2022-2023学年江苏省南通市通州区六校八年级（上）第一次联考数学试卷（含解析）

2022~2023学年江苏省南通市通州区六校八年级（上）联考数学试卷（第一次）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，和中，，，若，则等于
( )
A. B. C. D.
2.如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是( )
A. B. C. D.
3.如图，在和中，点、在上，，，添加下列条件仍无法证明的是
( )
A. B.
C. D.
4.如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是
( )
A. B. C. D.
5.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是
( )
A. B. C. D.
6.如图，，是的高线，与相交于点若，且的面积为，则的长度为( )
A. B. C. D.
7.如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有
( )
A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处
8.如图，在中，，为的中点，为上一点，过点作 ，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是( )
A. B. C. D.
9.如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为则和的关系是
( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是
( )
的面积的面积；；；．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，，若，则的度数为 ．
12.如图，≌，如果，，，那么线段的长是 ．
13.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，若点在轴上，则点的坐标是 ．
14.如图，在中，点在一条直线上，，则的大小为 ．
15.如图，在中，是边上的中线，，，延长至点，使得，连接，则长的取值范围是 ．
16.在平面直角坐标系中，点的坐标满足方程，当点在第四象限，且是两坐标轴的角平分线，点的坐标为 ．
17.如图，在中，，的角平分线交于点，点为的中点，连接，点为上一点，且若，则 ．
18.如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：；；；其中正确的有 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知：如图，求证：．
20.本小题分
“三月三，放风筝”如图是小颖制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，请你运用所学的知识，给予说明．
21.本小题分
证明命题“有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形全等”要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是根据题意画出的部分图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，和中，，，于，_____求证：请补全图形和补全已知，并写出证明过程．
22.本小题分
在如图所示的网格中，是格点三角形即顶点恰好是网格线的交点，请画出与有一条公共边且全等不含的所有格点三角形．
23.本小题分
八年级某班数学实验课安排测量操场上旗杆的高度．小聪同学经过认真思考，研究出了一个可行的测量方案：在某一时刻测得旗杆的影长和的大小，然后在操场上画，使得，在边上截取线段，再利用三角形全等的知识求出旗杆的高度，请完成小聪同学的测量方案，并把图形补画完整，说明方案可行的理由．
24.本小题分
新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
如图，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．求证：．
如图，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、均在外，连接、交于点，连接，求证：平分．
25.本小题分
通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
如图，，过点作于点，过点作于点由，得又，可以推理得到进而得到 ， 我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
如图，，连接，且于点，与直线交于点求证：点是的中点；
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
26.本小题分
主观
如图，在四边形中，，，点、分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．小明探究的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．
如图，在四边形中，，，点、分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为 ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据“”证明 ，根据全等三角形的性质得出 即可．
【详解】解：在 和 中 ，
，
，故B正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明 是解题的关键．
2.【答案】
【解析】根据图形中保留的两个角和它们的公共边即可判断依据．
【详解】解：因为图形中保留了两个角和它们的公共边，
可以依据“角边角”画一个与书上完全一样的三角形，
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，解题关键是理解题意并牢记全等三角形的判定方法．
3.【答案】
【解析】根据 ，可得 ，再根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解： ，
，
，
A、添加 ，可利用角边角证明 ，故本选项不符合题意；
B、添加 ，可利用边角边证明 ，故本选项不符合题意；
C、添加 ，可利用角角边证明 ，故本选项不符合题意；
D、添加 ，无法证明 ，故本选项不符合题意；
故选：
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】过点作，垂足为，由角平分线的性质，得 ，然后求出 的面积即可．
【详解】解：过点作，垂足为，如图：
为 的角平分线， 于点 ，
，
的面积为： ；
故选：
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是正确的作出辅助线，从而进行计算．
5.【答案】
【解析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
【详解】解：由题意可知
在 中


就是 的平分线
故选：
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
6.【答案】
【解析】利用证明≌，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案．
【详解】，是的高线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
的面积为，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
三角形两个内角平分线的交点，共一处；
三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：．
【点睛】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握角平分线的定理的应用是关键．
8.【答案】
【解析】通过证明≌可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解．
【详解】 ，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形的周长，
当最小时，即时四边形的周长有最小值，
，，
，
四边形为矩形，
，
四边形的周长最小值为，
故选：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定的值是解题的关键．
9.【答案】
【解析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
在与中，
，
≌，
．
，
．
故选：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】根据三角形的面积公式进行判断，根据三角形的内角和定理求出，再判断即可，根据三角形的内角和定理求出，再根据等腰三角形的判定判断即可，根据等腰三角形的判定判断即可．
【详解】解：是边的中线，
，
的 面积 ，的面积 ，
的 面积的面积，故正确；
是边上的高，
，
，
，，
，
是的角平分线，
，，
，故错误；
在和中，，，
，，
，
，故正确；
根据已知不能推出，即不能推出，故错误；
即正确的为，
故选：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
11.【答案】或度
【解析】根据全等三角形性质求出 ，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解： ， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
12.【答案】
【解析】直接利用全等三角形的性质得出，进而求出答案．
【详解】≌，，，

故答案为：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出是解题关键．
13.【答案】
【解析】根据点 的坐标求出 ，根据全等三角形的性质得出 ， ，再求出点 的坐标即可．
【详解】解： ，
，
，
，
点 在第四象限，
点 的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的性质，能熟记全等三角形的对应边相等是解此题的关键．
14.【答案】 或度
【解析】根据全等三角形的性质得出 ，求出 ，求出 ，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
15.【答案】
【解析】证明≌，得，再根据三角形三边关系得，即，即可求解．
【详解】解：在 中，是边上的中线，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形三边的关系是解题的关键．
16.【答案】
【解析】直接利用第四象限内点的坐标特点结合角平分线的性质得出等式求出答案．
【详解】解：当点在第四象限，且 是两坐标轴的角平分线，
，
，
，
解得： ，
故 ，
则点的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了点的坐标特征及角平分线的性质，正确掌握第四象限内点的坐标特点是解题关键．
17.【答案】
【解析】根据三角形等高模型及 ， ，求出 ，同样根据点 为 的中点，求出 ，过 作 于 ， 于 ，根据的角平分线交于点，将 转化为三角形的面积 的比即可求解．
【详解】解： ， ，
，
点 为 的中点，
，
，
，
过 作 于 ， 于 ，
是 的角平分线，
，
，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，解题的关键是正确地作出辅助线．
18.【答案】
【解析】设 交 于点 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，则 垂直平分 ，则 ，所以 ，再证明 ，即可根据全等三角形的判定定理“ ”证明 ，得 ，可判断正确；
假设 成立，则 ，所以 ，得 ，则 垂直平分 ，可推导出 是等边三角形以及 ，这与题中所给的条件是不符的，可判断错误；
由 得 ，而 ，所以 ，可判断正确；
由 得 ，因为 ，所以 ，所以 ，可判断正确．
【详解】解：如图，设 交 于点 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，
，
垂直平分 ，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
故正确；
假设 成立，则 ，
，
，
垂直平分 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
显然，与题中所给条件不符，
故错误；
， ，
，
故正确；
，
，
故正确，
故答案为： ．
【点睛】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解： ， ， ，
，
，
≌，
．

【解析】由可得，然后即可根据证明≌，再根据全等三角形的性质即得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明≌是解本题的关键．
20.【答案】解：如图：连接，
在与中， ，
≌，
．

【解析】可证明与全等，题中给出两条边相等，又有一公共边，所以两三角形全等，可得对应角相等．
21.【答案】补全条件为： 于， ，
证明： 于， 于，
，
在 与 中，
，
，
，
在 与 中，
，
，
故答案为： 于， ．

【解析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
22.【答案】解：如图， 即为所求．

【解析】根据全等三角形的判定作图即可．
本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
23.【答案】解：如图所示：
过点作，垂足为，此时，
理由：在和中
，
≌，
，
即可以得出旗杆高度．

【解析】利用全等三角形的判定与性质得出，进而得出答案．
24.【答案】【小题】
证明： 和 互为“兄弟三角形”，
， ， ，
，
即 ，
，
．
【小题】
证明：如图，过点作 于， 于，
和 互为“兄弟三角形”，
， ， ，
，
即 ，
，
，
， ，
，
，
，
平分 ．

【解析】 根据“兄弟三角形”的定义得到，进而得到，再证明 即可得到答案
过点作于，于，证明 ，根据全等三角形的对应高相等得到，根据角平分线的判定定理证明结论．
25.【答案】【小题】
【小题】
如图，作 于， 于，
，
，
，
，
，
在 与 中， ，
，
，
，
同理， ，
，
，
，
在 与 中，
，
，即点是 的中点；
如图， 和 是以 为斜边的等腰直角三角形，
过点作 轴于点，过点作 轴于点，两直线交于点，
则四边形 为矩形，
，
由可知， ，
，
，
，
解得， ，
点的坐标为 ，
同理，点 的坐标为 ，
综上所述， 是以 为斜边的等腰直角三角形，点的坐标为 或 ．

【解析】
解： ，
，
在 和 中，
，

， ，
故答案为： ； ；

作 于， 于，证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，再证明 ，根据全等三角形的性质证明结论；
过点作 轴于点，过点作 轴于点，仿照的证明过程解答．
26.【答案】【小题】
【小题】
仍成立，理由：
如图，延长 到点，使 ，连接 ，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
，
，

【小题】

【解析】
延长 到点，使 ，连接 ，证明 和 即可得出结论．
解： 理由：
如图，延长 到点，使 ，连接 ，证明 和 即可得出结论．
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
．
故答案为：
延长 到点，使 ，连接 ，证明 和 即可得出结论．

在延长线上取一点，使得 ，连接，证明 和 ，在通过角的和差即可得到结论．
．
证明：如图，在延长线上取一点，使得 ，连接，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
．
故答案为： ．
第1页，共1页