．
当时，如图，分别过点和作直线于点，直线于点，与是否全等，并说明理由；
当，时，如图，点与点关于直线对称，连接，点是上一点，点是上一点，分别过点作直线于点，直线于点，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒，当为等腰直角三角形时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据轴对称的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，逐一进行判断即可．
【详解】、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形求解．
【详解】解：根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为等边三角形．
故选：．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定，属于基础知识．
3.【答案】
【解析】先证明≌，得，然后由求解即可．
【详解】解： ，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】在中，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出的度数，由直线，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数．
【详解】解：在中，，，
，
．
又直线，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平行线的性质，解题的关键是综合运用所学知识求出的度数．
5.【答案】
【解析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：、正确，符合判定；
B、正确，符合判定；
C、正确，符合判定；
D、不正确，三角形全等必须至少有一条边．
故选：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，是一道较为简单的全等三角形判定题目，强调不能判定两三角形全等．
6.【答案】
【解析】根据线段垂直平分线的性质判断即可．
【详解】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7.【答案】
【解析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
是的角平分线，，，
，
， ，

故选：
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8.【答案】
【解析】连接，
在等边 中， ．
，
，
在 和 中， ，
≌ ，
，
在 和 中， ，
≌ ，
，
，
．
故选 ．
9.【答案】
【解析】由 ， ， ，可以得到 ，而 ，由此可以证明 ，所以 ， ；同理证得 ， ， ，故 ，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【详解】 且 ， ， ，
，
， ，
，
， ，
，
， ，
同理证得 ， ， ，
故 ，
故 ．
故选：．
【点睛】本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键．
10.【答案】
【解析】首先连接，，由的平分线与的垂直平分线相交于点，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得≌，则可得，继而求得答案．
【详解】如图，连接，，

是的平分线，，，
，，，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
．
故应选D．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
11.【答案】
【解析】根据等腰三角形的性质，得出 ，再根据三角形内角和定理即可得出答案．
【 详解】解： ， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等．
12.【答案】
【解析】分两种情况讨论：当是腰时或当是腰时．根据三角形的三边关系，知，，不能组成三角形，应舍去．
【详解】解：当是腰时，则 ，不能组成三角形，应舍去；
当是腰时，则该等腰三角形的周长为 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．
13.【答案】
【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据的周长等于，求出的长．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
由题意得，，
则，即，又，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14.【答案】
【解析】首先根据已知条件可以确定线段的长度，然后根据点、点关于点对称，设点所表示的数为，列出方程即可解决．
【详解】解：设点所表示的数为，
数轴上、两点表示的数分别为和，点关于点的对称点是点
，
根据题意，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】由题意可知≌，
，
又，
，
，
，
度，
故答案为．
16.【答案】
【解析】根据题意得出，然后利用直角三角形全等的判定得出≌，再由等边对等角即可得出结果．
【详解】解：，
，
在和中，
，，
≌，
，
，
，
故答案为．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边对等角的性质等，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
17.【答案】
【解析】过点 作 于点 ，根据等角对等边以及三角形外角的性质可得 ， ，然后根据 所对的直角边等腰斜边的一半可得 的长，根据平行线的性质以及角平分线的性质可得结果．
【详解】解：过点 作 于点 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，含 角的直角三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的性质，熟练掌握以上性质定理是解本题的关键．
18.【答案】或
【解析】设点 的运动速度为 ，由题意可得 ， 与以 ， ， 为顶点的三角形全等时分为两种情况： ，再利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：设点 的运动速度为 ，
由题意可得 ，

与以 ， ， 为顶点的三角形全等时可分为两种情况：
当 时，
，


此时点 的运动速度为 ；
当 时，
，
，
，
此时点 的运动速度为 ，
故答案为：或 ．
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意分情况讨论．
19.【答案】【小题】
解：根据题意作图，即为所求；
【小题】
解：
如图，连交于点，点即为所求；
【小题】的 面积为 ．

【解析】 根据题意画图即可；
利用轴对称求最短路线的方法分析得出答案
利用割补法进行计算即可．
20.【答案】证明： ，
，
又，
，
在与中 ，
≌．
．

【解析】由已知 ，可以得出，，又因为，则我们可以运用来判定≌，根据全等三角形的对应边相等即可得出．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21.【答案】【小题】解：
，，
．
，分别为，的垂直平分线，
，，
，，
．
【小题】
由可知，，
的周长．

【解析】 根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，结合图形计算，得到答案；
根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
22.【答案】【小题】
解：证明：为等边三角形，是边的中点，
垂直平分，
即；
【小题】
解：为等边三角形，
，，
，
，
，
而 ，
，
．

【解析】 直接根据等边三角形的性质得到结论
根据等边三角形的性质得到，，由得到，根据含的直角三角形三边的关系得 ，然后利用 即可得到结论．
23.【答案】【小题】
证明： 为 的平分线， ， ，
；
【小题】
在 和 中，
，

【小题】
解： ， ，
，
为 的平分线，
，
，
，
，
．

【解析】 利用角平分线的性质定理证明即可；
根据证明三角形全等即可
求出 ， ，再利用三角形的外角的性质，可得结论．
24.【答案】解：为等边三角形．
为等边三角形，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形．

【解析】先证≌得，再证，从而得出是等边三角形．
25.【答案】【小题】
平分

，
，
在 和 中，
，
≌

又
≌
是线段 的垂直平分线；
【小题】




【解析】 根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
根据 可以求得 的长度．
26.【答案】【小题】
证明： ，是 的中点，
，
；
【小题】
由可知 ，
是等腰三角形，
是 的中点，

【小题】

【解析】 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明
根据等腰三角形的三线合一证明

当 时， 是等腰直角三角形，
，是 的中点，
，
， ，
， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为： ．
27.【答案】【小题】
解： 、 为等腰三角形， ，
理由： 、 平分 、 ，
， ，
，
， ，
、 为等腰三角形，
， ，
；
【小题】
和 是等腰三角形， 理由如下：
如图，
的平分线 与三角形外角平分线 交于，
， ，
，
， ，
， ，
是等腰三角形， 是等腰三角形，
， ，
．

【解析】 由 ， 、 的平分线交于点，可得 ， ，于是得到 、 为等腰三角形，则 ， ，得到 ；
根据平行线的性质和角平分线定义得到 和 是等腰三角形，则 ， ，得到 ．
28.【答案】【小题】
解：与全等．
理由如下：直线，
，
，
，
，
在和中，
，
≌
【小题】
由题意得，，，
则，
由折叠的性质可知，，
，
点在上时，为等腰直角三角形，
当点沿路径运动时，由题意得，，
解得，，
当点沿路径运动时，由题意得，，
解得，，
综上所述，当秒或秒时，为等腰直角三角形；

【解析】 根据垂直的定义得到，利用定理证明≌
分点沿路径运动和点沿路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；
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