2022-2023学年江苏省苏州市吴江区梅堰中学八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析）

2022~2023学年江苏省苏州市吴江区梅堰中学八年级上学期月考数学试卷(10月)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若等腰三角形的两条边长分别为和，则该等腰三角形的周长为( )
A. B. C. D. 或
3.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.如图，，，那么与全等的理由是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，，的周长为，则的周长为( )
A. B. C. D.
6.如图，在的 正方形网络中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.下列语句：全等三角形的周长相等；面积相等的三角形是全等三角形；成轴对称的两个图形全等；角是轴对称图形，角平分线是角的对称轴．其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图，在中，，平分交于点，交的延长线于点若，则的度数是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，是线段上的动点不含端点，若线段长为正整数，则点的个数共有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.如图，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且速度都为，连接、交于点，下面四个结论：；≌；的度数不变，始终等于；当第秒或第秒时，为直角三角形，正确的有几个
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若等腰三角形的一个内角为，则其底角为 ．
12.直角三角形的两直角边分别为和，则斜边上的高为____ ____．
13.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是__ ___．
14.如图，若，加上一个条件 ，则有≌．
15.如图，在中，，点，分别在、上，平分，，，，的面积为 ．
16.在九章算术中有一个问题如图：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何它的意思是：一根竹子原高一丈尺，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面 尺．
17.如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点在的斜边上．下列结论：；；；是直角三角形．其中正确的是 填写序号．
18.如图，在中，，，，点是上的动点，连接，以为边作等边，连接，则点在运动过程中，线段长度的最小值是 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，点在 线段上，，，，求证：．
20.本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上．
在图中画出与关于直线成轴对称的
四边形的面积为_____；
在直线上找一点，使的长最短．
21.本小题分
已知：如图，在中，，的垂直平分线分别交、于、．
若，，求的周长；
若，求的度数．
22.本小题分
如图，已知，，与交于，．
求证：
；
是等腰三角形．
23.本小题分
如图，一张长方开纸片宽，长现将纸片折叠，使顶点落在边上的 点处折痕为，求的长．注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角
24.本小题分
【方法探究】
我们知道，通过不同的方法表示同一图形的面积可以探求相应的数量关系．如图，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，大正方形的面积用两种方法可分别表示为___________、___________，由此可发现，，之间的数量关系为___________．
将图中的四个形状大小完全相同的直角三角形拼成图，，，之间仍然具有以上数量关系吗？请在图中添加适当的辅助线，并加以说明．
25.本小题分
如图，是的高，是的中线．
若，，求；
已知点是中线的 中点，连接，若，，求的度数．
26.本小题分
有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点、的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
海港会受台风影响吗？为什么？
若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？
27.本小题分
在中，，，为线段上一动点．
如图，点、分别在、上点不与点重合，若运动到的中点，且．
求证：．
若，，求的长．
如图，点在上，且，过点作，垂足为，若，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
28.本小题分
如图，在长方形中，已知，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，运动时间为秒，连接，把沿着翻折得到注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角
如图，射线恰好经过点，求出此时的值；
当射线与边交于点时，是否存在这样的的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由；
在动点从点到点的整个运动过程中，若点到直线的距离等于，则此时 ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】、不是 轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】根据三角形的三边关系，求出第三边的范围，再范围内取值使得三角形为等腰三角形，再计算周长即可得到答案；
【详解】解：等腰三角形的两条边长分别为和，
假设第三边长为 ，
则有： ，
即： ，
又三角形为等腰三角形，两条边长分别为和，
，
三角形的周长为： ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，掌握三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边以及等腰三角形的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】根据勾股定理的逆定理解决此题．
【详解】解：根据勾股定理的逆定理，由 ，得、与可以作为直角三角形的三边长，那么不符合题意；
B.根据勾股定理的逆定理，由 ，得、与可以作为直角三角形的三边长，那么不符合题意；
C.根据勾股定理的逆定理，由 ，得、与不可以作为直角三角形的三边长，那么符合题意；
D.根据勾股定理的逆定理，由 ，得、与可以作为直角三角形的三边长，那么不符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：
，
、都是直角三角形．
又，，
≌．
故选A．
5.【答案】
【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
的周长为，
，
，
的周长，
故选B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6.【答案】
【解析】因为对称图形是全等的，所以面积相等，据此连接矩形的对角线，观察得到的三角形即可解答．
【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形有、、共个，
故选：．
【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，要做到全部找到不漏掉还是不容易的，解题的关键是仔细观察．
7.【答案】
【解析】全等三角形的所有对应边都相等，
全等三角形的周长相等，故正确；
全等三角形的面积相等，但面积相等的三角形不一定全等，如：面积为的等边三角形和面积为的直角三角形就不全等，
错误；
按照轴对称的定义：“如果两个图形沿某一直线对折后，这两个图形能够完全重合，我们就说这两个图形关于这条直线成轴对称”可知成轴对称的两个图形一定全等，故正确；
角是轴对称图形，但其对称轴是角平分线所在的直线，而不是角平分线本身，
错误；
综上所述，、正确，故选B．
点睛：本题的前三个语句都比较容易判断，而第四个语句的判断必须要清楚一点“对称轴是直线，不是线段，也不是射线”，否则很容易误判第四个语句为正确．
8.【答案】
【解析】根据平行线的性质，角平分线性质，可求出，，再利用等腰三角形的性质，求出即可解决问题．
【详解】平分，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，角平分线性质，平行线的性质，熟记几何图形的性质内容是解题的关键．
9.【答案】
【解析】首先过 作 ，当 与 重合时， 最短，首先利用等腰三角形的性质可得 ，进而可得 的长，利用勾股定理计算出 长，然后可得 的取值范围，进而可得答案．
【详解】解：过 作 ，
，
，
，
是线段 上的动点不含端点 、 ．
，
或，
线段 长为正整数，
的可以有三条，长为，，，
点 的个数共有个，
故选：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理计算出 的最小值，然后求出 的取值范围．
10.【答案】
【解析】等边三角形中，，而，所以．
根据等边三角形的性质，利用证明≌；
由≌根据全等三角形的性质可得，从而得到；
设时间为秒，则，，当时，因为，所以，即故可得出的值，当时，同理可得，即，由此两种情况即可得出结论．
【详解】在等边中，．
点、的速度都为，
，
．
只有当时，．
故错误；
是等边三角形
，，
又点、运动速度相同，
，
在与中，
，
≌．
故正确；
点、在运动的过程中，不变．
理由：≌，
，
，
．
故正确；
设时间为秒，则，，
当时，
，
，即， ，
当时，
，
，得， ，
当第 秒或第 秒时，为直角三角形．
故正确．
正确的是，
故选C．
【点睛】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】因为三角形的内角和为，所以只能为顶角，从而可求出底角．
【详解】解：由题意
为三角形的顶角，
底角为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
12.【答案】
【解析】利用勾股定理可得斜边长，再根据面积法即可得到斜边上的高．
【详解】解：直角三角形的两直角边分别为和，
斜边 ，
设斜边上的高为 ，依题意得：
，
解得，
斜边上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，关键是掌握：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
13.【答案】
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：直角三角形斜边上中线长，
斜边，
面积 ．
故答案为．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的面积，熟记性质求出斜边的长度是解题的关键．
14.【答案】
【解析】在和中， ，
≌．
故答案为．
15.【答案】
【解析】先根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算的面积．
【详解】平分，，，，的面积 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16.【答案】
【解析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】解：设折断处离地面 尺，根据题意可得：
，
解得： ，
答：折断处离地面尺．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意正确应用勾股定理列出等式进行求解．
17.【答案】
【解析】根据等腰直角三角形的性质得到 ， ， ， ，则根据“”证明 ，对进行判断；
利用三角形外角性质得到 ，可对进行判断；
利用 和三角形三边关系可对进行判断；
根据 得到 ，可对进行判断．
【详解】 与 都是等腰直角三角形，
， ， ， ．
，
．
在 与 中，

，故正确；
，
．
，
，故正确；
， ，
，故错误；
，
．
，
，故正确．
故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定与等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法与“全等三角形的旋转模型”是本题的解题关键．
18.【答案】
【解析】如图，取的中点，连接，由≌，推出，推出当时，的值最小；
【详解】解：如图，取的中点，连接，．
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
≌，
，
当时，的值最小，
在中， ，，
，
的最小值为 ．
故答案为
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
19.【答案】证明：，
，
在和中， ，
≌，
．

【解析】根据平行线的性质和全等三角形的判定可以判断≌，然后根据全等三角形的性质即可证明结论成立．
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
20.【答案】【小题】
解：作出点，点关于的对称点、，连结，，，
如图所示，即为所求；
【小题】
解：
四边形的面积 ；
故答案为： ；
【小题】
解：
点与点关于对称，
连接交直线与点，
，
，
则长的最短值，
；
这个最短长度为 ．

【解析】 根据题意作出点，点关于的对称点、，连结，，即可
用割补法利用矩形面积减去个直角三角形面积求解即可得到结论；
作出图形，根据勾股定理求得结果即可．
21.【答案】【小题】
解：是的垂直平分线，，
的周长．
【小题】解：
，
，
， ，
，，
．

【解析】 根据线段垂直平分线的性质可得，进一步即可求得结果；
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出的度数，再利用等边对等角求出的度数，即可求出结果．
22.【答案】【小题】
证明：，，
与是直角三角形，
在和中， ，， ，
≌
．
【小题】解：
≌，
，
．
是 等腰三角形．

【解析】 根据，，得出与是直角三角形，再由，，根据得出≌，即可证出．
根据≌，得出，从而证出，是等腰三角形．
23.【答案】解：四边形 是矩形， ， ，
， ．
设 ，则 ．
由折叠性质可知， ， ．
在 中， ，
．
在 中， ，
，
解得 ，
．

【解析】在 中，先根据勾股定理求得 ，则 ，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理得到 ，从而解方程即可．
24.【答案】【小题】
解：【方法探究】大正方形的面积 ；
另一方面，大正方形的面积 ；
，
故答案为： ， ， ；
【小题】
【方法迁移】结论仍然成立．
理由：如图中，过点作 于点．
这个几何图形的 面积 正方形 的面积 正方形 的面积 个直角三角形的面积 正方形 的面积 个直角三角形的面积，
，
．

【解析】 【方法探究】根据大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ，可得结论
【方法迁移】过点作 于点根据这个几何图形的面积可以表示为正方形 的面积 正方形 的面积 个直角三角形的面积，也可以表示为正方形 的面积 个直角三角形的面积，可得结论．
25.【答案】【小题】
，
，
，
是中线，
是斜边上的中线，
；
【小题】
解：，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，则．

【解析】 根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论
由得到，由得到，由此根据外角的性质来求的度数．
26.【答案】【小题】
解：海港受台风影响．
理由：如图，过点作于，
，，，
，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受到台风影响；
【小题】
解：当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为，
小时，
即台风影响该海港持续的时间为．

【解析】 利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响
利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
27.【答案】【小题】
证明：如图中，连接 ，
， ，
为等腰直角三角形，
为 中点，
， ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
解：如图中，连接 ，
，
， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
．
【小题】
解：的值不变，．
理由：如图中，作 ，垂足为，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ， ，
，
是定值．

【解析】
如图中，连接 ，根据等腰直角三角形的 判定与性质证明 ，即可证明 ；
利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论
的值不变， 如图中，作 ，垂足为，证明 ，推出 ，可得结论．
28.【答案】【小题】
解：
四边形是长方形，
， ， ， ，
，
由翻折性质可知： ，

，
在 中，由勾股定理得：
，
，
，
．
【小题】
存在，分两种情况：
如图，当点在长方形内部时：
作 于，设 ，则
由翻折可知， ，
在 中，由勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，即 ，
在 与 中：


，解得： ．
如图，当点运动至与点重合时，在 与 中：
，
．
综上，当 或 时，有 ．
【小题】
或

【解析】 由长方形性质得知 ， ， ， ，再证 ，则 ，然后由勾股定理得 ，则 ，由此得出结论．
分两种情况：在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答．

过点作 交于点，交于点．
如图，点在长方形内部：则 ，
在 中，由勾股定理得：

在 中，由勾股定理得：
，即
解得：
如图，点在长方形外部：则 ，
在 中，由勾股定理得：

在 中，由勾股定理得：
，即
解得：
综上，若点到直线的距离等于， 或 ．
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